《8.2消元——解二元一次方程组》
模式介绍
“探究式教学”是以自主探究为主的教学。它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以学生独立自主探究或合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的一种教学形式。学生对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，以自我获取，自我求证的方式深化知识的理解和运用。从而较好地达到课程标准中关于认知目标与情感目标要求的一种教学模式。其中认知目标涉及与学科相关知识、概念、原理与能力的掌握；情感目标注重科学素养与道德品质的培养。
探究式教学的课程环节：
创设情境——启发思考——自主探究——协作交流——总结提高
设计说明
本节课是在学生能够对比较简单的应用题列出二元一次方程组的基础上，继而引发的问题:如何解二元一次方程组呢？通过将本节课知识与该章第一节相联系起来，发现其也可以用一元一次方程来解决，是将另一个未知量不直接设为另一个未知数，而是用含同一个未知数的式子表述出来，那么二元一次方程组的第二个未知数与一元一次方程中用含未知量的式子表示出来的未知量是否一样，能不能以此作为解二元一次方程组的突破口呢？学生通过探究发现，二元一次方程组中，可以用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后再带入到另一个式子中，将二元一次方程组化为一元一次方程。从而实现了“消元”“降次”，让学生再探究的过程中，体验和应用这一基本思想。
教材分析
本节承接上节中的篮球胜、负场数问题，展开对解法的探究．对依据同一实际问题列出的二元一次方程组与一元一次方程进行对比，发现它们之间的关系，体现从未知向已知的转化．
教学目标
【知识与技能目标】
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，熟练运用代入法解二元一次方程组。
【过程与方法目标】
会列二元一次方程组解决简单实际问题。
【情感态度价值观】
体会数学消元法的巧妙性。
教学重难点
【教学重点】
1.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，熟练运用代入法解二元一次方程组
2.会列二元一次方程组解决简单实际问题
【教学难点】
会列二元一次方程组解决简单实际问题
课前准备
多媒体：PPT课件、电子白板
教学过程
第一课时
一、探究新知
【问题】篮球联赛中,每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？
解：设胜x场，负y场．
可得：；
问题2 这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
解：设胜x场，则负(10－x)场．
可得： 2x+（10－x）=16．
问题3 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
2x+（10－x）=16．
思考：
（1）它们中的未知数x意义相同吗？方程组中的未知数y，与方程中哪个式子意义相同？
（2）方程组中的两个未知数，能否用一个未知数表示？能得出y=10-x，或x=10-y吗？
能否将方程组化为方程2x+(10-x)=16？
消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
问题4 对于二元一次方程组你能写出求出x的过程吗？
解：
由①，得 ③
把③代入②，得
问题5 怎样求出y？
把代入③，得
这个方程组的解是
答：这个队胜6场、负4场．
代入消元法解二元一次方程组，其主要步骤是：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
例题讲解
例1 用代入法解下列二元一次方程组：
/
/
/
所以这个方程组的解是：/
/
/
/
所以这个方程组的解是：/
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
问题1 例2中有哪些未知量？
答：未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数．所以可设这些消毒液应分装大瓶和小瓶的数量分别为x、y．
问题2 例2中有哪些等量关系？
答：等量关系包括：大瓶数︰小瓶数＝2︰5；
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5（t）
问题5 如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？
问题6 请你用代入消元法解上面的方程组．
解得：
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
问题7 结合例2，请你思考列方程组解决实际问题时应注意什么？
三、巩固新知
1.用含有x的式子表示y
（1）2x-y=1；
（2）3x+2y=10.
2.解方程组：（1） （2）?
.3.若二元一次方程组的解为，则a+b的值为 。
?4.小红和小新两人解方程组 小红一边做作业，一边看电视，不小心把a给看错了，从而得到方程组的解为；小新一边做作业，一边吃零食，一走眼把b看错了，从而得到方程组的解为，若按正确的a、b计算，原方程组的解是什么？
四、课堂小结
（1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
（2）解二元一次方程组的核心思想是什么？
（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法，你还有哪些收获？
第二课时
一、探究新知
问题1 我们知道，对于方程组可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
追问1 代入消元法中代入的目的是什么？
追问2 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
两个方程中的系数相等；用②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=16-10．
追问3 这一步的依据是什么？
——等式性质
追问4 你能求出这个方程组的解吗？
这个方程组的解是
追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？
问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
追问1 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的系数有什么新的关系？
未知数y的系数互为相反数，由①+②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值．
追问2 两式相加的依据是什么？
“等式性质”
问题3 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？
当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
追问1 两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．
追问2 加减的目的是什么？
“消元”
追问3 关键步骤是哪一步？依据是什么？
关键步骤是两个方程的两边分别相加或相减，依据是等式性质．
二、应用新知
问题4 如何用加减消元法解下列二元一次方程组？
追问1 直接加减是否可以？为什么？
追问2 能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？
追问3 如何用加减法消去x？
/
例1 用加减法解方程组
(知识点:用加减法消元解二元一次方程组,思想：消元思想)
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：①×3,得 9x+12y=48 ③
②×2,得 10x-12y=66 ④
③＋④,得 19x=114
x=6
把x=6代入①，得3×6+4y=16
4y=-2, y=-
所以，这个方程组的解是
议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③
③-④,得 38y=-19
y=-
把y=-代入①，得3x+4×(-)=16
3x=18
x=6
所以，这个方程组的解为
如果求出y=-后，把y=代入②也可以求出未知数x的值。
例2 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
追问1 本题的等量关系是什么？
2台大收割机2小时的工作量 + 5台小收割机2小时的工作量＝3.6；
3台大收割机5小时的工作量 + 2台小收割机5小时的工作量＝8．
追问2 如何设未知数？列出怎样的方程组？
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .
