2017-2018学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）
已知集合A={1，2}，集合B={a，1-a2}，若A∩B={2}，则实数a的值为______．
若
??
2
＜??＜??，则点P（tanθ，sinθ）位于第______象限．
若点P是线段AB上靠近A的三等分点，则
????
=______
????
．
已知函数??(??)=
??(??+2),??≤0
??
2
?1,??>0
，则f（-2）=______．
函数??(??)=????
??
2
(????
??
2
??+1)的值域为______．
弧长为3π，圆心角为
3
4
π的扇形的面积为______．
若函数f（x）=2x+x-2的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）中，则k的值为______．
已知幂函数y=xα的图象经过点（2，
2
），则??????(?
??
3
??)的值为______．
已知向量
??
=（sinθ，cosθ），
??
=（2，-1），若
??
∥
??
，则tan2θ=______．
若2?????????3????????=?
6
5
，2?????????3????????=?
1
5
，则sin（α+β）=______．
已知??(??)=
????
??
??
??,??≥1
(2???1)??+??,??<1
是定义在（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是______．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，若f（1）=0，则不等式f（lnx）＜0的解集为______．
在△ABC中，已知B=
??
3
，|
????
?
????
|=2，则
????
?
????
的取值范围是______．
已知当x∈（0，1）时，函数y=（mx-1）2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共64.0分）
已知向量
??
=（3，-4），
??
=（4，3）．（1）求|
??
?
??
|的值；（2）若（2
??
+
??
）⊥（
??
+k
??
），求实数k的值．
已知函数??(??)=
????(?????)
??
(??∈??)的定义域为集合A，函数g（x）=2x+1的值域为集合B．（1）当a=3时，求A∪B；（2）若A∩B=?，求实数a的取值范围．
已知??????(
??
2
???)=
3
5
，且α为第四象限角，求下列各式的值．（1）??????(???
??
4
)；（2）
2????
??
2
??+??????2??
??????2??
．
设函数??(??)=??????(?????
??
6
)+??????(???????)，其中0＜ω＜3，??(
??
6
)=0．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
??
4
个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在（?
??
4
，
3??
4
）上的值域．
如图，某校生物兴趣小组计划利用学校角落处一块空地围出一个周长为10米的直角三角形ABC作为试验地，设∠ABC=θ，△ABC的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，试验地的面积最大？求出该面积的最大值．
已知m∈R，函数??(??)=????(??+
2
??
)．（1）若函数g（x）=f（x）+lgx2有且仅有一个零点，求实数m的值；（2）设m＞0，任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[
1
9
，1]恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】2【解析】
解：∵A∩B={2}，∴a=2或1-a2=2，解得a=2， a=2时，B={2，-3}，满足题意． 故答案为：2．由A∩B={2}，得方程a=2或1-a2=2，解得a=2，需验证a=2．本题考查集合间的基本运算，本题转化成对应的方程是关键．
2.【答案】二【解析】
解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限．本题考查三角函数值的符号，考查象限角的概念及应用，属于基础题．
3.【答案】?
