第一章 数与式第6节一元二次方程及应用
■知识点一：一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是 ，其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是 ．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或______．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝ 的形式，再利用直接开平方法求解．21cnjy.com
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ ．
■知识点二： 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个___________的实数根．
2．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个___________的实数根．
3．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___________实数根．
■知识点三： 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．【版权所有：21教育】
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■知识点四：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2007?滨州）关于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解为（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=-1 D．无解
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．解：根据题意得m2+1=2 ∴m=±1 又m=-1不符合题意 ∴m=1 把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0 解得x1=x2=-1． 故选：C．
2. （2018年甘肃省兰州）解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac=28，根据公式即可求出答案．
解：=
即，
∴原方程的解为，
【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．
◆变式训练
1.（2018 年广西梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．
2. （2017年山东滨州）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
(2018年青海省) 关于一元二次方程x2-2x-1=0根的情况，下列说法正确的是( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式，可得答案．
解：∵a=-1,b=-2,c=-1，
∴△=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)-8＞0，
一元二次方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键．
◆变式训练
（2017.阿坝）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2017.凉山）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．21教育网
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
◆变式训练
（2017.泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）2-1-c-n-j-y
A．7 B．11 C．12 D．16
■考点4. 一元二次方程的应用
◇典例：
1.（2017.安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25 D．25（1﹣x）2=16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．.
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2=16．
故选D．
2.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【考点】规律型：图形的变化类，一元二次方程的应用
【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
◆变式训练
1.（2017.宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
2.（2018年湖北省宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
（2017年湖南娄底 ）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
（2018年宁夏 ）若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
（2017年山东省东营）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
（2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
（2017年江苏省无锡市 ）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
（2017年四川省巴中）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为 ．
（2018年广西柳州）一元二次方程x2﹣9=0的解是 ．
（2018年山东省烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．
（2018年黑龙江省绥化）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=时，方程的两
（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．
解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
一、 、选择题
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=3
（2017年浙江省杭州 ）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
（2018年浙江省嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
（2016年浙江省金华 ）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
（2016年浙江省丽水 ）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
（2017年浙江省温州 ）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
（2018年浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
（2018年浙江省温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
二、 、填空题
（2018年浙江省台州）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
（2018年浙江省杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= ．
（2016年浙江省金华 ）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
三、 、解答题
（2017年浙江省丽水 ）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
（2017年浙江省衢州 ）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
（2018年浙江省杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．
②若AD=EC，求的值．
（2017年浙江省台州 ）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根；
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， ， 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？
第一章 数与式第6节一元二次方程及应用
■知识点一：一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ 其中 ax2 叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项； a 叫做二次项的系数， b 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■知识点二： 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
2．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
3．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
■知识点三： 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■知识点四：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2007?滨州）关于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解为（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=-1 D．无解
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．解：根据题意得m2+1=2 ∴m=±1 又m=-1不符合题意 ∴m=1 把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0 解得x1=x2=-1． 故选：C．
2. （2018年甘肃省兰州）解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac=28，根据公式即可求出答案．
解：=
即，
∴原方程的解为，
【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．
◆变式训练
1.（2018 年广西梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．
【考点】一元二次方程的解法﹣因式分解法
【分析】利用因式分解法解方程即可；
解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解 一元二次方程的解法，属于中考基础题．
2. （2017年山东滨州）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．
解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+=﹣8+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
(2018年青海省) 关于一元二次方程x2-2x-1=0根的情况，下列说法正确的是( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式，可得答案．
解：∵a=-1,b=-2,c=-1，
∴△=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)-8＞0，
一元二次方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键．
◆变式训练
（2017.阿坝）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，得出△=16﹣4c=0，解方程即可求出c的值．
解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4c=0，解得c=4．
故答案为4．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2017.凉山）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．21教育网
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
◆变式训练
（2017.泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）2-1-c-n-j-y
A．7 B．11 C．12 D．16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
■考点4. 一元二次方程的应用
◇典例：
1.（2017.安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25 D．25（1﹣x）2=16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．.
