2017-2018学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={1，3}，则（?UA）∩B=______．
已知点A（-1，2），B（1，3），则向量
????
的坐标为______．
函数f（x）=
2???
??????
的定义域为______．
函数f（x）=
1?????????
1+????????
的最小正周期为______．
已知幂函数（x）=xα，其中α∈{-1，0，
1
2
，1，2，3}，则使f（x）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数的α的值为______．
已知函数f（x）=
??????,??>0
??
??
,??≤0
，其中e为自然对数的底数，则f（f（
1
??
））=______．
已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-1，将函数y=f（x）图象向右平移
??
4
个单位后与函数y=g（x）图象重合，则函数y=g（x）在区间[0，π]上的单调减区间为______．
已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且在区间[0，2]上是单调减函数．若f（2x+1）+f（1）＜0，则x的取值范围是______．
如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上（BC足够长），那么折痕EF的长度取决于角∠BFE的大小，若sin∠BFE=
3
5
，AB=6，则折痕EF的长度为______．
河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为______m/s．
在平面直角坐标系xOy中，已知单位圆上动点P（sin（150°-2t），cos（150°-2t）），当t由0°增大到60°时，动点P轨迹的长度为______．
如图：已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足
????
=??
????
+（1-λ）
????
（0＜λ＜1），则
????
?
????
的取值范围是______．
已知sinα=
4
5
，
??
=（sin（α+
????
3
），-sin（α+
????
6
）），
??
=（sin（???
????
3
），sin（α-
????
6
）），k∈N*，
??
?
??
的所有可能取值的集合为______．
定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|，②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）-3-x-a的仅有有限个零点，则实数a的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知向量
??
=（sinθ，cosθ-2sinθ），
??
=（2，1），其中0＜θ＜π．（1）若
??
∥
??
，求sinθ，cosθ的值；（2）若|
??
|=|
??
|，求θ的值．
已知函数f（x）=lg
?????1
???1
（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数且为非常数函数，求实数k值；（2）若函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围．
某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
??
2
）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0
??
2
π
3??
2
2π
x
E
??
6
F
2??
3
G
f（x）
0
3
0
-3
0
（1）请将下表中的数据补充完整，求出E、F、G处的数值，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）求当x∈[-
??
6
，
??
3
]时，函数f（x）的值域；（3）若f（
??
2
）=1，α∈（-π，0），求f（α）的值．
某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧
????
、
????
所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=
2??
3
，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．

已知函数f（x）满足：f（lgx）=x．（1）若f（x）-
1
??(|??|)
=2，求x的值；（2）对于任意实数x1，x2，试比较
??(
??
1
)+??(
??
2
)
2
与f（
??
1
+
??
2
2
）的大小；（3）若方程f（ax2-x）=100在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．
若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f （x）-g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lnx，g（x）=2-x，判断f（x）和g（x）在[1，3]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x-2|和g（x）=mx2-1在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{3}【解析】
解：∵全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={1，3}， ∴CUA={0，3}， ∴（?UA）∩B={3}． 故答案为：{3}．利用交集、补集的定义直接求解．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】（2，1）【解析】
解：点A（-1，2），B（1，3），则向量=（1-（-1），3-2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．根据平面向量的坐标表示，即可写出向量的坐标．本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．
3.【答案】{x|0＜x≤2且x≠1}【解析】
解：函数f（x）=，∴，解得，∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
4.【答案】π【解析】
解：函数f（x）==tan（-x）=-tan（x-） 的最小正周期为π，故答案为：π．利用两角差的正切公式化简函数的解析式，再利用正切函数的周期性，得出结论．本题主要考查两角差的正切公式，正切函数的周期性，属于基础题．
5.【答案】2【解析】
解：由题意α∈{-1，0，，1，2，3}，幂函数（x）=xα，f（x）为偶函数，则a为偶函数，在区间（0，+∞）上是单调增，则a＞0，综上可得a=2．故答案为：2．根据幂函数（x）=xα，f（x）为偶函数，则a为偶函数，在区间（0，+∞）上是单调增，则a＞0，可得答案．本题考查了幂函数的单调性和奇偶性的应用．属于基础题．
6.【答案】
1
??
