中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版本数学八年级上册15.4.2角平分线教学设计
课题 15.4.2角平分线 单元 第15章第4节第2课时 学科 数学 年级 八年级上
教材分析 《角平分线》是沪科版八年级上册第15章第4节第2课时的内容，是安排在学生学习了角平分线性质定理和角平分线的性质定理逆定理的基础上进行学习的。本节课主要学习角平分线的性质定理及其逆定理的应用。
学情分析 学生在学习前几节的基础上，已经对角平分线性质定理和角平分线的性质定理逆定理进行了大量的探索，在探索的同时，也经历了推理的过程，为严格的推理证明打下了基础。这节课在之前的基础上进一步让学生体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观。
学习 目标 【知识与技能】 1、会阐述角平分线的性质定理及其逆定理. 2、会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感 、态度与价值观】 1、体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观. 2、活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.
重点 1、角平分线性质定理的应用。 2、角平分线性质定理逆定理的应用。
难点 角平分线性质定理及逆定理综合题型的应用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 怎样用尺规作图法做一个角的角平分线呢？ 回顾角平分线的画法,与同桌交流。 复习引入，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣。
讲授新课 活动探究一：∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 已知：如图，OP是∠ AOB的平分线，P是OP上任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C,D是垂足.你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想。 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言: （如图） ∵OC是∠AOB的平分线, PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE逆命题：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。活动探究二：思考以下问题，动手做一做。 （小组讨论，2min） 请同学们比较角平分线的性质定理和逆定理，可以得出什么结论？ 角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合。 例 已知：如图，ΔABC中，∠B的平分线BE与∠的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.这个例子说明： 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.走进生活1、如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A距离为200m。请在图上标出学校的位置，并说明理由.2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处课堂练习变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为______．变式2：已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A= ______ 度．变式3：如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D.求证： （1）OC=OD;
（2）△ECF≌△EDF.变式4：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF．变式5：如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：
（1）∠ABD的度数；（2）DB的长度． 拓展提高 如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．必做题: 随堂练习 选做题: 习题15.4.2前5题 本次活动中，教师重点关注学生是否积极参加到数学活动中来。 教师一句激励的话语，给学生自学的动力． 学生观察并思考实际应用中角平分线的用法。 学生独立思考，完成变式。 学生带着问题自学，学生归纳、举例，重新认识角平分线，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲。 采用让学生独立思考、合作交流、积极展示的方式展开。 通过例题和变式，分别让学生进一步的认识，从而使学生更好的理解角平分线的性质定理．
课堂小结 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。 学生从知识、方法、情感态度等方面谈收获，进一步锻炼学生的数学语言表达能力。 让学生总结本节课的有关知识，培养语言表达能力．
板书 15.4.2 角平分线1.性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2. 判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
15.4.2 角平分线
沪科版 八年级上
2、分别以_____ 为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点____；
A
O
B
已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；
3、作射线_____；
点O
任意
M、N
P
OP
怎样用尺规作图法做一个角的角平分线呢？
_____就是所求作∠AOB的平分线。
OP
新知导入
已知：如图，OP是∠ AOB的平分线，P是OP上任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C,D是垂足.你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想。
新知讲解
活动探究一：∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
新知讲解
新知讲解
猜想PC=PD
第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等。
证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB （已知）,
∴∠PDO=∠PCO=90?（垂直的定义）.
在△PDO和△PCO中，
∴ △ PDO≌ △ PCO（AAS），
∴ PD=PC（全等三角形的对应边相等）.
∠ PDO= ∠ PCO，
∠ AOC= ∠ BOC ，
OP=OP，
新知讲解
新知讲解
再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？
QF=QH
RJ=RK
Q
R
J
F
H
K
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
逆命题：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
几何语言: （如图）
∵OC是∠AOB的平分线, PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
新知讲解
新知讲解
活动探究二：思考以下问题，动手做一做。
（小组讨论，2min）
请同学们比较角平分线的性质定理和逆定理，可以得出什么结论？
┐
┐
B
A
E
P
D
O
角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合。
新知讲解
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
例 已知：如图，ΔABC中，∠B的平分线BE与∠的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.
┐
┐
┐
N
Q
P
F
E
M
C
B
A
新知讲解
证明：过点P分别作PM⊥BC,
PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，（已知）
∴PQ=PM.（角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理，PN=PM.
∴PN=PQ.（等量代换）
∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
新知讲解
新知讲解
这个例子说明：
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
1、如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A距离为200m。请在图上标出学校的位置，并说明理由.
公路
河
北
西
南
东
1∶20 000
?
A
学校
理由：角平分线上的点到角的两边距离相等.
因此学校应该在公路与河流交角的平分线上,且在图中距离A点1cm处.
走进生活
新知讲解
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
D
新知讲解
课堂练习
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分∠ABC，若AE=2，则CE的长为______．
解：∵BE平分∠ABC，∠C=90°，ED⊥AB， ∴CE=ED， ∵∠ADE=90°，∠A=30°， ∴DE= AE=1， ∴CE=DE=1，
课堂练习
变式2：已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A= ______ 度．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，△BCE与△BDE重合， ∴ED⊥AB，∠EBA=∠EBC， 又点D是AB的中点， ∴EA=EB， ∴∠A=∠EBA=∠EBC．设∠A=∠EBA=∠EBC=x ∵∠A+∠EBA+∠EBC=90°， ∴3∠x=90°， ∴x=30°． ∴∠A=30°．
课堂练习
变式3：如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D.
求证： （1）OC=OD; （2）△ECF≌△EDF.
课堂练习
证明：（1）∵ E 是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°， ?在Rt△COE 和Rt△DOE中， ， ∴ Rt△COE ≌Rt△DOE(HL)， ∴ OC=OD； （2）∵ Rt△COE ≌Rt△DOE， ∴ ∠CEO=∠DEO， 在△ECF和△EDF中， ， ∴ △ECF≌△EDF(SAS).
课堂练习
变式4：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF．
课堂练习
证明：如图，连接AD．
∵AB=AC，点D是BC边上的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． ∴DE=DF．
课堂练习
变式5：如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求： （1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．
课堂练习
解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB， 且DE=DF，∴DB平分∠ABC， 即∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°；
（2）在直角三角形BED中， ∵∠DBE= ∠ABC= ×60°=30°， ∴DE=6，∴BD=2DE=12．
拓展提高
如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．
拓展提高
证明：连接BD，DC，如图： ∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD， ∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，
DN⊥AC 交AC的延长线于点N， ∴DM=DN， 在Rt△BMD与Rt△CDN中，
，∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN；
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。
课堂总结
板书设计
15.4.2 角平分线
1.性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
2. 判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径。
作业布置
必做题: 随堂练习
选做题: 习题15.4.2前5题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
