第1节实数的有关概念及运算
■知识点1 实数的概念及分类?
（1） 和 统称实数．
（2）
■知识点2 实数的相关概念?
1．数轴
(1)规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是 -a，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数?a＋b＝0.
3．倒数
(1)实数a(a≠0)的倒数是1/a；
(2)a与b互为倒数?ab=1.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
（2）绝对值．
■知识点3 科学记数法、近似数、有效数字?
科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数．
近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
■知识点4．有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取_ 的符号，并把 相加?
②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用_ 。互为相反数的两个数相加得 。www-2-1-cnjy-com
③一个数同0相加， 。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于 。
(3)有理数乘法法则：?
①两数相乘，同号得 ，异号得负，并把 。任何数同0相乘，?都得 。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由 决定。当 ，积为负，当 _，积为正。③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.?
(4)有理数除法法则：?
①除以一个数，等于 .0不能作除数。
②两数相除，同号 ，异号得 ，并把 。?0除以 的数，都得0?
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是 ；负数的 是负数，负数的 是正数
(6) 零指数幂和负整数指数幂
零指数幂的意义为：a0＝ _(a≠0)．
负整数指数幂的意义为：a－p＝ _(a≠0，p为正整数)．
(7)有理数混合运算法则：先算 ，再算 ，最后算 。如果有括号，就先算 __.
■知识点5．平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质
正数a有两个平方根，记作____，0的平方根是___，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0.任何数都有立方根，a的立方根是.
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
(2)非负数的性质：
①非负数的最小值是0：
②几个非负数之和仍为非负数：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
■知识点6．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算__ __，最后算__ __．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算__ __里面的，同级运算应__ __依次进行．21*cnjy*com
运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a。
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。?
（3）乘法交换律：ab=ba。?
（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。
（5）乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。
■知识点7.实数的大小比较
1．实数的大小关系
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
2．作差比较法
(1)a－b＞0?a＞b；(2)a－b＝0?a＝b；(3)a－b＜0?a＜b.
3．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
4．平方法
因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
■考点1：实数的概念及分类?
◇典例： （2018年辽宁省葫芦岛）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．+5℃ D．﹣5℃
【考点】正数和负数
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．
解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么下降5℃记作﹣5℃；
故选：D．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
◆变式训练
（2016年浙江省金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
■考点2：实数的相关概念?
◇典例：
1.（2018年浙江省衢州）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2. （2018年浙江省杭州）|﹣3|=（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数．
解：|﹣3|=3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中，比较简单．
3. （2018年四川省乐山）如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为 ．
【考点】数轴
【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1﹣x，
根据题意AB=AC，
∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，
解得x=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
4.（2017年四川省）-2的倒数是（ ）
A．-2 B．- C． D．2
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵-2×(?)=1． ∴-2的倒数是-， 故选：B．
◆变式训练
1.（2018年河南省）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2.（2018年辽宁省盘锦）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
3.（2018年江苏省扬州）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．5 D．﹣5
■知识点3 科学记数法、近似数、有效数字
◇典例：
1.（2018年天津）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【考点】科学记数法-表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将77800用科学记数法表示为：．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.（2018?雨花区）对于用四舍五入法得到的近似数4.609万，下列说法中正确
的是（ ）
A．它精确到千分位 B．它精确到0.01
C．它精确到万位 D．它精确到十位
【考点】近似数和有效数字．
【分析】由于4.609万=46090，而9在十位上，所以4.609万精确到十位．
解：4.609万精确到0.001万，即十位． 故选D．
◆变式训练
（2018年广西贺州）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为 mm．
■考点4：有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算?
◇典例：
（2017?重庆）计算：|-3|+（-1）2= ___________
【考点】有理数的混合运算．
【分析】利用有理数的乘方法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
解：|-3|+（-1）2=4， 故答案为：4．
◆变式训练
（2017?岳阳）计算：2sin60°+|3- |+（π-2）0-（ ）-1．
■考点5：平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质?
