2017-2018学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}，则M∩N=______．
已知幂函数y=xα的图象过点(2，2)，则实数α的值是______．
函数f（x）=log2（3-4x）的定义域是______．
若A（1，2），B（3，t-2），C（7，t）三点共线，则实数t的值是______．
已知点A（-2，3），B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的标准方程是______．
已知函数f（x）=ex+ae-x+1是偶函数，则实数a的值是______．
计算：2lg4+lg5?lg8?(338)?23=______．
已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是______．
函数f（x）=|lg（x+1）|的单调减区间是______．
两条平行直线4x+3y+3=0与8x+my-9=0的距离是______．
下列命题中正确的是______．（填上所有正确命题的序号）①若m∥α，n?α，则m∥n；②若l∥α，l∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m∥β，n∥β，m?α，n?α，则α∥β．
若关于x的方程2mx2+(3?143m)x+4=0的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围是______．
若方程组x2+y2+2x?2y+2?t=0x2+y2+8x?10y+5=0有解，则实数t的取值范围是______．
函数f(x)=2x+2?x2的值域是______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知正三棱柱ABC-A'B'C'，M是BC的中点．求证：（1）A'B∥平面AMC'；（2）平面AMC'⊥平面BCC'B'．

已知△ABC的一条内角平分线AD的方程为x-y-3=0，其中B（6，-1），C（3，8）．（1）求顶点A的坐标；（2）求△ABC的面积．
如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC=BD=DC=4，∠BAD=90°，AB=AD．（1）求三棱锥A-BCD的体积；（2）在平面ABC内经过点B，画一条直线l，使l⊥CD，请写出作法，并说明理由．

某种商品的市场需求量y1（万件）、市场供应量y2（万件）与市场价格x（元/件）分别近似地满足下列关系：y1=-x+70，y2=2x-20．当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若该商品的市场销售量P（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者，该商品的市场销售额W（万元）等于市场销售量P与市场价格x的乘积．①当市场价格x取何值时，市场销售额W取得最大值；②当市场销售额W取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，5），B（5，2），C（-3，6）在圆上．（1）求圆M的方程；（2）过点D（3，1）的直线l交圆M于E，F两点．①若弦长EF=8，求直线l的方程；②分别过点E，F作圆M的切线，交于点P，判断点P在何种图形上运动，并说明理由．
已知函数f（x）=4x，g（x）=2x．（1）试比较f（x1）+f（x2）与2g（x1+x2）的大小关系，并给出证明；（2）解方程：f（x）+f（-x）-2g（x）-2g（-x）=229；（3）求函数h（x）=f（x）-a|g（x）-1|，x∈[-2，2]（a是实数）的最小值．
答案和解析
1.【答案】{x|0≤x＜1}【解析】
解：∵M={x|-1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}， ∴M∩N={x|-1＜x＜1}∩{x|0≤x＜2}={x|0≤x＜1}． 故答案为：{x|0≤x＜1}．直接由交集的运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】12【解析】
解：幂函数y=xα的图象过点，则2α=，α=．故答案为：．把点的坐标代入幂函数解析式中求得α的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
3.【答案】(?∞，34)【解析】
解：由3-4x＞0，得x＜．∴函数f（x）=log2（3-4x）的定义域是：．故答案为：．由对数式的真数大于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4.【答案】5【解析】
解：=（2，t-4），=（6，t-2），∵A（1，2），B（3，t-2），C（7，t）三点共线，∴6（t-4）-2（t-2）=0，解得t=5．故答案为：5．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】（x-2）2+（y-1）2=20【解析】
