§2.3.4平面与平面垂直的性质导学案
学习目标
1.理解和掌握面面垂直的性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题.
2.通过证明一些空间位置关系的简单命题,进一步体会性质定理的运用.
3.由平面与平面垂直的判定和性质定理间的相互联系,体会转化思想的重要性.
学习过程
(一)基础梳理
预习教材P71-72页,完成以下填空
(1)两个平面互相垂直的定义:一般地,
(2)两个平面垂直的判定定理: .
(3)过空间一点只能作 条直线与已知平面垂直.(填写数量)
(4)请列举教室里“平面与平面垂直”的实例: .
（二）合作探究
问题1 我们知道黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面
垂直? (小组合作探究)
(1)请结合右边数学模型作出示意图:
(2)你能对自己的作法说明理由吗?
性质定理:
性
质
定
理
符号描述
图形描述
想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:
①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( )
②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )
③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( )
问题2 平面平面,过一个平面内任意一点作平面的垂线,则直线与平面具有什么位置关系? (小组合作探究)
请结合下面图形作出示意图,并说明理由
（三）小试牛刀
例2:.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD （2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角.
例3：如图,已知平面平面,且,直线,试判断直线与平面的位置关系.
:
(四)交流总结
平面与平面垂直的性质教学设计
教学目标
(一)知识与技能
让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题.
(二)过程与方法
1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理;
2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用.
(三)情感、态度与价值观
1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力;
2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;
3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.
内容分析
教学重点
平面与平面垂直性质定理
教学难点
平面与平面垂直性质定理应用
教学模式
教师设疑引导,学生自主探究
教学过程
（一）情境创设、引入课题
复习回顾 两个平面互相垂直定义、判定定理.
生活感知 教室里就有许多平面与平面垂直的例子.
问 题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
直观感知 在黑板面内画地面垂线
板书课题 平面与平面垂直的性质
（二）合作探究、形成知识
(1)合作探究,证明定理
抽象概括 实际问题化归为数学模型
动手操作 小组合作
例1 如图,已知平面平面,,
直线于点,求证:.
展示操作 几何画板演示学生思路
演绎证明 在平面内作于点,又,
所以是二面角的平面角,
由知,,
且,所以.
板书定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号描述 图形描述
(2)小题竞答,夯实基础
想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:
①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( )
②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )
③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( )
强调条件 由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件?
习惯引导 我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词.
变式引入 现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论?
(3)知识运用，应用巩固
过渡引入:让我们应用性质定理来处理空间线面关系
例2:.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD （2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角.
(4)类比迁移,发展思维
问 题2 面面,过一个平面内任意一点作平面的垂线,则直线与面具有什么位置关系?
请结合下面图形作出示意图,并说明理由
了解方法 同一法
板书推论 两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平
面内.
（5）小试牛刀、应用巩固
过渡引入 性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗?
问题展示 例3 如图,已知平面平面,且,
直线,试判断直线与平面的位置关系.
逻辑推理
【解】 在内作,
因为,且,所以,
又因为,所以
又因为,所以.
即直线与平面平行.
适时点评 性质定理也能处理有关线面平行关系问题.
变式练习 改变条件,结论如何?
如图,已知平面平面,且,直线,且,
试判断直线与平面的位置关系.
学生交流 小组合作
【解】 如图,在直线上取一点,则,
所以直线和点所确定的一个平面,记为,
且,由,则,
又因为,所以,
又,且,所以,
所以,即直线与平面垂直.
回归生活 激发学习兴趣!
课后延展 作业意图
(四)归纳总结、提升认识
1、我们主要学习了:性质定理
2、我们还了解了: 转化思想 线线垂直?线面垂直?面面垂直
(五)布置作业、板书设计
教材P73页A组练习第5题
课件11张PPT。平面与平面垂直的性质问题1 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
怎样将上述问题转化为数学问题？例1.如图，平面 ⊥平面 ，
直线 , 于点 B，
求证：
想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:
①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另
一个平面垂直.( )
②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另
一个平面. ( )
③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂
线,则此垂线必垂直于另一个平面.( )
例2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，（1）求证：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角.推论:两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第
二个平面的直线,在第一个平面内. 2.初步了解了:性质定理面面垂直在身边一个面内的直线垂直两面之交线转化思想1.主要学习了:线面垂直即可见线线垂直线面垂直面面垂直教材Ｐ73页A组练习第5题祝大家：身体健康！
工作顺利！
万事如意！感谢各位专家、老师莅临指导！§2.3.4平面与平面垂直的性质
教学目标
(一)知识与技能 让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题.