◇典例：
1.（2018年贵州省安顺）的算术平方根是（ ）
A． B． C．±2 D．2
【考点】算术平方根
【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．
解：=2，2的算术平方根是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．
2.（2018年上海市）﹣8的立方根是 ．
【考点】立方根
【分析】利用立方根的定义即可求解．
解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．
3.（2017?衡阳模拟）若 +（y+2）2=0，则（x+y）2017=（ ）
A．-1
B．1
C．32017
D．-32017
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，计算即可．
解：根据题意得x-1=0，y+2=0， 解得x=1，y=-2， 则原式=（-1）2017=-1． 故选A．www.21-cn-jy.com
◆变式训练
1.（2018年贵州省铜仁）9的平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81
2.（2017?荆门）已知实数m、n满足|n-2|+ =0，则m+2n的值为 _____
■知识点7.实数的大小比较
◇典例：
（2018年广西贺州）在﹣1、1、、2这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【考点】实数大小比较
【分析】根据实数大小比较的法则比较即可．
解：在实数﹣1，1，，2中，最小的数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
◆变式训练
（ 2018年四川省南充）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
一、选择题
（2018年浙江省绍兴）如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为（ ）
A．+3m B．+2m C．﹣3m D．﹣2m
（2018年山东省滨州）若数轴上点A．B分别表示数2、﹣2，则A．B两点之间的距离可表示为（ ）
A．2+（﹣2） B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2
（2018年浙江省湖州）2018的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．
（2018年浙江省舟山）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105
（2018年浙江省杭州）下列计算正确的是（ ）
A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2
二、填空题
（2018年江苏省泰州）8的立方根等于 ．
（2018年湖北省襄阳）计算：|1﹣|= ．
（2018年海南省中考数学试卷）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
三、 解答题
（2018年浙江省湖州）计算：（﹣6）2×（﹣）．
（2018年浙江省台州）计算：|﹣2|+（﹣1）×（﹣3）
一、选择题
（2018年重庆（B卷））下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
（2018年浙江省舟山）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105
（2018年浙江省杭州市临安）我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（ ）
A．（+39）﹣（﹣7） B．（+39）+（+7）
C．（+39）+（﹣7） D．（+39）﹣（+7）
（2018年浙江省丽水义乌金华）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣1
（2018年山东省枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
（2018年贵州省贵阳）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A．B、C，若点A．B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
（2018年浙江省杭州市临安）如果a与﹣2互为相反数，那么a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
二、 填空题
（2018年黑龙江省绥化）在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 个．
（2018年浙江省宁波）计算：|﹣2018|= ．
（2018年广东省中考数学试题）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x= ．
（2018年广东省中考数学试题）已知+|b﹣1|=0，则a+1= ．
（2018年湖北省咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
三、 解答题
（2018年浙江省杭州）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
（2017年浙江省金华）计算：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0．
（2018年湖南省益阳）计算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
第1节实数的有关概念及运算
■知识点1 实数的概念及分类?
（1） 有理数 和 无理数 统称实数．
（2）
■知识点2 实数的相关概念?
1．数轴
(1)规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是 -a，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数?a＋b＝0.
3．倒数
(1)实数a(a≠0)的倒数是1/a；
(2)a与b互为倒数?ab=1.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
（2）绝对值．
■知识点3 科学记数法、近似数、有效数字?
科学记数法：把一个数表示成 a×10n 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数．
近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
■知识点4．有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取_相同_ 的符号，并把绝对值相加?
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用_较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0 。www-2-1-cnjy-com
③一个数同0相加，仍得这个数。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 。
(3)有理数乘法法则：?
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，?都得_0_ 。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由负数的个数决定。当个数为奇数时，积为负，当个数为偶数_，积为正。③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.?
(4)有理数除法法则：?
①除以一个数，等于乘这个数的倒数.0不能作除数。
②两数相除，同号 得正 ，异号得负，并把绝对值相除。?0除以任何一个不等于0的数，都得0?
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
(6) 零指数幂和负整数指数幂
零指数幂的意义为：a0＝__1__(a≠0)．
负整数指数幂的意义为：a－p＝____(a≠0，p为正整数)．
(7)有理数混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，就先算括号内的运算__.
■知识点5．平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质
正数a有两个平方根，记作__±__，0的平方根是__0__，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0.任何数都有立方根，a的立方根是.
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
(2)非负数的性质：
①非负数的最小值是0：
②几个非负数之和仍为非负数：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
■知识点6．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算__大括号__里面的，同级运算应__从左到右__依次进行．21*cnjy*com
运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a。
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。?
（3）乘法交换律：ab=ba。?
