第一章 数与式第5节一元一次方程（组）
■知识点一：一元一次方程（组）的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=b±c；
②如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值 叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．21·cn·jy·com
4．一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝ ． www.21-cn-jy.com
5.一元一次方程必须三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x= ，是唯一解； （2）a=0，且b=0时，方程有无穷多解； （3）a=0，但b≠0时，方程无解。21教育名师原创作品
7. 二元一次方程(组)的相关概念
（1）二元一次方程：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是__ _，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．21*cnjy*com
（2）二元一次方程组：具有相同未知数的 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（3）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 个解.??
（4）二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.?21cnjy.com
■知识点二：解方程（组）的一般步骤及每步的理论根据和注意点
（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母 ：②去括号 ：③移项 ：④合并 同类项 ：⑤系数化为1．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
（2）二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是 ，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__ 消元法和 消元法．21教育网
■知识点三：一次方程(组)的实际应用
一般步骤
1． ；
2． ；
3．找出能够包含未知数的 ；
4． ；
5． ；
6． ．
■知识点四：解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1一元一次方程（组）的有关概念
◇典例：
1.（） 若=，则= ．
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．
解：根据等式的性质：两边都加1，，
则=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等式的性质,观察要求的式子和已知的式子之间的关系,从而利用等式的性质进行计算。
2.（2013?安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=____________
【考点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
解：根据题意得：.
解得：
则a-b=0． 故答案为：0．
◆变式训练
1.（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2.（2016?台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（ ）
A .x+2y=﹣1 B .x﹣2y=1 C .2x+3y=6 D .2x﹣3y=﹣6
■考点2.解一元一次方程（组）
◇典例
1.（2017?武汉）解方程：4x-3=2（x-1）
【考点】解一元一次方程．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解．
解：4x-3=2（x-1） 4x-3=2x-2 4x-2x=-2+3 2x=1 x=
2.（2018年福建）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法。
◆变式训练
1.(1）解方程：﹣1=
（2）若关于x的方程3x﹣7=2x+a的解与方程x+5=6的解相同，求a的值．
2. （2018年湖北省武汉）解方程组：
■考点3. 一次方程(组)的实际应用
◇典例：
1.（2018年内蒙古通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．
故选：A．
【点评】此题考查的知识点一元一次方程的应用-销售问题，解题的关键是先由已知列一元一次方程求出两种商品的成本价．
2.（2018年广西贵港 ）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【考点】二元一次方程组的应用，
【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)求出租两种客车各需多少费用。
◆变式训练
1.（2017.岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
2.（2017.自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组_____________________．
■考点4. 解简单的三元一次方程组
◇典例：
已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=____，y=_______，z=______．
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 = ________
（2017年云南省）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为 ．
（2017年四川省巴中市）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
（2017年南充市）如果a+3=0，那么a的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
（2017年广东省深圳 ）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=33021
（2016年浙江省温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2018年山东省枣庄）若二元一次方程组的解为，则a﹣b= ．
（2018年四川省攀枝花）解方程：﹣=1．
（2016年浙江省金华）解方程组．
（2018年江苏省镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？
（2018年甘肃省定西 ）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．
一、 、选择题
（2018年浙江省杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．x﹣y=20 B．x+y=20 C．5x﹣2y=60 D．5x+2y=60
（2018年浙江省温州）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动．现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ）
A． B．C．D．
（2017年浙江省衢州 ）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
（2017年浙江省杭州 ）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
（2017年浙江省台州 ）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
运途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费超过7公里的，超出部分每公里收0.8元
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时间所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（??? ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=（ ）
A．1 B．3 C． D．
（2018年浙江省台州）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2018年浙江省杭州市临安）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 、填空题
（2018年浙江省宁波）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ．
（2018年浙江省绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺，竿子长为 尺．
（2017年浙江省金华 ）若=，则= ．
（2018年浙江省杭州市临安）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b= ．
三、 、解答题
（2018年湖北省黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
（2018年浙江省舟山）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得3x=3．
解法二：
由②，得3x+（x﹣3y）=2，③
把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
（2018年湖北省随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将0.化为分数形式
由于0.=0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0.=．
同理可得0.==，1.=1+0.=1+=
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）0.= ，5.= ；
（2）将0.化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0.1= ，2.0= ；
（注：0.1=0.315315…，2.0=2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0.与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0.8571=，则3.1428= ．
（注：0.857l=0.285714285714…）
第一章 数与式第5节一元一次方程（组）
■知识点一：一元一次方程（组）的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=b±c；
②如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值 叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．www.21-cn-jy.com
4．一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0) ．其解为x＝ ． 21*cnjy*com
5.一元一次方程必须 三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x=，是唯一解； （2）a=0，且b=0时，方程有无穷多解； （3）a=0，但b≠0时，方程无解。【版权所有：21教育】
7. 二元一次方程(组)的相关概念
（1）二元一次方程：含有__两个__未知数，并且未知数的项的次数都是__1__，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
（2）二元一次方程组：具有相同未知数的__两个__二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（3）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 无数多 个解.??