(二)过程与方法 1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理;
2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用.
(三)情感、态度与价值观 1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培
养学生逻辑推理能力;2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重
要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生
体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.
内容分析
教学重点
平面与平面垂直性质定理
教学难点
平面与平面垂直性质定理应用
教学模式
教师设疑引导,学生自主探究
教学过程: 要求教师课前将例1、例2两题图画黑在板上.
（一）情境创设、引入课题 ①约3分钟
师:上课!
生:起立,老师好!
师:同学们好,请坐!
师:很高兴与大家一起学习交流.
师:前面我们已经学习了两个平面互相垂直的定义及判定定理;请大家回顾一下,
两个平面互相垂直是指?其判定定理呢？教师作答问示意动作
生1:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
生2:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
师:非常好,请座.
板书 线面垂直 面面垂直 (为后面总结思想方法作准备)
情境来临
过渡 我们教室里就有许多面面垂直的例子,大家能不能举几个例子?
(请举手发言 示意)
生:黑板面与教室地面、教室墙面与地面等等!
师:很好,这位同学观察非常仔细!
问题1 我们知道黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面
垂直?
放幻灯片!
教师用三角板示意画,斜,再陡一点,学生自然联想到要笔直画(垂直交线).
将上述问题抽象成数学问题,展示在大屏幕上.
师:大家同意吗?
生:同意.
师:很好,老师也这么认为,但这是不是一定正确呢?这就是我们今天要研究的问题:
板书课题 平面与平面垂直的性质
（二）合作探究、形成知识
(1)合作探究,证明定理 ② 约6分钟)
师:要解决这个实际问题,首先,我们需将其转化为数学模型
请看大屏幕
黑板面视为面,地面为,且,交线为,
操作 刚才这位同学提出了在黑板面内作交线,并猜想其垂直于地面.
展示 已知和求证.
能否运用已学的知识证明这一点呢?
请小组合作探究,推荐代表展示.
例1 如图,已知平面平面,,
直线于点,求证:.
注意,成果的展示由学生上黑板做.
小组讨论,教师巡视,并在黑板上板书如下内容(只写题目)
证明: 在平面内作于点,又,
所以是二面角的平面角,
由知,,
且,所以.
教师对小组的结果进行积极的评价,强调规范性,适当的掌声鼓励！
师:由此可知,我们的猜想是对的,这一事实叫做面面垂直的性质定理
③ 约 2分钟
板书 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形描述
符号描述
过渡 下面来检验一下大家这个定理认识情况.
(2)小题竞答,夯实基础 ④ 约 5分钟
想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:
①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.(√)
师:这说明两个平面相交,只有两面垂直的情况下,才有可能得到线面垂直.
板书 面面垂直 线面垂直
②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.(×)
板书 垂直交线
③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面(×)
板书 面内直线
师: 非常好! 由此可知,性质定理的成立,必须具备哪几个条件?
生: 面面垂直、面内直线、垂直交线
师: 很好!所以,平常学习中,对定义、定理的理解,要紧扣其关键词.
结构 (放在性质定理的上边板书,便于总结思想)
过渡 现在我们把问题3的条件改变一下,请看大屏幕
放幻灯片! 展示在大屏幕上
(3)类比迁移,发展思维 ⑤ 约5分钟
问题2 平面平面,过一个平面内任意一点作平面的垂线,则直线与平面具有什么位置关系?
小组合作探究,推荐代表发言
生1:过点在平面内作直线,根据平面与平面垂直的性质定理有,
而我们知道,过一点只能作一条直线与已知平面垂直,
所以过点也只能作一条直线与平面垂直,所以直线与直线重合,因此.
师: 大家同意吗?