（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。
（5）乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。
■知识点7.实数的大小比较
1．实数的大小关系
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
2．作差比较法
(1)a－b＞0?a＞b；(2)a－b＝0?a＝b；(3)a－b＜0?a＜b.
3．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
4．平方法
因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
■考点1：实数的概念及分类?
◇典例： （2018年辽宁省葫芦岛）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（ ）
A．+10℃ B．﹣10℃ C．+5℃ D．﹣5℃
【考点】正数和负数
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．
解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么下降5℃记作﹣5℃；
故选：D．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
◆变式训练
（2016年浙江省金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
【考点】正数和负数．
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
解：∵45+0.03=45.03，45﹣0.04=44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03．
∵44.9不在该范围之内，
∴不合格的是B．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
■考点2：实数的相关概念?
◇典例：
1.（2018年浙江省衢州）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2. （2018年浙江省杭州）|﹣3|=（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数．
解：|﹣3|=3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中，比较简单．
3. （2018年四川省乐山）如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为 ．
【考点】数轴
【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1﹣x，
根据题意AB=AC，
∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，
解得x=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
4.（2017年四川省）-2的倒数是（ ）
A．-2 B．- C． D．2
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵-2×(?)=1． ∴-2的倒数是-， 故选：B．
◆变式训练
1.（2018年河南省）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】相反数
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
解：﹣的相反数是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.（2018年辽宁省盘锦）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义进行计算．
解：||=，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3.（2018年江苏省扬州）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．5 D．﹣5
【考点】倒数
【分析】依据倒数的定义求解即可．
解：﹣5的倒数﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
■知识点3 科学记数法、近似数、有效数字
◇典例：
1.（2018年天津）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【考点】科学记数法-表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将77800用科学记数法表示为：．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.（2018?雨花区）对于用四舍五入法得到的近似数4.609万，下列说法中正确
的是（ ）
A．它精确到千分位 B．它精确到0.01
C．它精确到万位 D．它精确到十位
【考点】近似数和有效数字．
【分析】由于4.609万=46090，而9在十位上，所以4.609万精确到十位．
解：4.609万精确到0.001万，即十位． 故选D．
◆变式训练
（2018年广西贺州）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为 mm．
【考点】科学记数法-表示较小的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000029=2.9×10﹣7，
故答案为：2.9×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
■考点4：有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算?
◇典例：
（2017?重庆）计算：|-3|+（-1）2= ___________
【考点】有理数的混合运算．
【分析】利用有理数的乘方法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
解：|-3|+（-1）2=4， 故答案为：4．
◆变式训练
（2017?岳阳）计算：2sin60°+|3- |+（π-2）0-（ ）-1．
【考点】实数的混合运算，殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，绝对值
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．
解：原式=2×+3﹣+1﹣2
=2．
【点评】本题考查的是实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解题的关键．
■考点5：平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质?
◇典例：
1.（2018年贵州省安顺）的算术平方根是（ ）
A． B． C．±2 D．2
【考点】算术平方根
【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．
解：=2，2的算术平方根是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．
2.（2018年上海市）﹣8的立方根是 ．
【考点】立方根
【分析】利用立方根的定义即可求解．
解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．
3.（2017?衡阳模拟）若 +（y+2）2=0，则（x+y）2017=（ ）
A．-1 B．1 C．32017 D．-32017
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，计算即可．
解：根据题意得x-1=0，y+2=0， 解得x=1，y=-2， 则原式=（-1）2017=-1． 故选A．www.21-cn-jy.com
◆变式训练
1.（2018年贵州省铜仁）9的平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81
【考点】平方根
【分析】依据平方根的定义求解即可．
解：9的平方根是±3，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2.（2017年湖北省荆门）已知实数m、n满足|n-2|+ =0，则m+2n的值为 _____
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质即可求出m与n的值．
解：由题意可知：n﹣2=0，m+1=0，
∴m=﹣1，n=2，
∴m+2n=﹣1+4=3，
故答案为：3
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
■知识点7.实数的大小比较
◇典例：
（2018年广西贺州）在﹣1、1、、2这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【考点】实数大小比较
【分析】根据实数大小比较的法则比较即可．
解：在实数﹣1，1，，2中，最小的数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
◆变式训练
（ 2018年四川省南充）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【考点】实数大小比较
【分析】将各项数字按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
解：根据题意得：﹣＜0＜1＜，
则最小的数是﹣．
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出数字是解本题的关键．
一、选择题
（2018年浙江省绍兴）如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为（ ）
A．+3m B．+2m C．﹣3m D．﹣2m
【考点】正数和负数