（4）二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解.?
■知识点二：解方程（组）的一般步骤及每步的理论根据和注意点
（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母 ：②去括号 ：③移项 ：④合并 同类项 ：⑤系数化为1．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
（2）二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
■知识点三：一次方程(组)的实际应用
一般步骤
1．__审题__；
2．__设元__；
3．找出能够包含未知数的__等量关系__；
4．__列出方程(组)__；
5．__求出方程(组)的解__；
6．__验根并作答__．
■知识点四：解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1一元一次方程（组）的有关概念
◇典例：
1.（） 若=，则= ．
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．
解：根据等式的性质：两边都加1，，
则=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等式的性质,观察要求的式子和已知的式子之间的关系,从而利用等式的性质进行计算。
2.（2013?安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=____________
【考点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
解：根据题意得：.
解得：
则a-b=0． 故答案为：0．
◆变式训练
1.（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【考点】一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．
解：将x=1代入2x-a=0中， ∴2-a=0， ∴a=2 故选B
2.（2016?台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（ ）
A .x+2y=﹣1 B .x﹣2y=1 C .2x+3y=6 D .2x﹣3y=﹣6
【分析】把x和y的值分别代入各式左边等于右边的就是
解：把x和y的值代入A，左边=-3+2=-1=右边
故选A
■考点2.解一元一次方程（组）
◇典例
1.（2017?武汉）解方程：4x-3=2（x-1）
【考点】解一元一次方程．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解．
解：4x-3=2（x-1） 4x-3=2x-2 4x-2x=-2+3 2x=1 x=
2.（2018年福建）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法。
◆变式训练
1.(1）解方程：﹣1=
（2）若关于x的方程3x﹣7=2x+a的解与方程x+5=6的解相同，求a的值．
【考点】解一元一次方程，同解方程
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程求出a的值即可．
解：（1）去分母得：9x﹣3﹣12=10x﹣14，
移项合并得：x=﹣1；
（2）方程x+5=6，
去分母得：x+10=12，
解得：x=2，
把x=2代入3x﹣7=2x+a中得：a=﹣5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及同解方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. （2018年湖北省武汉）解方程组：
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
②﹣①得：x=6，
把x=6代入①得：y=4，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
■考点3. 一次方程(组)的实际应用
◇典例：
1.（2018年内蒙古通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．
故选：A．
【点评】此题考查的知识点一元一次方程的应用-销售问题，解题的关键是先由已知列一元一次方程求出两种商品的成本价．
2.（2018年广西贵港 ）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【考点】二元一次方程组的应用，
【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)求出租两种客车各需多少费用。
◆变式训练
1.（2017.岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这批书共有3x本，
根据题意得： =，
解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有500本．
2.（2017.自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组_____________________．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为：．
■考点4. 解简单的三元一次方程组
◇典例：
已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=____，y=_______，z=______．
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 = ________
【考点】解三元一次方程组．
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
解：由题意得：
①×2-②得y=11z， 代入①得x=-19z，
故本题答案为：
（2017年云南省）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为 ．
【考点】一元一次方程的解．解一元一次方程
【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值．
解：把x=1代入方程得：2+a+5=0，
解得：a=﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
（2017年四川省巴中市）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：①+②，得
3（x+y）=3﹣3k，
由x+y=0，得
3﹣3k=0，
解得k=1，
故选：B．
（2017年南充市）如果a+3=0，那么a的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】 解一元一次方程．
【分析】直接移项可求出a的值．
解：移项可得：a=﹣3．
故选B．
（2017年广东省深圳 ）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（ ）
A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=33021
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．
解：设上个月卖出x双，根据题意得
（1+10%）x=330．
故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
（2016年浙江省温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．
解：设甲数为x，乙数为y，根据题意，
可列方程组，得：，
故选：A．
（2018年山东省枣庄）若二元一次方程组的解为，则a﹣b= ．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
（2018年四川省攀枝花）解方程：﹣=1．
【考点】解一元一次方程
【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，
移项得：﹣x=17，
系数化为1得：x=﹣17．
【点评】注意：在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项．
（2016年浙江省金华）解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
由①﹣②，得y=3，
把y=3代入②，得x+3=2，
解得：x=﹣1．
则原方程组的解是．
（2018年江苏省镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设这本名著共有x页，根据头两天读的页数是整本书的，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这本名著共有x页，
根据题意得：36+（x﹣36）=x，
解得：x=216．
答：这本名著共有216页．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2018年甘肃省定西 ）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，
根据题意得：，
解得：．
答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
一、 、选择题