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=，则f（）=ln（）=-1，则f（f（））=f（-1）=e-1=，故答案为：．根据题意，由函数的解析式先求出f（）的值，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段讨论，属于基础题．
7.【答案】[
3??
8
，
7??
8
]【解析】
解：f（x）=2cos2x+sin2x-1=sin2x+cos2x=，将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得y=，则g（x）=．由，可得，k∈Z．取k=0，可得函数y=g（x）在区间[0，π]上的单调减区间为[]．故答案为：[]．利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，再由平移变换得到g（x），由复合函数的单调性求函数y=g（x）在区间[0，π]上的单调减区间．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．
8.【答案】（-1，
1
2
]【解析】
解：函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且在区间[0，2]上是单调减函数．∴[-2，0]上单调减函数；由f（2x+1）+f（1）＜0，即f（2x+1）＜-f（1）．∴f（2x+1）＜f（-1）．则，解得：．则x的取值范围是（-1，]．故答案为：（-1，]．由函数f（x）是奇函数，可得f（2x+1）＜f（-1）．根据单调性脱去“f”，求解即可．本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．属于基础题．
9.【答案】
125
16
【解析】
解：设EF=x，由题意可得△BEF≌△GEF，可得EG=EB=EFsin∠BFE=x，AE=AB-EB=6-x，∠BEF=∠GEF=90°-∠BFE，可得∠AEG=180°-2（90°-∠BFE）=2∠BFE，可得cos∠AEG=cos2∠BFE=1-2sin2∠BFE=1-2×=，即有=-1=，解得x=．故答案为：．设EF=x，由题意可得△BEF≌△GEF，可得EG=EB，即有AE，运用二倍角公式和诱导公式，结合解直角三角形即可得到所求值．本题考查三角形的全等的判断和性质的运用，考查三角函数的恒等变换和方程思想、运算能力，属于中档题．
10.【答案】2
26
【解析】
解：为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸；静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．∴静水速度v1====2m/s．故答案为：．“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边的边．长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．本题考查小船的静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用．
11.【答案】
2??
3
【解析】
解：∵t∈[0°，60°]，∴150°-2t∈[30°，150°]，∴∠POP′=120°，∴由题意，如图所示，动点P轨迹=1×=．故答案为：．由已知可求范围150°-2t∈[30°，150°]，进而可求∠POP′=120°，利用弧长公式即可计算得解．本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
12.【答案】[-
3
4
，0）【解析】
解：∵=+（1-λ）（0＜λ＜1），∴=即，∴A，B，C 三点共线，∵0＜λ＜1，∠AOB=120°，∴C在线段AB上，且|OC|，∴=（）?（）==-1+则的取值范围是[-）故答案为：[-）由题意和可得点C在线段AB上，且|OC|∈[，1），又可得=-1+，结合的范围进而可求．本题考查向量数量积运算和向量的共线定理，属中档题．
13.【答案】{-1，-
1
2
，
1
2
，1}【解析】
【分析】根据向量的数量积和三角函数的化简可得?=-cos，即可求出所有取值的集合．本题考查了向量的数量积的运算和三角函数的化简，考查了运算能力和转化能力，属于中档题【解答】解：∵=（sin（α+），-sin（α+）），=（sin（），sin（α-）），∴?=sin（α+）sin（α-）-sin（α+）sin（α-）=sin2αcos2-cos2αsin2-sin2αcos2+cos2αsin2，=sin2α（cos2-cos2）+cos2α（sin2-sin2），=sin2α（sin2-cos2）+cos2α（sin2-cos2），=sin2-cos2，=-cos，当k=0时，?=-1，当k=1时，?=-，当k=2时，?=，当k=3时，?=1，当k=4时，?=，当k=5时，?=-，当k=6时，?=-1，当k=7时，?=-，当k=8时，?=，当k=9时，?=1，依此类推，可得?的所有可能取值的集合为{-1，-，，1}．故答案为?{-1，-，，1}.