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2=16．
故选D．
2.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【考点】规律型：图形的变化类，一元二次方程的应用
【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
◆变式训练
1.（2017.宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【版权所有：21教育】
解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
2.（2018年湖北省宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；
（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．
解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（2017年湖南娄底 ）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
【考点】根的判别式，一元二次方程的定义
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠0．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
（2018年宁夏 ）若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2017年山东省东营）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【考点】解一元二次方程﹣配方法，非负数的性质
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．
解：根据题意得|x2﹣4x+4|+=0，
所以|x2﹣4x+4|=0， =0，
即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，
所以x=2，y=1，
所以x+y=3．
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．
（2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣=﹣1，=﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
（2017年江苏省无锡市 ）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．21世纪教育网版权所有
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，www.21-cn-jy.com
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选：C．
（2017年四川省巴中）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，可得1+a+b=0，推出a+b=﹣1，可得a2+2ab+b2=（a+b）2=1．
解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴1+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=1．
故答案为1．
【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．
（2018年广西柳州）一元二次方程x2﹣9=0的解是 ．
【考点】一元二次方程-直接开平方法
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
解：∵x2﹣9=0，
∴x2=9，
解得：x1=3，x2=﹣3．
故答案为：x1=3，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
（2018年山东省烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．
【考点】一元二次方程的根的判别式的应用
【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根
（2018年黑龙江省绥化）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=时，方程的两
【考点】根的判别式；根与系数的关系；矩形的性质
【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=5、x1x2=5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．
解：（1）∵方程有实数根，
∴△=（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）
m≤，（2分）
∴当m≤时，原方程有实数根；
（2）当m=时，原方程可化为：x2﹣5x+5=0，
设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2=5，x1?x2=5，（4分）
∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，
∴AC====，（5分）
∴该矩形外接圆的直径是．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．
（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．
解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
一、 、选择题
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1=0，
∴x2+2x+1=2，
∴（x+1）2=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
（2017年浙江省杭州 ）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2=16.8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
（2018年浙江省嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（2016年浙江省金华 ）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣=3，x1?x2==﹣2”，再结合四个选项即可得出结论．
解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=3，x1?x2==﹣2，
∴C选项正确．
故选C．
（2016年浙江省丽水 ）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解：A．△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
（2017年浙江省温州 ）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
（2018年浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（2018年浙江省温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
【考点】数学常识；勾股定理的证明，一元二次方程的运用
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．
解：设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（3+x）2+（x+4）2=72，
整理得，x2+7x﹣12=0，
解得x=或x=（舍去），
∴该矩形的面积=（+3）（+4）=24，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
二、 、填空题
（2018年浙江省台州）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
【考点】根的判别式
【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m=0，然后解关于m的方程即可，
解：根据题意得△=32﹣4m=0，
解得m=．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
（2018年浙江省杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题），一元二次方程的应用
【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．
解：设AD=x，则AB=x+2，
∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴四边形AEFD为正方形，
∴AE=AD=x，
∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，
∴DH=DC=x+2，
∵HE=1，
∴AH=AE﹣HE=x﹣1，
在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，
∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，
整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），
即AD的长为3+2．
故答案为3+2．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
（2016年浙江省金华 ）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．勾股定理的应用，一元二次方程的应用
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
三、 、解答题
（2017年浙江省丽水 ）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2017年浙江省衢州 ）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
【考点】一元二次方程的应用；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率．
解：（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.1，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．
（2018年浙江省杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．
②若AD=EC，求的值．
【考点】一元二次方程的解；直角三角形的性质；勾股定理
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；
（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，
∴∠B=62°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=59°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；
（2）①由勾股定理得，AB==，
∴AD=﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；
②∵AD=AE，
∴AE=EC=，
由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，
整理得，=．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
（2017年浙江省台州 ）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根；
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， ， 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.
（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。
（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。
（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+x+=0.再依据相对应的系数相等即可求出。
（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴.
∴.
∴m（5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+x+=0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又ax2+bx+c=0,
即x2+x+=0.
比较系数可得：m1+m2=-.
m1m2+n1n2=.
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．