2
3
【解析】
解：如图，P是线段AB上靠近A的三等分点，则： ．故答案为：．可根据条件画出图形，根据条件及图形即可得出．考查线段三等分点的概念，以及向量数乘的几何意义．
4.【答案】3【解析】
解：∵函数，∴f（-2）=f（0）=f（2）=22-1=3．故答案为：3．推导出f（-2）=f（0）=f（2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，是基础题．
5.【答案】[0，1]【解析】
解：因为0≤sin2x≤1，所以1≤sin2x+1≤2， 又根据y=log2x为递增函数，得0≤log2（sin2x+1）≤1， 故答案为：[0，1]．因为0≤sin2x≤1，所以1≤sin2x+1≤2，再根据对数函数为增函数可得f（x）的值域为[0，1]．本题考查了对数函数的值域与最值，属中档题．
6.【答案】6π【解析】
解：设扇形的半径是r，根据题意，得：=3π，解，得r=4．则扇形面积是=6π．故答案为：6π．根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径，设其半径是r，则其弧长是，再根据弧长是3π，列方程求解．此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，求出扇形的半径是解题关键．
7.【答案】0【解析】
解：函数f（x）=2x+x-2， 可得f（x）在R上递增， 由f（0）=1+0-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0， 可得f（x）在（0，1）内存在零点， 则k=0． 故答案为：0．判断f（x）在R上递增，计算f（0），f（1）的符号，由函数零点存在定理即可得到所求值．本题考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
8.【答案】
3
2
【解析】
解：幂函数y=xα的图象经过点（2，），∴2α=，∴α=，∴=cos（-）=cos=．故答案为：．根据幂函数y=xα的图象过点（2，），求出α的值，再计算的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】
4
3
【解析】
解：∵；∴-sinθ-2cosθ=0；∴tanθ=-2；∴．故答案为：．根据即可得出-sinθ-2cosθ=0，从而得出tanθ=-2，根据二倍角的正切公式即可求出tan2θ的值．考查向量平行时的坐标关系，以及二倍角的正切公式．
10.【答案】
24
25
【解析】
解：若，，则4sin2α+9cos2β-12sinαcosβ=?①，4cos2α+9sin2β-12cosαsinβ=?②，①+②可得4+9-12sin（α+β）=，求得sin（α+β）=，故答案为：．由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sin（α+β）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
11.【答案】[
1
3
，
1
2
）【解析】
解：∵f（x）是定义在R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．
12.【答案】（
1
??
，e）【解析】
解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，则f（x）在[0，+∞）上递增，又由f（1）=0，则f（lnx）＜0?f（|lnx|）＜f（1）?|lnx|＜1?-1＜lnx＜1，解可得：＜x＜e，即不等式的解集为（，e），故答案为：（，e）．根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上递增，结合函数的特殊值分析可得f（lnx）＜0?f（|lnx|）＜f（1）?|lnx|＜1?-1＜lnx＜1，解可得x的值，即可得答案．本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．
13.【答案】[-
1
4
，+∞）【解析】
解：由=2，可得BC=a=2，以B为原点，以BA所在的直线为x轴，建立直角坐标系∵B=，且BC=2，∴C（1，），设A（x，0），则=（-x，0）?（1-x，）=x2-x=，即取值范围是[-，+∞）．故答案为：[-，+∞）由=2，可得BC=a=2，以B为原点，以BA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由已知结合三角函数的定义可表示C（1，），然后设A（x，0），代入利用，结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求．本题主要考查了平面向量数量积的运算，解题的关键是坐标系的建立．
14.【答案】（0，1]∪[3，+∞）【解析】
解：根据题意，由于m为正数，y=（mx-1）2?为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=x+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx-1）2?为减函数，且其值域为[（m-1）2，1]，函数y=x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx-1）2?在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m-1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx-1）2?为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．
15.【答案】解：（1）
??
?
??
=(?1，?7)；∴|
??
?
??
|=
50
=5
2
；（2）2
??
+
??
=(10，?5)，
??
+??
??
=(3+4??，?4+3??)；∵(2
??
+
??
)⊥(
??
+??
??
)；∴(2
??
+
??
)?(
??
+??
??
)=10(3+4??)?5(?4+3??)=0；解得k=-2．【解析】
（1）可求出，从而可求出的值；（2）可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，根据向量坐标可求向量长度．
16.【答案】解：∵
??>0
?????>0
，∴0＜x＜a，∴A=（0，a）∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴B=（1，+∞）（1）当a=3时，A=（0，3），A∪B=（0，+∞）；（2）A≠?时，
??≤1
??>0
，∴0＜a≤1，综上可知：实数a的取值范围为（0，1]．【解析】
（1）确定出A与B，利用并集定义可求A∪B； （2）根据当A≠?得a的范围即可．本题考查了集合间的基本运算及应用，集合中的参数问题，考查了函数定义域和值域的求法，难度中档．
17.【答案】解：（1）∵??????(
??
2
???)=
3
5
，∴cos??=
3
5
，∵α为第四象限角，∴sinα=?
1?????
??
2
??
=?
4
5
，则tan??=
????????
????????
=?
4
3
，∴tan（???
??
4
）=
?????????1
1+????????
=
?
4
3
?1
1+(?
4
3
)
=7；（2）
2????
??
2
??+??????2??
??????2??
=
2????
??
2
??+2????????????????
????
??
2
???????
??
2
??
=
2????????
