2017-2018学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B=______．
sin
5??
6
的值为______．
函数y=
2
??
?4
的定义域为______．
若幂函数y=xa过点（2，2
2
），则实数a的值为______．
已知向量
??
=（2，3），
??
=（6，y），且
??
∥
??
，则实数y的值为______．
若函数f（x）=x2-mx+3在[2，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围为______．
将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
??
12
个单位长度，所得图象的函数解析式为______．
设x0为函数f（x）=2x+x-4的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k的值为______．
已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ=-
2
5
5
，则y=______．
已知sinθ+cosθ=
4
3
（0＜θ＜
??
4
），则sinθ-cosθ的值为______．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈[-2，0）时，f（x）=log2（-x+2），则f（2018）的值为______
已知在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边AB，AD的中点，若P为线段MN上的动点，则
????
?
????
的最大值为______．
已知函数f（x）=
4
??
?1
4
??
+1
，则函数f（f（x））的值域为______，
已知f（x）=
|????
??
2
??|,??>0
1?2???
??
2
,??≤0
，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则四根之积x1x2x3x4的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知sin??=
4
5
，且，α是第二象限角．（1）求tanα的值；（2）求
??????(2?????)+??????(??+??)
??????(
??
2
+??)+??????(
??
2
???)
的值．
已知向量
??
，
??
满足|
??
|=2，|
??
|=1，|
??
+2
??
|=|
??
-
??
|（1）求
??
?
??
的值（2）求向量
??
与
??
-2
??
夹角的余弦值
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（-1，0），|
????
|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．（1）若x=
3??
4
，设点D为线段OA上的动点，求|
????
+
????
|的最小值；（2）若x∈R，求
????
?
????
的最大值及对应的x值．

已知某实验室一天的温度y（单位：℃）是关于时间t（单位：h）的函数，记为y=f（t），f（t）=10-2sin（
??
12
t+
??
3
），t∈[0，24）．（1）求实验室这一天温度逐渐升高的时间段，并求这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间内实验室需要降温？
已知函数f（x）=1og3（3x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若不等式f（x）-
1
2
??-a≥0对x∈（-∞，0]恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，①求实数a的取值范围；②若函数h（x）=f（t?
3
??
2
?
4
3
??）-f（
3
??
+1
3
??
2
）恰有1个零点，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{0，1}【解析】
解：根据题意，A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}， 集合A、B的公共元素为0、1， 则A∩B={0，1}； 故答案为{0，1}．根据交集的定义，由集合A、B，分析A、B的公共元素，并用集合表示即可得答案．本题考查交集的计算，关键是理解交集的定义．
2.【答案】
1
2
【解析】
解：sin=sin=．故答案为：．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数的应用，考查计算能力．
3.【答案】[2，+∞）【解析】
解：由2x-4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．
4.【答案】
3
2
【解析】
解：幂函数f（x）=xa的图象过点（2，2），∴f（2）=2α=2=，---（2分）∴α=，---（3分）故答案为：．…（4分）根据幂函数的图象过点（2，2），列方程求出α的值即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
5.【答案】9【解析】
解：∵=（2，3），=（6，y），且∥，∴2y-3×6=0，即y=9．故答案为：9．直接利用向量共线的坐标运算列式求解y值．本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．
6.【答案】（-∞，4]【解析】
解：由题意，函数f（x）=x2-mx+3，开口向上，其对称轴x=∵在[2，+∞）上是增函数，∴，∴m≤4．则实数m的取值范围为（-∞，4]．故答案为：（-∞，4]．根据二次函数的性质，开口向上，对称轴右边递增，即可求解；本题考查了二次函数的单调性问题，注意开口方向和对称轴，属于基础题．
7.【答案】y=sin（2x+
??
6
）【解析】
解：将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；再将得到的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故答案为：y=sin（2x+）．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
8.【答案】1【解析】
解：由函数的解析式可得f（1）=2+1-4=-1＜0，f（2）=4+2-4=2＞0， 且函数在R上是增函数，故函数f（x）在（1，2）上存在唯一零点， ?所以k=1， 故答案为：1．由函数的解析式可得f（1）=-1＜0，f（2）=2＞0，且函数在R上是增函数，故函数f（x）在（1，2）上存在唯一零点，从而求得k的值．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
9.【答案】-8【解析】
解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r=则=，则y=-8故答案为：-8根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ=（r表示点P到原点的距离），结合p（4，y）是角θ终边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y值．本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．
10.【答案】-
2
3
【解析】
解：∵sinθ+cosθ=＞0，0＜θ＜，∴（sinθ+cosθ）2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=，sinθ-cosθ＜0，∴2sinθcosθ=，∴（sinθ-cosθ）2=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=1-2sinθcosθ=，则sinθ-cosθ=-．故答案为：-．已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，判断出sinθ-cosθ小于0，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出sinθ-cosθ的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
11.【答案】2【解析】
解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）， 即有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 可得函数f（x）的最小正周期为4， f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=f（-2）， 由x∈[-2，0）时，f（x）=log2（-x+2）， 可得f（-2）=log2（2+2）=2， 即f（2018）=2． 故答案为：2．将x换为x+2可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的最小正周期为4，可得f（2018=f（2）=f（-2），由已．知函数的解析式计算可得所求值．本题考查函数的周期性和应用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】3【解析】
解：如图，以A为原点建立坐标系，则C（2，2），D（0，2），设P（x，1-x），0≤x≤1，则，，∴，=2x2+1，当x=1时，得最大值3．故答案为：3．首先以A为原点建立坐标系，用坐标表示向量，数量积最值转化为函数最值，得解．此题考查了数量积，二次函数最值等，难度不大．
13.【答案】（?