解：点A（-2，3），B（6，-1），则线段AB的中点为（2，1），|AB|==4，∴r=2；∴以线段AB为直径的圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=20．故答案为：（x-2）2+（y-1）2=20．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．
6.【答案】1【解析】
解：函数f（x）=ex+ae-x+1是偶函数，则f（-x）=f（x）， 即（ex+ae-x+1）=（e-x+aex+1），解可得a=1； 故答案为：1根据题意，由函数奇偶性的定义可得（ex+ae-x+1）=（e-x+aex+1），解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇偶性的定义，属于基础题．
7.【答案】59【解析】
解：=-[（）3]=1-=．故答案为：．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.【答案】3【解析】
解：由题意，不计损耗，熔化前后的体积一样．圆锥的底面半径为6，高为3，可得体积V=，∴铜球的体积V=36π，即4πr2=36，∴铜球的半径r=3答案为：3．由题意，不计损耗，熔化前后的体积一样，即可求解铜球的半径．本题考查球的体积的公式，熔化前后的体积一样时解题的关键，解题时要认真审题．
9.【答案】（-1，0）【解析】
解：函数f（x）=|lg（x+1）|的定义域为：x≥-1； 当x≥0时，f（x）=lg（x+1），函数是增函数； 当-1≤x＜0时，y=-lg（x+1），函数是减函数． 可得f（x）的单调递减区间为（-1，0）． 故答案为：（-1，0）（注：（-1，0]也正确）．求出函数的定义域，去绝对值，由对数函数的单调性，即可得到所求单调区间．本题考查函数的单调区间的求法，注意运用绝对值的含义和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
10.【答案】32【解析】
解：直线4x+3y+3=0即8x+6y+6=0由两直线平行可得直线8x+my-9=0即为8x+6y-9=0，可得距离为d==．故答案为：．两直线化为8x+6y+6=0和8x+6y-9=0，由两平行直线的距离公式，计算可得所求值．本题考查两直线平行的距离的求法，注意运用两直线平行的条件，考查运算能力，属于基础题．
11.【答案】③【解析】
解：①若m∥α，n?α，则m∥n，或m与n异面，故①不正确； ②若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故②不正确， ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故③正确， ④若m∥β，n∥β，m?α，n?α，则α∥β或α与β相交，故④不正确， 故答案为：③．根据线面平行，线线平行和面面平行的判定定理和性质定理可判断本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线面平行和线线平行，面面平行的判定定理和性质定理．
12.【答案】(218，152)【解析】
解：根据题意，若关于x的方程的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，则函数y=2mx2+（3-m）x+4的零点分别在区间（0，1）和（1，2）上，当m=0时，y=3x+4，明显不成立，当m≠0时，函数y=2mx2+（3-m）x+4为二次函数，且f（0）=4＞0，则有，解可得＜m＜，即m的取值范围为；故答案为：．根据题意，分析可得函数y=2mx2+（3-m）x+4的零点在区间（0，1）和（1，2）上，进而分2种情况讨论：当m=0时，y=3x+4，明显不成立，当m≠0时，函数y=2mx2+（3-m）x+4为二次函数，结合一元二次函数的性质分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，涉及一元二次方程根的分步，属于综合题．
13.【答案】[1，121]【解析】
解：x2+y2+8x-10y+5=0可化为（x+4）2+（y-5）2=36，表示以A（-4，5）为圆心，6为半径的圆，x2+y2+2x-2y+2-t=0可化为（x+1）2+（y-1）2=t，表示以B（-1，1）为圆心，（t＞0）为半径的圆，方程组有解，也就是两圆有公共点，∴，∴1，即1≤t≤121．∴实数t的取值范围是[1，121]．把圆的一般方程化为标准方程，分别求出两圆的圆心和半径，再由方程组有解，可得两圆有公共点，然后由两个圆的位置关系即可求出实数t的取值范围．本题考查圆的标准方程，考查两个圆的位置关系，是中档题．
14.【答案】[?22，10]【解析】