14.【答案】[-
1
3
，0）【解析】
解：根据题意，当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|=，又由f（3x）=3f（x），作出函数f（x）在[1，+∞）上的图象，函数F（x）=f（x）-3-x-a仅有有限个零点，则函数y=f（x）与函数y=3-x+a=（）x+a的图象有有限个交点，即函数y=（）x+a的图象与x轴必有交点，则有a＜0，且a+≥0，即a的取值范围为[-，0），故答案为：[-，0）．根据题意，分析作出函数f（x）的草图，分析可得若函数F（x）=f（x）-3-x-α的仅有有限个零点，则函数y=f（x）与函数y=3-x+α=（）x+a的图象有有限个交点，结合指数函数的图象分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点的判定，涉及函数的图象与图象的变换，注意利用函数图象的交点分析函数F（x）=f（x）-3-x-a的零点个数．
15.【答案】解：（1）向量
??
=（sinθ，cosθ-2sinθ），
??
=（2，1），∵
??
∥
??
，∴sinθ=2cosθ-4sinθ，显然cosθ≠0，∴tan??=
2
5
．∴sinθ?cosθ=
?????????????????
????
??
2
??+????
??
2
??
=
????????
????
??
2
??+1
=
10
29
；（2）∵|
??
|=|
??
|，∴
????
??
2
??+(?????????2????????
)
2
=
5
．∴cos2θ+sinθcosθ=0，cosθ=0或sinθ=-cosθ．又0＜θ＜π，∴??=
??
2
或??=
3??
4
．【解析】
（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示求解即可；（2）由||=||，化简得cos2θ+sinθcosθ=0，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．本题考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算，是基础题．
16.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=lg
?????1
???1
为奇函数，则有f（-x）+f（x）=0，即lg
??????1
????1
+lg
?????1
???1
=lg
1?
??
2
??
2
1?
??
2
=0，则有
1?
??
2
??
2
1?
??
2
=1对于任意的x的恒成立，则有k=±1，当k=1时，f（x）=lg1=0，为常数函数，当k=-1时，f（x）=lg
1+??
1???
=0，为奇函数，符合题意；故k=-1；（2）根据题意，f（x）=lg
?????1
???1
，设t=
?????1
???1
=k+
???1
???1
，y=lgt，若函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，而y=lgt在（2，+∞）上为增函数，必有
???1＜0
??+
???1
2?1
≥0
，解可得：
1
2
≤k＜1，即实数k的取值范围为[
1
2
，1）．【解析】
（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）+f（x）=0，即lg+lg=lg=0，则有=1对于任意的x的恒成立，解可得k的值，验证即可得答案；（2）根据题意，设t==k+，y=lgt，由复合函数的单调性判断方法可得，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及函数奇偶性的应用，注意对数函数对定义域的要求，属于综合题．
17.【答案】解：（1）空格处依次为：E=-
??
12
，F=
5??
12
，G=
11??
12
，f（x）=3sin（2x+
??
6
）；（2）因为x∈[-
??
6
，
??
3
]，所以2x+
??
6
∈[-
??
6
，
5??
6
]所以sin（2x+
??
6
）∈[-
1
2
，1]所以函数f（x）的值域为[-
3
2
，3]；（3）因为f（
??
2
）=1，即sin（α+
??
6
）=
1
3
，由α∈（-π，0），则α+
??
6
∈（-
5??
6
，
??
6
）又sin（α+
??
6
）=
1
3
＞0，所以α+
??
6
∈（0，
??
6
），所以cos（α+
??
6
）=
1?????
??
2
(??+
??
6
)
=
1?(
1
3
)
2
=
2
2
3
，所以sin2（α+
??
6
）=2sin（α+
??
6
）cos（α+
??
6
）=
4
2
9
，cos2（α+
??
6
）=1-2sin2（α+
??
6
）=
7
9
，所以f（α）=3sin（2α+
??
6
）=3sin（2（α+
??
6
）-
??
6
）=3[sin2（α+
??
6
）cos
??