3
5
，
3
5
）【解析】
解：；∵4x＞0；∴4x+1＞1，，；∴，即-1＜f（x）＜1；令f（x）=t，-1＜t＜1，则；∵-1＜t＜1；∴，，，；∴；∴f（f（x））的值域为．故答案为：．分离常数得出，容易求出f（x）的值域为（-1，1），可令f（x）=t，-1＜t＜1，从而得出，根据t的范围即可求出4t的范围，进而求出的范围，即得出f（f（x））的值域．考查函数值域的概念及求法，指数函数的单调性，增函数的定义，分离常数法的运用，换元求函数值域的方法，不等式的性质．
14.【答案】[0，1）【解析】
解：关于x的方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，即为函数y=f（x）和直线y=a有四个交点，画出y=f（x）的图象，设x1＜x2＜x3＜x4，可得x1+x2=-2，log2x3+log2x4=0，即有x3x4=1，x1x2=x2（-2-x2）=-（x2+1）2+1，由-1＜x2≤0，可得x1x2∈[0，1）．即有x1x2x3x4的取值范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．由题意可得函数y=f（x）和直线y=a有四个交点，画出y=f（x）的图象，设x1＜x2＜x3＜x4，由二次函数的对称性和对数函数的性质，可得所求范围．本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查二次函数的值域，以及化简运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：（1）∵sin??=
4
5
，且，α是第二象限角，∴cosα=-
1?????
??
2
??
=-
3
5
，∴tanα=
????????
????????
=-
4
3
．（2）
??????(2?????)+??????(??+??)
??????(
??
2
+??)+??????(
??
2
???)
=
?????????????????
????????+????????
=
1?????????
1+????????
=
1+
4
3
1?
4
3
=-7．【解析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值． （2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
16.【答案】解：（1）∵向量
??
，
??
满足|
??
|=2，|
??
|=1，|
??
+2
??
|=|
??
-
??
|∴|
??
+2
??
|2=|
??
-
??
|2，即（
??
+2
??
）2=（
??
-
??
）2，即|
??
|2+4
??
?
??
+4|
??
|2=|
??
|2-2
??
?
??
+|
??
|2，故6
??
?
??
+3=0，解得：
??
?
??
=-
1
2
；（2）|
??
?2
??
|
2
=|
??
|2-4
??
?
??
+4|
??
|2=7，∴|
??
?2
??
|=
7

??
?(
??
?2
??
)=
??
2
?2
??
?
??
=2设向量
??
与
??
-2
??
夹角为θ，则cosθ=
??
?(
??
?2
??
)
|
??
|?|
??
?2
??
|
=
2
7
7
．【解析】
（1）由已知中|+2|=|-|，可得|+2|2=|-|2，结合||=2，||=1，可得?的值（2）设向量与-2夹角为θ，代入向量夹角公式，可得cosθ=．本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，难度不大，属于基础题．
17.【答案】解：（1）∵D为线段OA上的点，且A（1，0），可设D（t，0），（0≤t≤1），∵|
????
|=1，且∠??????=??=
3??
4
，∴C（?
2
2
，
2
2
）， ∴
????
+
????
=（t-
2
2
，
2
2
）， ∴|
????
+
????
|=
(???
2
2
)
2
+(
2
2
)
2
（0≤t≤1），∴??=
2
2
时，|
????
+
????
|取最小值
2
2
；（2）由题意可设C（cosx，sinx），
????
=（1+cosx，sinx），
????
=（cosx，sinx），∴
????
?
????
=cos2x+cosx+sin2x=1+cosx，∵-1≤cosx≤1，∴x=2kπ时，cosx取得最大值1，从而
????
?
????
的最大值为2，此时x=2kπ．【解析】
（1）先设D（t，0），化简||，再利用二次函数的性质进行求解即可；（2）先设C（cosx，sinx），代入求出，再利用正弦函数的性质即可求解．本题以向量为基本载体，综合考查了二次函数，三角函数性质的应用．
18.【答案】解：（1）∵f（t）=10-2sin（
??
12
t+
??
3
），t∈[0，24），∴温度逐渐升高的时间段为2kπ+
??
