2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N=______．
计算：lg4+lg
5
2
的值是______．
函数f（x）=（x-2）
1
2
的定义域是______．
已知tanα=2，则tan（α+
??
4
）的值是______．
若函数f（x）=cosx+|2x-a|为偶函数，则实数a的值是______．
已知向量
??
=（1，2），
??
=（-2，1）．若向量
??
-
??
与向量k
??
+
??
共线，则实数k的值是______．
已知角α的终边经过点P（12，5），则sin（π+α）+cos（-α）的值是______．
已知函数f（x）=
2
??
,??≥1
????
??
2
(2???),??<1
，则f（-2）+f（log23）的值是______．
在△ABC中，若tanA＞1，则角A的取值范围是______．
在平行四边形ABCD中，
????
=
??
，
????
=
??
．若|
??
|=2，|
??
|=3，
??
与
??
的夹角为
??
3
，则线段BD的长度为______．
已知α∈（0，
??
2
），且满足
??????2???3??????2??
????????????????
=2，则tanα的值是______．
已知函数f（x）=sin（ωx-
??
3
）（ω＞0），将函数y=f（x）的图象向左平移π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是______．
如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（-4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）＞log2（x+2）的解集是______．
若m＞0，且关于x的方程（mx-1）2-m=
??
在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知向量
??
=（1，2），
??
=（-3，4）．（1）求向量
??
+
??
与向量
??
夹角的大小；（2）若
??
⊥（
??
+λ
??
），求实数λ的值．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）若x∈[-
??
2
，
??
12
]，求f（x）的值域．

已知sinα=-
4
3
7
，α∈（-
??
2
，0）．（1）求cos（
??
4
+α）的值；（2）若sin（α+β）=-
3
3
14
，β∈（0，
??
2
），求β的值．
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
??
3
的扇形，点A在弧
????
上（异于点P，Q），过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C．记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．

如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且
????
=2
????
．M是线段CE上一动点．（1）若M是线段CE的中点，
????
=m
????
+n
????
，求m+n的值；（2）若AB=9，
????
?
????
=43，求（
????
+2
????
）?
????
的最小值．

如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f（x）=log2（x+1）是“和谐函数”；（2）若函数g（x）=
??
2
?1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{0，1}【解析】
解：集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}， 则M∩N={0，1}． 故答案为：{0，1}．根据交集的定义计算即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．
2.【答案】1【解析】
解：lg4+lg=lg10=1．故答案为：1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】[2，+∞）【解析】
解：f（x）=（x-2）=，由x-2≥0，得x≥2．∴函数f（x）=（x-2）的定义域是：[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．化分数指数幂为根式，再由根式内部的代数式大于等于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4.【答案】-3【解析】
解：tanα=2，则tan（α+）==-3，故答案为：-3．直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换和求值问题的应用．
5.【答案】0【解析】
解：根据题意，若函数f（x）=cosx+|2x-a|为偶函数， 则f（-x）=f（x）， 即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|， 则有|2x+a|=|2x-a|恒成立， 必有a=0； 故答案为：0．根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的定义与性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
6.【答案】-1【解析】
解：；∵向量与向量共线；∴3（2k+1）-（k-2）=0；解得k=-1．故答案为：-1．可先求出，根据向量与向量共线即可得出3（2k+1）-（k-2）=0，求出k的值即可．考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，共线向量的坐标关系．
7.【答案】
7
13
【解析】
解：∵角α的终边经过点P（12，5），∴sinα==，cosα==，则sin（π+α）+cos（-α）=-sinα+cosα=-+=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
8.【答案】5【解析】
解：∵函数f（x）=，∴f（-2）=log24=2，f（log23）==3，∴f（-2）+f（log23）=2+3=5．故答案为：5．推导出f（-2）=log24=2，f（log23）==3，由此能求出f（-2）+f（log23）的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】（
??
4
，
??