生: 同意.
师: 这位同学真不错,思路清晰,表达明白,掌声鼓励一下.
师:还有不同意见的吗? 题目有没有说这个点位置只能如此给定,还有其它情况吗?
刚才我们在判断第3个命题时,点还有什么可能位置?
生2:和上面一样的.
师:为什么,请你再说详细点!鼓励性语言.
生2:同样过在平面内作直线,根据平面与平面垂直的性质定理有,
同理,过点也只能作一条直线与平面垂直,所以直线与直线重合,因此.
师:大家同意吗?
生:同意!
师:他说的非常的好!这种证明方法叫做同一法,在奥数学习或大学课程要经常用到它.
板书 同一法
类比性质定理,从问题2中我们能得到什么结论?
师:嗯,真不错,大家得到了性质定理的一个推论. 板书
推论 两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面
内.
过渡 性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗?
请看大屏幕.
（三）小试牛刀、应用巩固
例2:.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD （2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角.
放幻灯片! 展示在大屏幕上. ⑥例2 约5分钟
让学生上黑板板书此题,教师再讲评! ⑦例3 约5分钟
例3：如图,已知平面平面,且,
直线,试判断直线与平面的位置关系.
【解】 在内作,
因为,且,所以,
又因为,所以
又因为,所以.
即直线与平面平行.
师:这位同学的表现非常不错,思路清晰,板书工整.
由本题可知,性质定理也能处理有关线面平行关系问题
好的,我们现在再把问题的条件变一下,看结果又如何?
变式练习 ⑧ 约10分钟
如图,已知平面平面,且,直线,且,
试判断直线与平面的位置关系.
小组合作,代表发言!
教师给予鼓励,并几何画板展示出来.
【解】 如图,在直线上取一点,则,
所以直线和点所确定的一个平面,记为,
且,由,则,
又因为,所以,
又,且,所以,
所以,即直线与平面垂直.
过渡 这位同学的表现太棒了、掌声鼓励一下!
生:好的!
师:请大家观察这个图形(变式练习中图形),平面与平面位置关系如何?
生:垂直!
师:为什么?
生:平面经过了平面的垂线.
师:很好!那么图中平面都与平面垂直.那么它们的交线与平面的位置关系呢?
生:垂直!
师:不错!在我们教室里能不能找到这样的数学模型!
生: ①我们教室内黑板面与旁边一墙面都垂直于地面,它们交线,即墙角线也垂直地面;
②把教室的门打开时,不论转角多大时,其轴线垂始终垂直于地面;
③与我们朝夕相伴书本打开时,也有这个现象!
师:非常好.大家对身边事物观察都非常细心.
①数学来源于生活,也服务于生活,现代房屋建筑的框架结构,先钢筋水泥浇灌框架,再砌墙面,就是利用了数学中面面垂直的判定定理和性质定理.
②所以我真诚的希望同学们认真学好数学知识,将来更好的服务社会,实现自己更高的人生价值.
③这个事实的证明,留给同学们课外去完成.即教材73页第5题.
师:下面我们一起来回顾一下,本节课所学的内容,大家收获了什么?
(四)归纳总结、提升认识. 约3分钟
1、我们主要学习了:性质定理
2、我们还了解了: 转化思想 线线垂直?线面垂直?面面垂直
实际问题?数学模型(服务于生活)
(五)布置作业
师:今天的课堂作业是教材P73页A组练习第5题
板书设计
预案: 接变式练习中“师:非常好,大家对身边事物观察都挺细心”,
那么这个现象具有普遍性吗?
请大家小组合作,挑战一下! 看能否证明这个问题.
展示在大屏幕上,如下:
变式练习2
如图,已知平面满足,
.求证:.
证明 法一 如图,在平面内作直线,且与不重合,
在内作直线,且不不重合,
由,可知,同理知,
所以,且,所以,
又,所以,所以.
法二 如图,在平面内取一点,点不在直线上,
过点作于点于点,
则由,知,,
所以,同理可知,所以,
又,,所以.
法三 如图所示,在直线任取一点,
过点作直线,由点,
所以,同理,所以,
即与重合,所以,即证.