解：由2-x2≥0，得．令x=，θ∈[0，π]，则函数化为：y=+==（tanα=2）．∵θ∈[0，π]，∴θ+α∈[arctan2，π+arctan2]，∴当θ+α=π+arctan2时，g（t）有最小值为，当θ+α=时，g（t）有最大值为．∴函数的值域是：．故答案为：．令x=，θ∈[0，π]，则函数化为关于θ的三角函数求解．本题考查利用换元法求函数的值域，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
15.【答案】证明：（1）连接A'C，交AC'于点O，连结OM，因为正三棱柱ABC-A'B'C'，所以侧面ACC'A'是平行四边形，故点O是AC'的中点，又因为M是BC的中点，所以OM∥A'B，又因为A'B?平面AMC'，OM?平面AMC'，所以A'B∥平面AMC'．（2）因为三棱柱ABC-A'B'C'为正三棱柱，所以CC'⊥平面ABC，又因为AM?平面ABC，所以CC'⊥AM，因为M是BC的中点，所以BC⊥AM，又因为BC∩CC'=C，所以AM⊥平面BCC'B'，又因为AM?平面AMC'，所以平面AMC'⊥平面BCC'B'．【解析】
（1）连接A'C，交AC'于点O，连结OM，证明OM∥A'B，即可证明A'B∥平面AMC'． （2）说明CC'⊥平面ABC，得到CC'⊥AM，证明AM⊥BC，推出AM⊥平面BCC'B'，然后证明平面AMC'⊥平面BCC'B'．本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
16.【答案】解：（1）由题意可得，点B（6，-1）关于直线AD的对称点B'（a，b）在直线AC上，则有b+1a?6×1=?1a+62?b?12?3=0解得a=2，b=3，即B'（2，3），由B'（2，3）和C（3，8），得直线AC的方程为5x-y-7=0，由5x?y?7=0x?y?3=0得顶点A的坐标为（1，-2）．（2），根据题意，A（1，-2），C（3，8），则AC=(1?3)2+(?2?8)2=104，B（6，-1）到直线AC：5x-y-7=0的距离d=|5×6?(?1)?7|52+(?1)2=2426，故△ABC的面积为S=12AC?d=24．【解析】
（1）根据题意，分析可得点B（6，-1）关于直线AD的对称点B'（a，b）在直线AC上，据此可得，解可得a、b的值，即可得直线AC的方程，联立直线AC与AB的方程，计算可得A的坐标；（2）根据题意，计算可得|A|的值以及点B到直线AC的距离，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查直线的方程的计算，涉及点到直线的距离公式，关键是求出a、b的值，属于基础题．
17.【答案】解：（1）取BD的中点M，连接AM，因为AB=AD，所以AM⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AM?平面ABD，所以AM⊥平面BCD，因为AB=AD，∠BAD=90°，所以AM=12BD=2，因为BC=BD=DC=4，所以△BCD的面积S=34×42=43，所以三棱锥A-BCD的体积V=13S?AM=833．（2）在平面BCD中，过点B作BH⊥CD，交CD于点H，在平面ACD中，过点H作HG⊥CD，交AC于点G，连结BG，则直线BG就是所求的直线l，由作法可知BH⊥CD，HG⊥CD，又因为HG∩BH=H，所以CD⊥平面BHG，所以CD⊥BG，即l⊥CD．【解析】
（1）取BD的中点M，连接AM，证明AM⊥BD，推出AM⊥平面BCD，通过求解建立以及面积然后求解三棱锥A-BCD的体积． （2）在平面BCD中，过点B作BH⊥CD，交CD于点H，在平面ACD中，过点H作HG⊥CD，交AC于点G，连结BG，则直线BG就是所求的直线l，然后说明理由即可．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
18.【答案】解：（1）令y1=y2，得-x+70=2x-20，故x=30，此时y1=y2=40．答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．（2）①由y1≥0，y2≥0，得10≤x≤70，由题意可知：P=?x+70,30（1）令y1=y2，即可求解平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．（2）①由y1≥0，y2≥0，得10≤x≤70，可知：故，利用分段函数分段求解最大值；②设政府应该对每件商品征税t元，则供应商的实际价格是每件（x-t）元，y2=2（x-t）-20，令y1=y2，求解即可．本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】解：（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可得42+52+4D+5E+F=052+22+5D+2E+F=0(?3)2+62?3D+6E+F=0，解得D=0，E=-4，F=-21，故圆M的方程为x2+y2-4y-21=0．（2）由（1）得圆的标准方程为x2+（y-2）2=25．