2
）【解析】
解：△ABC中，A∈（0，π），又tanA＞1，∴角A的取值范围是（，）．故答案为：（，）．根据△ABC中A∈（0，π），结合正切函数的图象与性质，即可得出A的取值范围．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
10.【答案】
7
【解析】
解：如图所示，平行四边形ABCD中，=，=；若||=2，||=3，与的夹角为，则=-，∴=-2?+=-2?+=32-2×3×2×cos+22=7，∴线段BD的长度为．故答案为：．根据题意画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则表示出，再求线段BD的长度．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题．
11.【答案】1【解析】
解：∵==2，∴=2，∵α∈（0，），∴tanα＞0，则tanα=1，故答案为：1．结合二倍角公式化简=，然后分子分母同时除以cos2α即可求解．本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的基本应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．
12.【答案】2【解析】
解：∵函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，∴π=n×，n∈z，∴ω=2n，n∈z．又ω＞0，故其最小值是2．故答案为：2．函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，可判断出π是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，求出它的最小值．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，解题的关键是对题意的理解，是中档题．
13.【答案】（-2，2）【解析】
解：根据题意，由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+2）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+2）的x范围是-2＜x＜2；所以不等式f（x）≥log2（x+2）的解集是（-2，2）；故答案为：（-2，2）根据题意，作出y=log2（x+2）的图象，利用数形结合得到不等式的解集即可得答案．本题考查了数形结合求不等式的解集；关键是准确作出函数的图象，属于基础题．
14.【答案】（0，1]∪[3，+∞）【解析】
解：根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，有f（0）=1-m，f（1）=m2-3m，若方程（mx-1）2-m=在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，又由m为正实数，则（1-m）（m2-3m）≤0?（1-m）（m-3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞），故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数方程的转化思想，注意运用函数的零点判定定理，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：（1）因为
??
=（1，2），
??
=（-3，4），所以
??
+
??
=（-2，6），所以|
??
+
??
|=
(?2
)
2
+
6
2
=2
10
，|
??
|=
5
，（
??
+
??
）?
??
=-2+12=10；????????? ?…（4分）记向量
??
+
??
与向量
??
的夹角为θ，从而cosθ=
(
??
+
??
)?
??
|
??
+
??
|×|
??
|
=
10
2
10
×
5
=
2
2
；?????…（6分）因为θ∈[0，π]，所以θ=
??
4
，即向量
??
+
??
与向量
??
的夹角为
??
4
；?????…（8分）（2）因为
??
⊥（
??
+λ
??
），所以
??
?（
??
+λ
??
）=0，即
??
2
+λ
??
?
??
=0，所以5+λ?（-3+8）=0，…（12分）解得λ=-1．???????????…（14分）【解析】
（1）利用平面向量的数量积求模长和夹角的大小； （2）根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求得λ的值．本题考查了平面向量的数量积与模长公式和夹角的计算问题，是基础题．
16.【答案】解（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，设函数f（x）的最小正周期为T，由图象知：A=2，
1
4
T=
??
6
-（-
??
12
）=
??
4
，所以周期T=π，从而ω=
2??
??
=2．?因为函数图象过点（-
??
12
，2），所以sin（-
??
6
+φ）=1．因为0＜φ＜π，所以-
??
6
＜-
??
6
+φ＜
5??
6
，所以-
??
6
+φ=
??
2
，解得φ=
2??
3
．因此?A=2，ω=2，φ=
2??
3
．（2）由（1）知?f（x）=2sin（2x+
2??
3
），因为x∈[-
??
2
，
??
12
]，∴-
??
3
≤2x+
2??
3
≤
5??
6
，∴-
3
2
≤sin（2x+
2??
3
）≤1，从而函数f（x）的值域为[-
3
，2]．【解析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值． （2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
17.【答案】解（1）因为sinα=-
4
3
7
，α∈（-
??
2
，0），所以cosα=
1?????
??
2
??
=
1
7
．从而?cos（
??
4
+α），=cos
??
4
cosα-sin
??
4
sinα=
2
2
×
1
7
-
2
2
×（-
4
3
7
），=
2
+4
6
14
．（2）因为α∈（-
??
2
，0），β∈（0，
??
2
），所以α+β∈（-
??
2
，
??
2
）．因为sin（α+β）=-
3
3
14
，所以cos（α+β）=
1?????
??
2
(??+??)