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．
解：若向东走2m记作+2m，则向西走3m记作﹣3m，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
（2018年山东省滨州）若数轴上点A．B分别表示数2、﹣2，则A．B两点之间的距离可表示为（ ）
A．2+（﹣2） B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2
【考点】数轴上两点间的距离
【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．
解：A、B两点之间的距离可表示为：2﹣（﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
（2018年浙江省湖州）2018的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．
【考点】相反数
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
解：2018的相反数是﹣2018，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
（2018年浙江省舟山）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1500000=1.5×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2018年浙江省杭州）下列计算正确的是（ ）
A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2
【考点】算术平方根
【分析】根据=|a|进行计算即可．
解：A、=2，故原题计算正确；
B、=2，故原题计算错误；
C、=4，故原题计算错误；
D、=4，故原题计算错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
二、填空题
（2018年江苏省泰州）8的立方根等于 ．
【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义得出，求出即可．
解：8的立方根是=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对立方根的应用，注意：a的立方根是，其中a可以为正数、负数和0．
（2018年湖北省襄阳）计算：|1﹣|= ．
【考点】实数的性质
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解：|﹣|=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
（2018年海南省 ）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【考点】实数的大小比较
【分析】根据3=＞计算．
解：∵3=，＞，
∴3＞．
故答案是：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．
三、 解答题
（2018年浙江省湖州）计算：（﹣6）2×（﹣）．
【考点】有理数的混合运算
【分析】原式先计算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可求出值．
解：原式=36×（﹣）=18﹣12=6．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2018年浙江省台州）计算：|﹣2|+（﹣1）×（﹣3）
【考点】实数的运算
【分析】首先计算绝对值、二次根式化简、乘法，然后再计算加减即可．
解：原式=2﹣2+3=3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
一、选择题
（2018年重庆（B卷））下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】正整数
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．
解：A、﹣1是负整数，故选项错误；
B、0是非正整数，故选项错误；
C、是分数，不是整数，错误；
D、1是正整数，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
（2018年浙江省舟山）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1500000=1.5×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2018年浙江省杭州市临安）我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（ ）
A．（+39）﹣（﹣7） B．（+39）+（+7）
C．（+39）+（﹣7） D．（+39）﹣（+7）
【考点】有理数的减法
【分析】根据题意列出算式即可．
解：根据题意得：（+39）﹣（﹣7），
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2018年浙江省丽水义乌金华）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣1
【考点】有理数大小比较
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
解：∵﹣1＜﹣＜0＜1，
∴最小的数是﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
（2018年山东省枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【考点】数轴
【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．
解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．
（2018年贵州省贵阳）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A．B、C，若点A．B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
【考点】数轴；相反数
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
解：∵点A、B表示的数互为相反数，
∴原点在线段AB的中点处，
∴点C对应的数是1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
（2018年浙江省杭州市临安）如果a与﹣2互为相反数，那么a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】相反数
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解：﹣2的相反数是2，那么a等于2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
二、 填空题
（2018年黑龙江省绥化）在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 个．
【考点】实数
【分析】根据有理数定义可得．
解：根据题意可得有理数有，﹣1.6，=5
故答案为3．
【点评】本题考查了实数，关键是利用有理数的定义解决问题．
（2018年浙江省宁波）计算：|﹣2018|= ．
【考点】绝对值
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
解：|﹣2018|=2018．
故答案为：2018．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
（2018年广东省 ）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x= ．
【考点】平方根
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
解：根据题意知x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
（2018年广东省 ）已知+|b﹣1|=0，则a+1= ．
【考点】非负数的性质
【分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．
解：∵+|b﹣1|=0，
∴b﹣1=0，a﹣b=0，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
（2018年湖北省咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【考点】估算无理数的大小
【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
三、 解答题
（2018年浙江省杭州）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．
解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷（﹣+）
=6÷（﹣）
=6×（﹣6）
=﹣36．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2017年浙江省金华）计算：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0
=2×﹣1+3﹣1
=1﹣1+3﹣1
=2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2018年湖南省益阳）计算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
【考点】实数的运算
【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
解：原式=5﹣3+4﹣6=0
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