2
≤
??
12
t+
??
3
≤2kπ+
3
2
π，k∈Z，即24k+2≤t≤24k+14，k∈Z，∵t∈[0，24），∴取k=0，得2≤t≤14，故实验室这一天温度逐渐升高的时间段为[2，14]，∴
??
3
≤
??
12
t+
??
3
≤
7??
3
，∴-1≤sin（
??
12
t+
??
3
）≤1，当t=2时，sin（
??
12
t+
??
3
）=1，当t=14时，sin（
??
12
t+
??
3
）=-1，于是f（t）在[0，24）上的最大值为12，最小值为8，故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃故实验室这一天的最大温差为12-8=4℃．（2）依题意当f（t）＞11时，实验室需要降温，∴10-2sin（
??
12
t+
??
3
）＞11，即sin（
??
12
t+
??
3
）＜-
1
2
，∵0≤t＜24，因此
7
6
π＜
??
12
t+
??
3
＜
11??
6
∴10＜t＜18，即在10时到18时实验室需要降温．【解析】
（1）f（t）=10-2sin（t+），求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值．（2）依题意当f（t）＞11时，实验室需要降温，-1≤sin（t+）≤1，然后求解即可．本题考查三角函数的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】解：（1）函数f（x）=1og3（3x+1）+kx（k∈R）是偶函数，可得f（-x）=f（x），即1og3（3-x+1）-kx=1og3（3x+1）+kx，可得2kx=1og3（3-x+1）-1og3（3x+1）=log3
3
???
+1
3
??
+1
=log33-x=-x，可得2k=1，即k=-
1
2
；（2）不等式f（x）-
1
2
??-a≥0对x∈（-∞，0]恒成立，可得a≤1og3（3x+1）-x在x∈（-∞，0]恒成立，令g（x）=1og3（3x+1）-x=log3
3
??
+1
3
??
=log3（1+3-x），由x≤0可得1+3-x≥1=1=2，可得g（x）≥log32，即g（x）的最小值为log32，可得a≤log32，即实数a的取值范围是（-∞，log32]．【解析】
（1）由函数f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），运用对数的运算性质，解方程可得k的值；（2）不等式f（x）--a≥0对x∈（-∞，0]恒成立，可得a≤1og3（3x+1）-x在x∈（-∞，0]恒成立，令g（x）=1og3（3x+1）-x，运用对数函数的单调性可得g（x）的最小值，进而得到a的范围．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用方程思想和参数分离，考查对数函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）根据题意，当a=0时，f（x）=x|x|=2x，为奇函数，证明如下：f（-x）=（-x）|-x|-2x=-（x|x|+2x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数；（2）①函数f（x）=x|2a-x|+2x=
?
??
2
+2(2+2??)??,??<2??
??
2
+2(2?2??)??,??≥2??
，当x≥2a时，f（x）=x2+2（2-2a）x，其对称轴为x=a-1，当x＜a时，f（x）=-x2+2（2+2a）x，其对称轴为x=a+1，若函数f（x）在R上是增函数，必有
2??≤??+1
???1≤2??
，解可得-1≤a≤1，即a的取值范围为（-1，1）；②，若函数h（x）=f（t?
3
??
2
?
4
3
??）-f（
3
??
+1
3
??
2
）恰有1个零点，则方程f（t?
3
??
2
?
4
3
??）=f（
3
??
+1
3
??
2
）恰好有1个根，又由f（x）在R为增函数，则t?
3
??
2
?
4
3
??=
3
??
+1
3
??
2
恰有1个根，即方程（t-1）?3x-
4??
3
?
3
??
-1=0有一个实根，令m=
3
??
，则m＞0，则原方程为（t-1）m2-
4??
3
m-1=0有且只有一个正实根，若t=1，解可得m=-
3
4
，不符合题意，若t≠1，则对于方程为（t-1）m2-
4??
3
m-1=0，有2个相等的正根或一正一负的两根，分2种情况讨论：①，方程为（t-1）m2-
4??
3
m-1=0有2个相等的正根当△=0时，解可得t=
3
4
或-3，当t=
3
4
时，m=-2，不合题意；当t=-3时，m=
1
2
，符合题意；②，方程为（t-1）m2-
4??
3
m-1=0有一正一负的两根，必有（t-1）×（-1）＜0，解可得：t＞1，综合可得：t的取值范围为{t|t=3或t＞1}．【解析】
（1）根据题意，当a=0时，f（x）=x|x|=2x，分析f（-x）与f（x）的关系，结合函数单调性的定义，分析可得答案；（2）①，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案；②，根据题意，结合函数的单调性分析可得若函数h（x）=f（t）-f（）恰有1个零点，则t=恰有1个根，即方程（t-1）?3x-?-1=0有一个实根，令m=，分析可得（t-1）m2-m-1=0有且只有一个正实根，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数单调性、奇偶性的证明以及一元二次方程根的分步，属于难题．