=
13
14
．从而?sinβ=sin[（α+β）-α]，=sin（α+β）cosα-cos（α+β）?sinα=-
3
3
14
×
1
7
-
13
14
×（-
4
3
7
）=
3
2
．因为β∈（0，
??
2
），所以β=
??
3
．法二：因为?sin（α+β）=-
3
3
14
，所以-
4
3
7
cosβ+
1
7
sinβ=-
3
3
14
．从而有2sinβ-8
3
cosβ=-3
3
，又sin2β+cos2β=1，解得cosβ=
1
2
，sinβ=
3
2
或cosβ=
23
98
，sinβ=-
55
98
3
（舍去）．因为β∈（0，
??
2
），所以β=
??
3
．【解析】
（1）直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果． （2）利用和（1）同样的方式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）在直角三角形OAB中，∵OA=1，∠AOB=θ，∴OB=cosθ，AB=sinθ．在直角三角形OAC中，∵∠POQ=
??
3
，∴∠AOC=
??
3
-θ，从而OC=cos（
??
3
-θ），AC=sin（
??
3
-θ）．∴l=sinθ+cosθ+sin（
??
3
-θ）+cos（
??
3
-θ），θ∈（0，
??
3
）；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（
??
3
-θ）+cos（
??
3
-θ）=sinθ+cosθ+（
3
2
cosθ-
1
2
sinθ）+（
1
2
cosθ+
3
2
sinθ）=
3
+1
2
sinθ+
3
+3
2
cosθ=（
3
+1）（
1
2
sinθ+
3
2
cosθ）=（
3
+1）sin（θ+
??
3
），θ∈（0，
??
3
）．∵θ∈（0，
??
3
），∴θ+
??
3
∈（
??
3
，
2??
3
），∴当且仅当θ+
??
3
=
??
2
，即θ=
??
6
时，l取得最大值
3
+1．∴当θ=
??
6
时，l取得最大值，最大值为
3
+1．【解析】
（1）在直角三角形OAB中，由OA，∠AOB，求出OB=cosθ，AB=sinθ，在直角三角形OAC中，由∠POQ=，可得∠AOC=-θ，从而求出OC=cos（-θ），AC=sin（-θ），则可求出l关于θ的函数关系式；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ），利用三角函数的诱导公式化简可得l=（+1）sin（θ+），由θ∈（0，），可得θ+∈（，），从而求出当θ+=，即θ=时，l取得最大值．本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
19.【答案】解（1）因为M是线段CE的中点，
????
=2
????
，所以
????
=
????
+
????
=
????
+
1
2
????
=
????
+
1
2
（
????
-
????
）=
1
2
（
????
+
????
），=
1
2
（
????
+
????
+
2
3
????
）=
5
6
????
+
1
2
????
=m
????
+n
????
，因为
????
与
????
不共线，所以m=
5
6
，n=
1
2
，则m+n=
4
3
．????????????????????…（7分）；（2）在矩形ABCD中，
????
=-
????
-
????
，
????
=
????
+
????
=-
????
-
1
3
????
，所以
????
?
????
=（-
????
-
????
）?（-
????
-
1
3
????
）=
1
3
????
2+
4
3
????
?
????
+
????
2=
1
3
????
2+
????
2．因为AB=9，
????
?
????
=43，所以
1
3
????
2+
????
2=
1
3
×92+
????
2=43，解得|
????
|=4，即AD=BC=4．在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，则EC=5．?????????…（11分）因为
????
=2
????
，所以
????
+2
????
=（
????
+
????
）+2（
????
+
????
）=3
????
+
????
+2
????
=3
????
．???????????????????????????…（13分）设ME=t，0≤t≤5．所以（
????
+2
????
）?
????
=-3ME?MC=-3t?（5-t）=3（t2-5t）=3（t-
5
2
）2-
75
4
，0≤t≤5．因此当且仅当t=
5
2
?时，（
????
+2
????
）?
????
?有最小值-
75
4
，从而（
????
+2
????
）?
????
的最小值为-
75
4
．?????????????…（16分）解法二：建立如图直角坐标系，则A（0，0），E（6，0），B（9，0），设C（9，m），m＞0．则
????