?????????????????
=
2????????
1?????????
=
2×(?
4
3
)
1?(?
4
3
)
=?
8
7
．【解析】
（1）由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值；（2）化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18.【答案】解：（1）∵函数??(??)=??????(?????
??
6
)+??????(???????)=
3
2
sinωx-
1
2
cosωx-cosωx=
3
2
sinωx-
3
2
cosωx=
3
sin（ωx-
??
3
），其中0＜ω＜3．∵??(
??
6
)=0=
3
sin（
????
6
-
??
3
），∴
????
6
-
??
3
=kπ，k∈Z，∴ω=2，f（x）=
3
sin（2x-
??
3
）．令2kπ-
??
2
≤2x-
??
3
≤2kπ+
??
2
，求得kπ-
??
12
≤x≤kπ+
5??
12
，故函数f（x）的增区间为[kπ-
??
12
，kπ+
5??
12
]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=
3
sin（x-
??
3
）的图象；再将得到的图象向左平移
??
4
个单位，得到函数g（x）=
3
sin（x+
??
4
-
??
3
）=
3
sin（x-
??
12
）的图象，在（?
??
4
，
3??
4
）上，x-
??
12
∈（-
??
3
，
2??
3
），故当x-
??
12
=
??
2
时，函数g（x）取得最大值为
3
，当x-
??
12
=-
??
3
时，函数g（x）=-
3
2
，故g（x）的值域为（-
3
2
，
3
]．【解析】
（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在（，）上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19.【答案】解：（1）设BC=L，则AB=Lcosθ，AC=Lsinθ，∴L+Lsinθ+Lcosθ=10，则L=
10
1+????????+????????
，∴S=
1
2
?????????????????????=
1
2
??
2
????????????????=
50????????????????
(1+????????+????????
)
2
，θ∈（0，
??
2
）；（2）设sinθ+cosθ=t，则t=
2
??????(??+
??
4
)∈（1，
2
]，sin??????????=
??
2
?1
2
．∴S=
25(
??
2
?1)
(1+??
)
2
=
25(???1)
??+1
=25(1?
2
??+1
)．∵当t∈（1，
2
]时，S为增函数，∴当t=
2
，即??=
??
4
时，
??
??????
=25(3?2
2
)．答：当??=
??
4
时，试验地的面积最大，为25(3?2
2
)平方米．【解析】
（1）设BC=L，则AB=Lcosθ，AC=Lsinθ，由周长列式求得L，然后由三角形面积公式可得S关于θ的函数关系式；（2）设sinθ+cosθ=t，则t=∈（1，]，sin，把面积转化为含有t的函数式，利用分离常数法求最值．本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用换元法求三角函数的最值，是中档题．
20.【答案】解：（1）g（x）=lg（m+
2
??
）+lgx2=lg（mx2+2x），由g（x）=0，可得mx2+2x=1有且只有一个解，当m=0时，x=
1
2
成立；当m≠0时，△=4+4m=0，即m=-1，x=1成立．综上可得m=0或-1；（2）当x＞0，设u=m+
2
??
，可得函数u在x＞0递减，由m＞0，可得u＞0，y=lgu递增，即f（x）在（0，+∞）递减，任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[
1
9
，1]恒成立，可得f（t）-f（t+2）=lg（m+
2
??
）-lg（m+
2
??+2
）≤1对任意t∈[
1
9
，1]恒成立，即m+
2
??
≤10（m+
2
??+2
）对任意t∈[
1
9
，1]恒成立，整理可得9mt2+18（m+1）t-4≥0对任意t∈[
1
9
，1]恒成立，由m＞0可得y=9mt2+18（m+1）t-4在t∈[
1
9
，1]递增，可得当t=
1
9
时，y的最小值为9m?
1
81
+18（m+1）?
1
9
-4≥0，解得m≥
18
19
．【解析】
（1）由对数的运算性质和方程解法，讨论m是否为0，结合二次函数的判别式即可得到所求值；（2）由题意可得m＞0，x＞0，f（x）递减，由题意可得m+≤10（m+）对任意t∈[，1]恒成立，整理可得9mt2+18（m+1）t-4≥0对任意t∈[，1]恒成立，运用二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用复合函数的单调性，以及转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．