依题意得：
追问3 如何解这个方程组？
化简得:
② - ①，消y 得
解得
代入①，解y
是原方程组的解.
问题5 怎样解下面的方程组？
追问1 第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？
追问2 我们依据什么来选择更简便的方法？
选择代入法，由①得，
代入②，消去y，解得
代入③，得
是原方程组的解．
选择加减法，①+②得
代入①，得
是原方程组的解．
三、随堂检测
1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
(1) ,消元方法_________
(知识点:用加减法消元解二元一次方程组,思想：消元思想)
(2) ,消元方法_________.
(知识点:用加减法消元解二元一次方程组,思想：消元思想)
答案：(1)消去x (2)①×2+②×3消去n
2.用加减法解下列方程组:
(1) (2)
(3) (4)
(知识点:用加减法消元解二元一次方程组,思想：消元思想)
答案：(1) (2) (3) (4)
四、课堂小结：
1、本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2、加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元”.）
3、用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
解二元一次方程组的步骤：
二元一次方程组 一元一次方程 解一元一次方程
求另一个未知数的值 写出方程组的解
教学反思
略。
课件59张PPT。一、探究新知【问题】篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？【问题1】你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？解：设胜x场，负y场．
可得： ；一、探究新知【问题】篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？【问题2】这个实际问题能列一元一次方程求解吗？解：设胜x场，则负(10－x)场．
可得： 2x+（10－x）=16．一、探究新知【问题】篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？【问题3】对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？2x+（10－x）=16一、探究新知【思考】
（1）它们中的未知数x意义相同吗？方程组中的未知数y，与方程中哪个式子意义相同？
（2）方程组中的两个未知数，能否用一个未知数表示？能得出y=10-x，或x=10-y吗？一、探究新知【思考】
（3）能否将方程组化为方程2x+(10-x)=16？消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想.一、探究新知【思考】
（3）能否将方程组化为方程2x+(10-x)=16？ 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．一、探究新知【问题4】对于二元一次方程组 ，你能写出求出x的过程吗？解：由①，得 ③把③代入②，得 一、探究新知【问题5】怎样求出y？ 把 代入③，得 这个方程组的解是答：这个队胜6场、负4场．一、知识回顾2.什么是一元一次方程的解？使一元一次方程的两边相等的未知数的值。二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义●活动一：创设情境【问题1】鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？设有只鸡，则有只兔子。
根据题意得：
……二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义●活动一：创设情境【交流】 “元”指什么？“次”指什么？二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义●活动二 上面的问题还有其他的方法求解吗？
能否设两个未知数列方程求解呢？ 解：设有x只鸡，y只兔，
依题意得
x＋y=35，
2x+4y=94．二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义●活动二 1．结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？
2．为什么叫二元一次方程呢？
3．什么样的方程叫二元一次方程呢？二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义●活动二 二元一次方程
含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的方程。两个二元一次方程和在一起，就组成了二元一次方程组．二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义【例1】已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．解析：根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m、n的值．
根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0。故填0.
【方法总结】二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义【例2】有下列方程组：① ；② ；③
④ ；⑤ ；其中二元一次方程组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；
②方程组中第二个方程不是整式方程；
③方程组中共有3个未知数．
只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.二、自主探究探究点一：二元一次方程及二元一次方程组定义 一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.【方法总结】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：二、自主探究探究点二：二元一次方程的解及二元一次方程组的解定义●活动一：满足 的值有哪些？请填入表中：【思考】那么什么是二元一次方程的解呢？
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．二、自主探究探究点二：二元一次方程的解及二元一次方程组的解定义●活动二：
从上题中我们知道能使方程组中的每一个方程成立，所以我们把
叫做二元一次方程组 的解。（注意：二元一次方程组的解是成对出现的，要用大括号连接起来，表示“且”。）【思考】那么什么是二元一次方程的解呢？
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．二、自主探究探究点二：二元一次方程的解及二元一次方程组的解定义●活动二：二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．二、自主探究探究点二：二元一次方程的解及二元一次方程组的解定义【例1】 已知 是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1解析：将 代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1。故选A.