6
-cos2（α+
??
6
）sin
??
6
]=
4
6
?7
6
，即f（α）=
4
6
?7
6
．【解析】
（1）空格处依次为：E=-，F=，G=；（2）将2x+当整体，利用正弦函数的图象可求出值域；（3）利用倍角公式和和角的正弦公式进行变换可求得．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．属中档题．
18.【答案】解：（1）设花坛的面积为S，则S=
1
2
r22θ-
1
2
r12θ=
1
2
×36×
2??
3
-
1
2
×9×
2??
3
=9π答：花坛的面积为9π（m2）（2）
????
的长为r1θ米，
????
的长为r2θ米，线段AD的长为（r2-r1）米由题意知S=
1
2
r22θ-
1
2
r12θ=
1
2
（r1θ+r2θ）（r2-r1）=32，则r1θ+r2θ=
64
??
2
?
??
1
，记r2-r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=45×2（r2-r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+
64
??
），（0＜x＜10）用定义法可证明y关于x在（0，8]单调递减，在[8，+∞）单调递增，所以当x=8时，y有最小值为1440，故当线段AD的长为8米时，花坛的装饰费用最小．【解析】
（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ-r12θ，即可得出结论，（2）记r2-r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=90（x+），（0＜x＜10），根据函数的单调性即可求出，本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．
19.【答案】解：（1）f（lgx）=x，可得f（x）=10x，方程f（x）-
1
??(|??|)
=2?10x-
1
10
|??|
=2，当x≥0时，10x-10-x=2?（10x）2-2?10x-1=0?10x=1±
2
，∵10x＞0，∴10x=1+
2
，解得x=lg（1+
2
）；当x＜0时，10x-
1
10
???
=0=2，无解．综上，x=lg（1+
2
）；（2）∵
??(
??
1
)+??(
??
2
)
2
-f（
??
1
+
??
2
2
）=
10
??
1
+
10
??
2
2
-10
??
1
+
??
2
2
=
1
2
（10
??
1
+10
??
2
-2?10
??
1
2
?10
??
2
2
）=
1
2
（10
??
1
2
-10
??
2
2
）2≥0，∴
??(
??
1
)+??(
??
2
)
2
≥f（
??
1
+
??
2
2
）；（3）∵函数f（x）=10x，在R上单调递增，∴方程f（ax2-x）=100在区间[1，2]上有解?ax2-x=2在区间[1，2]上有解，即a=
??+2
??
2
=2（
1
??
+
1
4
）2-
1
8
在[1，2]有解，由
1
2
≤
1
??
≤1，可得y=2（
1
??
+
1
4
）2-
1
8
的值域为[1，3]，即有1≤a≤3，∴实数a的取值范围为[1，3]．【解析】
（1）求得f（x）的解析式，讨论x＞0，x＜0，去绝对值，解不等式即可得到所求解； （2）由作差法和配方法，结合指数的圆性质即可得到大小关系； （3）方程f（ax2-x）=100在区间[1，2]上有解?ax2-x=2在区间[1，2]上有解，由参数分离和配方法、结合二次函数的值域有解，可得实数a的取值范围．本题考查了指数函数的性质，转化思想，考查分类讨论思想方法，以及参数分离，属于中档题．
20.【答案】解：（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有关系G．令h（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-2，∵h（1）=-1＜0，h（2）=ln2＞0；故h（1）?h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上连续，故函数y=f（x）-g（x）在区间[1，2]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系G；（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=
???
??
2
?2??+5,1≤??≤2
???
??
2
+2???3,2，当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故
1?4??≤0
3???≥0
，故m∈[
1
4
，3]，当m∈（0，
1
4
）∪（3，+∞）时，若m∈（0，
1
4
），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=-4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[
1
4
，3]．【解析】
（1）根据[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．利用特殊值但判断出即可； （2）根据在区间[a，b]上具有关系G的性质，结合x∈[1，4]，利用二次函数的性质，讨论m即可．本题主要考查函数新定义的理解以及不等式的求解，二次函数的性质讨论，属于中档偏难的题．