①当直线l的斜率不存在时，l的方程是x=3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设为k，则l的方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，由EF=8，可得圆心M（0，2）到l的距离d=3，故|k?0?2?3k+1|k2+1=3，解得k=43，故l的方程是4x-3y-9=0，所以，l的方程是x=3或4x-3y-9=0．②设P（a，b），则切线长PE=PM2?52=(a?0)2+(2?b)2?25=a2+b2?4b?21，故以P为圆心，PE为半径的圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+b2-4b-21，化简得圆P的方程为：x2+y2-2ax-2by+4b+21=0，①又因为M的方程为x2+y2-4y-21=0，②②-①化简得直线EF的方程为ax+（b-2）y-2b-21=0，将D（3，1）代入得：3a-b-23=0，故点P在直线3x-y-23=0上运动．【解析】
（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可得，解得即可，（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程是x=3，符合题意，当直线l的斜率存在时，设为k，则l的方程为y-1=k（x-3），根据点到直线的距离公式即可求出k的值，则方程可以求出，②设P（a，b），根据切线长公式，即可得到PE为半径的圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+b2-4b-21，再根据为M的方程为x2+y2-4y-21=0，化简整理可得故点P在直线3x-y-23=0上运动本题考查了圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
20.【答案】解：（1）因为f(x1)+f(x2)?2g(x1+x2)=4x1+4x2?2×2x1?2x2=(2x1?2x2)2≥0，所以f（x1）+f（x2）≥2g（x1+x2）．（2）由f(x)+f(?x)?2g(x)?2g(?x)=229，得4x+4?x?2(2x+2?x)=229，令t=2x+2-x，则4x+4-x=t2-2，故原方程可化为9t2-18t-40=0，解得t=103，或t=?43（舍去），则2x+2?x=103，即2x+12x=103，解得2x=3或2x=13，所以x=log23或x=log213．（3）令2x=t，则t∈[14，4]，函数h（x）可化为φ(t)=t2?a|t?1|=t2+at?a，14≤t＜1t2?at+a，1≤t≤4.①若a≤-2，当14≤t＜1时，φ（t）=t2+at-a，对称轴t=?a2≥1，此时φ（t）＞φ（1）=1；当1≤t≤4时，φ（t）=t2-at+a，对称轴t=a2≤?1，此时φ（t）≥φ（1）=1，故t∈[14，4]，φ（t）min=φ（1）=1．②若?2＜a＜?12，当14≤t＜1，φ（t）=t2+at-a，对称轴t=?a2∈(14，1)，此时φ(t)≥φ(?a2)=?a24?a＜φ(1)；当1≤t≤4时，φ（t）=t2-at+a，对称轴t=a2∈(?1，?14)，此时φ（t）≥φ（1）=1，故t∈[14，4]，φ(t)min=φ(?a2)=?a24?a．③若?12≤a＜2，当14≤t＜1时，φ（t）=t2+at-a，对称轴t=?a2∈(?1，14]，此时φ(t)≥φ(14)=116?34a＜φ(1)；当1≤t≤4时，φ（t）=t2-at+a，对称轴t=a2∈[?14，1)，此时φ（t）≥φ（1）=1，故t∈[14，4]，φ(t)min=φ(14)=116?34a；④若2≤a＜8，当14≤t＜1时，φ（t）=t2+at-a，对称轴t=?a2∈(?16，?1]，此时φ(t)≥φ(14)=116?34a；当1≤t≤4时，φ（t）=t2-at+a，对称轴t=a2∈[1，4)，此时φ(t)≥φ(a2)=?a24+a，则2≤a≤7+432时，116?34a≤?a24+a，7+432＜a＜8时，116?34a＞?a24+a，故t∈[14，4]，φ(t)min=116?34a，2≤a≤7+432?a24+a，7+432＜a＜8.⑤若a≥8，当14≤t＜1时，φ（t）=t2+at-a，对称轴t=?a2≤?4，此时φ(t)≥φ(14)=116?34a；当1≤t≤4时，φ（t）=t2-at+a，对称轴t=a2≥4，此时φ（t）≥φ（4）=16-3a，因为a≥8时，116?34a＞16?3a，故t∈[14，4]，φ（t）min=16-3a．综述：h(x)min=1，a≤?2?a24?a，?2＜a＜?12116?34a，?12≤a≤7+432?a24+a，7+432＜a＜816?3a，a≥8.【解析】
（1）作差f（x1）+f（x2）-2g（x1+x2）判断符号，可比较f（x1）+f（x2）与2g（x1+x2）的大小关系，（2）原方程可化为：，令t=2x+2-x，则4x+4-x=t2-2，故原方程可化为9t2-18t-40=0，解得答案；（3）令2x=t，则，函数h（x）可化为，分类讲论，可得不同情况下函数的最小值．本题考查的知识点是作差法证明不等式，换元法解方程，函数的最值，分类讨论思想，转化思想，难度中档．