第一章 数与式第4节 二次根式
知识点一： 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子______叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数 ；
②被开方数中 的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．21教育网
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.21cnjy.com
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 ，一是 ，二是 ．
(2()2＝__ __．
(3)＝|a|＝
知识点二： 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．21·cn·jy·com
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝__ (a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．www.21-cn-jy.com
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1.（2017?宁波）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x-3≥0， 解得x≥3． 故选：D．
2.（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．-2a+b B．2a-b C．-b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a-b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．www.21-cn-jy.com
解：由图可知：a＜0，a-b＜0， 则|a|+ =-a-（a-b） =-2a+b． 故选：A．
◆变式训练
1.( 2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区) 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2. （2017年湖北鄂州）若y=+﹣6，则xy= ．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1.（2017?贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．? B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意； 故选：A．2·1·c·n·j·y
2. （2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
【点评】题考查了同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式
◆变式训练
1.（2017?杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2015凉山州）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：
1.(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
2. （2018年广东省广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________．
【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简
【分析】从数轴可知0
解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a的范围是解题关键
◆变式训练
1.（2017?陕西）计算：（- ）× +| -2|-（ ）-1．
2.（2018年四川省绵阳）等式=成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
1.（2017年山东省潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
2.（2018年江苏省无锡）下列等式正确的是（ ）
A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3
3.（2018年甘肃省兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2018年江苏省镇江）计算：= ．
5.（2018年山东省烟台） 与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
6.（2018年贵州省遵义） 计算﹣1的结果是 ．
7. （2018年湖北省江汉油田）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
8.（2018年湖北省十堰） 计算：|﹣|﹣2﹣1+
9.（2018年四川省内江）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
10（2018年宁夏）先化简，再求值：（﹣）÷，其中，x=﹣3．
一、 、选择题
（2018年浙江省杭州市临安）化简的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
（2017年浙江省宁波）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
（2018年浙江省杭州市临安）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2 C． D．
（2018年重庆（B卷））估计5﹣的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
（2018年上海）下列计算﹣的结果是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
二、 、填空题
（2018年浙江省湖州）二次根式中字母x的取值范围是 ．
（2017年浙江省衢州 ）二次根式中字母a的取值范围是 ．
（2016年浙江省杭州）下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B． =|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
（2016年浙江省舟山）二次根式中字母x的取值范围是 ．
（2018年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
（2018年天津）计算的结果等于__________．
三、 、解答题
（2017年浙江省湖州 ）计算：2×（1﹣）+．
（2017年浙江省台州 ）计算：
（2018年浙江省温州）（1）计算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0．
（2）化简：（m+2）2+4（2﹣m）．
（2018年新疆乌鲁木齐）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x=+1．
第一章 数与式第4节 二次根式
知识点一： 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．21教育网
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.21cnjy.com
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
知识点二： 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．21世纪教育网版权所有
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号 ，就先算括号里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．21·cn·jy·com
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1.（2017?宁波）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x＞3
C．x≤3
D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x-3≥0， 解得x≥3． 故选：D．
2.（2017?枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．-2a+b
B．2a-b
C．-b
D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a-b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．www.21-cn-jy.com
解：由图可知：a＜0，a-b＜0， 则|a|+ =-a-（a-b） =-2a+b． 故选：A．
◆变式训练
1.( 2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区) 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2. （2017年湖北鄂州）若y=+﹣6，则xy= ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．
解：由题意可知：，
解得：x=，
∴y=0+0﹣6=﹣6，
∴xy=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1.（2017?贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．? B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意； 故选：A．2·1·c·n·j·y
2. （2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
【点评】题考查了同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式
◆变式训练
1.（2017?杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【来源：21·世纪·教育·网】
解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式； C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式； D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； 故选：C21·世纪*教育网
2. （2015凉山州）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】 同类二次根式
【分析】此题实际上是找的同类二次根式
解：A选项可化为，
B选项可化为，
D选项可化为，
而C选项可化为，不能与合并，
故选C.