【方法总结】根据方程的解的定义知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．三、随堂检测1.若 是二元一次方程，则a= 。2.已知 是方程2x+ay=5的解，则a=_____。 三、随堂检测3.若2x2m-1y2与-x3yn+4的和为x3y2，则m= ，n= 。4.已知 是方程组 的解，则a= 、b= 。 四、课堂总结1.【知识梳理】基础知识思维导图四、课堂总结2.重点难点突破二元一次方程的概念
（1）首先是整式方程.（2）方程中共含两个未知数.（3）所有未知数项的次数都是一次. 四、课堂总结2.重点难点突破二元一次方程组的概念
（1）方程组中的两个方程都是整式方程.（2）方程组中共含有两个未知数.（3）每个方程都是一次方程.四、课堂总结2.重点难点突破二元一次方程的解概念
在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解。四、课堂总结2.重点难点突破二元一次方程组的解概念
二元一次方程组的解是方程组中两个二元一次方程的公共解，故一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.第二课时一、探究新知【问题1】我们知道，对于方程组 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？【追问1】 代入消元法中代入的目的是什么？一、探究新知【问题1】我们知道，对于方程组 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？【追问2】 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？两个方程中的系数相等；
用②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=16-10．一、探究新知【问题1】我们知道，对于方程组 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？【追问3】 这一步的依据是什么？——等式性质一、探究新知【问题1】我们知道，对于方程组 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？【追问4】 你能求出这个方程组的解吗？这个方程组的解是一、探究新知【问题1】我们知道，对于方程组 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？【追问5】 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？一、探究新知【问题2】 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组【追问1】 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的系数有什么新的关系？ 未知数y的系数互为相反数，
由①+②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值．一、探究新知【问题2】 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组【追问2】 两式相加的依据是什么？ “等式性质”一、探究新知【问题3】 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？ 当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 一、探究新知【问题3】 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？【追问1】 两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等． 一、探究新知【问题3】 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？【追问2】 加减的目的是什么？“消元”一、探究新知【问题3】 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？【追问3】 关键步骤是哪一步？依据是什么？两个方程的两边分别相加或相减，依据是等式性质．二、应用新知【问题4】如何用加减消元法解下列二元一次方程组？【追问1】 直接加减是否可以？为什么？ 【追问2】能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？ 【追问3】如何用加减法消去x？二、应用新知【问题4】如何用加减消元法解下列二元一次方程组？二、应用新知【例1】 用加减法解方程组(知识点：用加减法消元解二元一次方程组,思想：消元思想)
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。二、应用新知【例1】 用加减法解方程组解：①×3，得 9x+12y=48 ③②×2，得 10x-12y=66 ④ ③＋④，得 19x=114 x=6把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2，
y= 所以，这个方程组的解是二、应用新知【例1】 用加减法解方程组 【议一议】本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？ 解：①×5，得 15x+20y=80 ③ ③-④，得 38y=-19 y=把y= 代入①，得3x+4×( )=163x=18
x=6 所以，这个方程组的解是二、应用新知【例2】 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？【追问1】 本题的等量关系是什么？2台大收割机2小时的工作量 + 5台小收割机2小时的工作量＝3.6；
3台大收割机5小时的工作量 + 2台小收割机5小时的工作量＝8．二、应用新知【例2】 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？【追问2】 如何设未知数？列出怎样的方程组？解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .依题意得：二、应用新知【例2】 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？【追问3】 如何解这个方程组？化简得:② - ①，消y 得解得代入①，解y是原方程组的解.二、应用新知【问题5】 怎样解下面的方程组？【追问1】 第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？二、应用新知【问题5】 怎样解下面的方程组？【追问2】 我们依据什么来选择更简便的方法？二、应用新知【问题5】 怎样解下面的方程组？选择代入法，由①得，代入②，消去y，解得代入③，得是原方程组的解．二、应用新知【问题5】 怎样解下面的方程组？选择加减法，①+②得是原方程组的解．代入①，得三、随堂检测1、用加减法解下面方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法.(1) ，消元方法_________(知识点：用加减法消元解二元一次方程组；
思想：消元思想)①②三、随堂检测1、用加减法解下面方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法.(2) ，消元方法_________(知识点：用加减法消元解二元一次方程组；
思想：消元思想)①②三、随堂检测2、用加减法解下列方程组: (1) (2)
(3) (4) 四、课堂小结： 1、本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法——加减法。通过把方程组中的两个方程进行相加减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2、加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元”.）
3、用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？四、课堂小结：
