2019高考数学（理）”一本“培养优选练：小题分层练5　中档小题保分练（3）Word版含解析

小题分层练(五)　中档小题保分练(3)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第127页)
一、选择题
1．某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图23所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为(　　 )
图23
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B.]
2．已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
A　[由条件可得sin α＝2cos α，则tan α＝＝2，则cos2α＋sin2α＝＝＝，故选A.]
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，上顶点为B，若直线y＝x与FB平行，则椭圆C的离心率为(　　 )
A. B. C. D.
B　[由题意，得＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.]
4．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>8－m)＝(　　 )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．与σ的值有关
C　[∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，
∴正态曲线的对称轴是x＝4，
∵P(X>m)＝0.3，且m与8－m关于x＝4对称，
由正态曲线的对称性，得P(X>m)＝P(X<8－m)＝0.3，
故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.]
5．(2018·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C－2ccos B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
B　[∵2bcos C－2ccos B＝a，∴2sin Bcos C－2sin Ccos B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcos C＝3cos Bsin C，
∴tan B＝3tan C．又B＝2C，∴＝3tan C，
得tan C＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．]
6．设双曲线＋＝1的离心率为，且一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，则此双曲线的方程是(　　 )
A.－x2＝1 B.－＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
A　[根据题意，抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，又由双曲线＋＝1的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，则有m＜0而n＞0，且c＝2.双曲线＋＝1的离心率为，则有e＝＝＝，解得n＝3，又由c2＝n＋(－m)＝4，得m＝－1.故双曲线的方程为－x2＝1.]
7．如图24，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)
图24
A. B.
C. D.
C　[由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．
切削掉部分的体积V1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm3)，
原来毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)．
故所求比值为＝＝.]
8．(2018·石家庄市一模)已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在 [－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　 )
A. B.
C．[－1,1] D.
B　[∵f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，
∴(－2b)＋(1＋b)＝0，即－b＋1＝0，b＝1.
则函数的定义域为[－2,2]，∵函数在[－2,0]上为增函数，
f(x－1)≤f(2x)，故|x－1|≥|2x|，两边同时平方解得－1≤x≤，故选B.]
9．已知函数f(x)＝2sin xsin(x＋3φ)是奇函数，其中φ∈，则函数g(x)＝cos(2x－φ)的图象(　　 )
A．关于点对称
B．关于轴x＝－对称
C．可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到
D．可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
B　[∵y＝2sin xsin(x＋3φ)是奇函数，y＝sin x是奇函数，∴y＝sin(x＋3φ)是偶函数．∵φ∈，∴3φ＝，φ＝，则函数g(x)＝cos(2x－φ)＝cos.令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，可得g(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z，故A项不正确，B项正确．
根据函数f(x)＝2sin xsin＝sin 2x＝cos，故把函数f(x)的图象向左平移个单位，可得g(x)＝cos＝cos 的图象，故C、D项均不正确．故选B.]
10．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A. B．1
C. D.
A　[依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，a4＝.]
11.如图25，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是(　　)
图25
A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D
C　[当x∈时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.]
12．设函数f(x)＝x2－2ax(a＞0)的图象与g(x)＝a2ln x＋b的图象有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为(　　 )
A. B.e2
C. D．－
A　[f′(x)＝3x－2a，g′(x)＝，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有公共点且在公共点处的切线方程相同，所以3x－2a＝，故3x2－2ax－a2＝0在(0，＋∞)上有解，又a＞0，所以x＝a，即切点的横坐标为a，所以a2ln a＋b＝－，所以b＝－a2ln a－(a＞0)，b′＝－2a(ln a＋1)，由b′＝0得a＝，所以0＜a＜时，b′＞0，a＞时，b′＜0，所以当a＝时，b取得最大值且最大值为，
故选A.]
二、填空题
13．一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________．
　[设“第1次摸出红球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件B，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB，所求事件为B|A.P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝.]
14．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精
度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
　[作出单位圆的内接正六边形，
如图，则OA＝OB＝AB＝1.
S6＝6S△OAB＝6××1×＝.]
15．设方程＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围为________．
(0,1)　[分别作出函数y＝和y＝|lg x|的图象如图，
不妨设0则|lg x1|>|lg x2|，
∴－lg x1>lg x2，即lg x1＋lg x2<0，∴016．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
　[圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是.]