【点评】此题考查了同类二次根式,熟练掌握同类二次根式的走义是解本题的关键。
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：
1.(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
2. （2018年广东省广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________．
【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简
【分析】从数轴可知0解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a的范围是解题关键
◆变式训练
1.（2017?陕西）计算：（- ）× +| -2|-（ ）-1．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
解：原式=-+2--2 =-2- =-3
2.（2018年四川省绵阳）等式=成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
1.（2017年山东省潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；
解：由题意可知：
∴解得：x≥2
故选（B）
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型。
2.（2018年江苏省无锡）下列等式正确的是（ ）
A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
解：（）2=3，A正确；
=3，B错误；
==3，C错误；
（﹣）2=3，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．
3.（2018年甘肃省兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4. （2018年江苏省镇江）计算：= ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】先进行二次根式的乘法计算，然后化简就可以得出．
解：原式=
=
=2．
故答案为：2
【点评】本题考查了二次根式的乘除法计算，运用了公式=的计算，化简最简二次根式的方法的运用．本题是基础题，解答并不难．
5.（2018年山东省烟台） 与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
【考点】同类二次根式
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
6.（2018年贵州省遵义） 计算﹣1的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】首先计算9的算术平方根，再算减法即可．
解：原式=3﹣1=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方的定义．
7. （2018年湖北省江汉油田）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
8.（2018年湖北省十堰） 计算：|﹣|﹣2﹣1+
【考点】实数的运算；负整数指数幂
【分析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．
解：原式=﹣+2=3﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.（2018年四川省内江）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂，二次根式的性质
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式=2﹣+12﹣1×4
=+8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
10（2018年宁夏）先化简，再求值：（﹣）÷，其中，x=﹣3．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式=
当时，原式=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
一、 、选择题
（2018年浙江省杭州市临安）化简的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
解：==2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
（2017年浙江省宁波）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
（2018年浙江省杭州市临安）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2 C． D．
【考点】同底数幂的除法；完全平方公式；分式的基本性质；二次根式的乘除法
【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．
解：A．a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；
B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；
C、===﹣，错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
运算法则：①am÷an=am﹣n，
②÷=（a≥0，b＞0）．
（2018年重庆（B卷））估计5﹣的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【考点】估算无理数的大小
【分析】先合并后，再根据无理数的估计解答即可．
解：，
∵7＜＜8，
∴5﹣的值应在7和8之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．
（2018年上海）下列计算﹣的结果是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简，再合并同类项即可求解．
解：﹣
=3﹣
=2．
故选：C．
二、 、填空题
（2018年浙江省湖州）二次根式中字母x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，
则x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
（2017年浙江省衢州 ）二次根式中字母a的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
（2016年浙江省杭州）下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B． =|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
【考点】二次根式的性质与化简；同底数幂的乘法；多项式乘多项式；分式的混合运算．
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．
解：A．x2?x3=x5，故此选项错误；
B、=|x|，正确；
C、（x2﹣）÷x=x﹣，故此选项错误；
D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识,正确掌握相关运算法则是解题关键
（2016年浙江省舟山）二次根式中字母x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
（2018年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵代数式有意义，
∴实数x的取值范围是：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
（2018年天津）计算的结果等于__________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
解：原式=（）2-（）2
=6-3
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
三、 、解答题
（2017年浙江省湖州 ）计算：2×（1﹣）+．
【考点】 二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可．
解：原式=2﹣2+2
=2．
（2017年浙江省台州 ）计算：
【考点】绝对值，零指数幂，二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式，零次幂，绝对值等性质计算即可得出答案.
解：原式=3+1-3.
=1
（2018年浙江省温州）（1）计算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0．
（2）化简：（m+2）2+4（2﹣m）．
【考点】实数的运算；去括号与添括号；完全平方公式；零指数幂，二次根式化简
【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项即可求解．
解：（1）（﹣2）2﹣+（﹣1）0
=4﹣3+1
=5﹣3；
（2）（m+2）2+4（2﹣m）
=m2+4m+4+8﹣4m
=m2+12．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、二次根式、完全平方公式、去括号法则、合并同类项等考点的运算．
（2018年新疆乌鲁木齐）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x=+1．
【考点】整式的化简求值
【分析】先去括号，再合并同类项；最后把x的值代入即可．
解：原式=x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
=x2﹣2x，
把x=+1代入，得：
原式=（+1）2﹣2（+1）
=3+2﹣2﹣2
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式，此类题的思路为：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