（2018年浙江省杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．x﹣y=20 B．x+y=20 C．5x﹣2y=60 D．5x+2y=60
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程
【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．
解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，
依题意得：5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0=60．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20，避免误选B．
（2018年浙江省温州）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动．现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】本题中的两个等量关系：49座客车数量+37座客车数量=10，两种客车载客量之和=466．
解：设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
（2017年浙江省衢州 ）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】用加减消元法解方程组即可．
解：①﹣②得到y=2，把y=2代入①得到x=4，
∴，
故选B．
（2017年浙江省杭州 ）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A．两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关．
（2017年浙江省台州 ）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
运途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费超过7公里的，超出部分每公里收0.8元
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时间所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（??? ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【考点】列代数式，二元一次方程的应用，根据数量关系列出方程
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差。
解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,
10.8+0.3x=16.5+0.3y,
0.3（x-y）=5.7,
x-y=19,
故答案为D.
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=（ ）
A．1 B．3 C． D．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】将两式相加即可求出a﹣b的值．
解：∵x+y=3，3x﹣5y=4，
∴两式相加可得：（x+y）+（3x﹣5y）=3+4，
∴4x﹣4y=7，
∴x﹣y=，
∵x=a，y=b，
∴a﹣b=x﹣y=
故选D
（2018年浙江省台州）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】一元一次方程的应用
【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间，总共时间为100s，列出方程求解即可．
解：设两人相遇的次数为x，依题意有
x=100，
解得x=4.5，
∵x为整数，
∴x取4．
故选：B．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
（2018年浙江省杭州市临安）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】一元一次方程的应用
【分析】由图可知：2球体的重量=5圆柱体的重量，2正方体的重量=3圆柱体的重量．可设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程即可得出答案．
解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．
根据等量关系列方程2x=5y；2z=3y，消去y可得：x=z，
则3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
故选：D．
【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系．
二、 、填空题
（2018年浙江省宁波）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
解：原式=（x+2y）（x﹣2y）
=﹣3×5
=﹣15
故答案为：﹣15
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
（2018年浙江省绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为 尺，竿子长为 尺．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：，
解得：．
答：索长为20尺，竿子长为15尺．
故答案为：20；15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2017年浙江省金华 ）若=，则= ．
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．
解：根据等式的性质：两边都加1，，
则=，
故答案为：．
（2018年浙江省杭州市临安）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b= ．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】要求a+b的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4个等式，找到它们的规律，即中，b=n+1，a=（n+1）2﹣1．
解：根据题中材料可知=，
∵10+=102×，
∴b=10，a=99，
a+b=109．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．
三、 、解答题
（2018年湖北省黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克．根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可．
解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
根据题意，得，
解得．
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组再求解．
（2018年浙江省舟山）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得3x=3．
解法二：
由②，得3x+（x﹣3y）=2，③
把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；
（2）根据加减消元法解方程即可求解．
解：（1）解法一中的解题过程有错误，
由①﹣②，得3x=3“×”，
应为由①﹣②，得﹣3x=3；
（2）由①﹣②，得﹣3x=3，解得x=﹣1，
把x=﹣1代入①，得﹣1﹣3y=5，解得y=﹣2．
故原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2018年湖北省随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将0.化为分数形式
由于0.=0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0.=．
同理可得0.==，1.=1+0.=1+=
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）0.= ，5.= ；
（2）将0.化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）0.1= ，2.0= ；
（注：0.1=0.315315…，2.0=2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较0.与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知0.8571=，则3.1428= ．
（注：0.857l=0.285714285714…）
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．
解：（1）由题意知0.=、5.=5+=，
故答案为：、；
（2）0.=0.232323……，
设x=0.232323……①，
则100x=23.2323……②，
②﹣①，得：99x=23，
解得：x=，
∴0.=；
（3）同理
0.1==，2.0=2+=
故答案为：，
（4）①0.==1
故答案为：=
②3.1428+0.8571=3.=4
∴4﹣0.8571=4﹣=
故答案为：
【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读材料的示例找到规律．