=（-9，-m），
????
=（-3，-m），
????
?
????
=27+m2=43，所以m=4?…（3分）所以C（9，4），因为M在线段CE上，设
????
=λ
????
，0≤λ≤1．M（x，y），则
????
=（x-9，y-4），
????
=（-3，-4），x-9=-3λ，y-4=-4λ，所以x=9-3λ，y=4-4λ．即M（9-3λ，4-4λ）?…（5分）所以
????
=（3λ-9，4λ-4），
????
=（3λ，4λ-4）
????
+2
????
=（9λ-9，12λ-12），
????
=（3λ，4λ），（
????
+2
????
）?
????
=27λ2-27λ+48λ2-48λ=75（λ2-λ）=75（λ-
1
2
）2-
75
4
，0≤λ≤1．????????????????????????…（8分）所以当且仅当λ=
1
2
时，（
????
+2
????
）?
????
有最小值-
75
4
，从而（
????
+2
????
）?
????
的最小值为-
75
4
．????????????????…（9分）注：第（1）问（7分），将
????
用
????
与
????
线性表示，得（4分），指出m，n并求出m+n的值（3分），不交代
????
与
????
不共线，扣（1分）；第（2）问（9分），求出AD的长得（3分），求出EC的长得（1分），得出
????
+2
????
=3
????
得（2分），列出（
????
+2
????
）?
????
的函数关系式得（2分），求出最值得（1分）．用坐标法（解法二），求出C点坐标（即求出m值）得（3分），得出M点坐标得（2分），列出函数关系式得（3分），求出最值得（1分）．【解析】
（1）由已知，用表示，然后利用向量的基本定理可求m，n，即可；（2）利用向量加法及减法的平行四边形法则表示，，，然后利用向量的数量积的定义求解?，可求AD，然后再结合向量数量积的定义及二次函数的性质可求法二：利用向量的坐标表示，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了向量数量积及运算在实际问题中的应用，解题中要注意把实际图形问题转化为数学问题．
20.【答案】解：（1）证明：函数f（x）=log2（x+1）的定义域为（-1，+∞），且在（-1，+∞）上单调递增；考察函数F（x）=f（x）-x2=log2?（x+1）-x2，x∈（-1，+∞）；因为F（0）=log2?1-0=0，取a=0，则F（a）=0，即f（a）=a2；F（1）=log2?2-1=0，取b=1，则F（b）=0，即f（b）=b2；因为f（x）在[a，b]上单调递增；所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；所以函数f（x）=log2?（x+1）是（-1，+∞）上的“和谐函数”；（2）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2；则g（x1）-g（x2）=
??
1
2
?1
?
??
2
2
?1
=
(
??
1
?
??
2
)(
??
1
+
??
2
)
??
1
2
?1
+
??
2
2
?1
＜0，即g（x1）＜g（x2）；因此g（x）在[1，+∞）单调递增；因为函数g（x）=
??
2
?1
+??(??≥1)是“和谐函数”；所以存在[a，b]?[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；即g（a）=a2，g（b）=b2．因此g（x）=x2，即
??
2
?1
+??=
??
2
在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；令
??
2
?1
=??，u≥0，方程可化为u2+1=u+t；即u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）=u2-u+1-t，h（u）的对称轴为直线?u=
1
2
；所以
?(0)≥0
△=1?4(1???)>0
；解得
3
4
＜t≤1，即t的取值范围为?（
3
4
，1]．【解析】
（1）可判断f（x）在（-1，+∞）上单调递增，考察F（x）=f（x）-x2，可求出F（0）=F（1）=0，取a=0，得出f（a）=a2；取b=1，得出f（b）=b2．即f（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，即得出f（x）是“和谐函数”；（2）可判断g（x）在[1，+∞）上单调递增，根据g（x）是“和谐函数”可得出，存在[a，b]?[1，+∞）使得函数g（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]．从而得出方程在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根．进而得出u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根，从而可得出，这样即可求出t的取值范围．考查对“和谐函数”定义的理解，对数函数单调性，函数单调性的定义，以及二次函数图象和性质．