2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合A={x|x＞1}，B={x|-3≤x≤2}，则A∩B=______．
若函数y=cos（ωx-
??
6
）（ω＞0）最小正周期为
??
3
，则ω=______．
函数y=
??+2
+lg（3-x）的定义域为______．
已知幂函数f（x）满足f（2）=8，则f（-2）=______．
不等式x2-2x-3＜0的解集为______．
函数f（x）=2sin（2x+
??
3
）在[0，π]上的减区间为______．
将函数f（x）=sin（2x+
??
4
）的图象向左平移φ（0＜φ＜
??
2
）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ=______．
方程（
1
2
）x=|lnx|的解的个数为______．
直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为______cm．
点P（sin
??
3
，???????
??
3
）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为______．
函数f（x）=|tanx|-cosx的定义域为[?
??
4
，
??
4
]，则其值域为______．
已知α为锐角，且sinαtanα=
9
20
，则
????????+????????
?????????????????
的值为______．
计算
2??????40°???????10°
??????
10
°
=______．
已知m∈R，函数f（x）=
????
??
2
(???1),??>1
|2??+1|,??≤1
，若函数y=f（x）-m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（
1
5
，y0），且终边上有一点P到原点的距离为
5
．（1）求y0的值和P点的坐标；（2）求tan（α-3π）cos（π-2α）+cos（
3??
2
+2α）的值．
已知α，β为锐角，cos??=
1
7
，sin（α-β）=
3
3
14
．（1）求tan2α；（2）求β．
已知函数f（x）=4x-a?2x-6，a∈R，且为常数．（1）当a=5时，求函数y=f（x）的零点；（2）当x∈[0，2]，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=x3-2x．（1）求函数y=f（x）的奇偶性；（2）证明y=f（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+∞）为单调增函数；（3）判断方程f（x）=-
1
4
的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）．
如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC=α，长方形活动广场的面积为S．（1）请把S表示成关于α的函数关系式；（2）求S的最小值．
已知b∈R，b为常数，函数f（x）=x2-bx+b-1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）=|f（x）|-（x）-
1
2
有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f（x）=
1
3
[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．
答案和解析
1.【答案】（1，2]【解析】
解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|-3≤x≤2}， ∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]． 故答案为：（1，2]．利用集合A={x|x＞1}，B={x|-3≤x≤2}，能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.【答案】6【解析】
解：∵f（x）=cos（ωx-）的最小正周期为，∴函数的周期T==，∴解得ω=6．故答案为：6．根据余弦函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．
3.【答案】[-2，3）【解析】
解：由，解得-2≤x＜3．∴函数y=+lg（3-x）的定义域为：[-2，3）．故答案为：[-2，3）．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4.【答案】-8【解析】
解：设幂函数f（x）=xα，α∈R， 由f（2）=8， ∴2α=8， 解得α=3， ∴f（x）=x3； ∴f（-2）=（-2）3=-8． 故答案为：-8．设出幂函数f（x）=xα，由f（2）=8求得α的值，写出函数解析式，再计算f（-2）的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5.【答案】{x|-1＜x＜3}【解析】
解：∵方程x2-2x-3=0的实数根是x1=-1，x2=3； ∴不等式x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}， 故答案为：{x|-1＜x＜3}，先求对应方程x2-2x-3=0的实数根，再写出不等式的解集本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答即可．
6.【答案】[
??
12
，
7??
12
]【解析】
解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．再根据x∈[0，π]，可得函数的减区间为[，]，故答案为：[，]．由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）在[0，π]上的减区间．本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
3??
8
【解析】
解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+]=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2kπ，解得φ=，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出φ．本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．
8.【答案】2【解析】
解：方程（?）x=|lnx|的解的个数即为函数y=（?）x与y=|lnx|的图象交点的个数在同一坐标系中画出函数y=（?）x与y=|lnx|的图象如下图所示 由图可得函数y=（?）x与y=|lnx|的图象有2个交点．故方程（?）x=|lnx|的解有2个．故答案为：2，方程（?）x=|lnx|的解的个数，即为函数y=（?）x与y=|lnx|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y=（?）x与y=|lnx|的图象，数形结合，可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将方程根的个数转化为函数图象交点个数是解答的关键．
9.【答案】2250【解析】
解：轮周上一点5s内所经过的路程=45×5×10=2250cm， 故答案为：2250．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
11??
6
【解析】
【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ 和sinθ的值，可得θ的值．?【解答】解：∵点P（sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则cosθ=sin=>0，sinθ=-cos=-<0，∴θ=2π-=，故答案为．
11.【答案】[-1，1-
2
2
]【解析】
解：当x∈[-，0]时，f（x）=|tanx|-cosx=-tanx-cosx，该函数在[-，0]上为减函数，则f（x）∈[-1，1-]；由f（-x）=|tan（-x）|-cos（-x）=|tanx|-cosx=f（x），可知f（x）为偶函数，∴当x∈[0，]时，f（x）∈[-1，1-]．∴函数f（x）=|tanx|-cosx（x∈[]）的值域为[-1，1-]．故答案为：[-1，1-]．利用单调性求出函数在[-，0]上的值域，结合函数为偶函数得答案．本题考查利用函数的单调性与奇偶性求函数的值域，是中档题．
12.【答案】-7【解析】
解：α为锐角，且sinαtanα=，则：，整理得：20cos2α+9cosα-20=0，解得：或（负值舍去），故：．则：==-7，故答案为：-7直接利用三角函数关系式的恒等变变换，转换成一元二次方程，进一步求出sinα和cosα，最后求出结果．本题考查的知识要点：一元二次方程的解法，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
13.【答案】
3
【解析】
解：===．故答案为：直接利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：利用三角函数关系是的恒等变换和角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
14.【答案】（0，3]【解析】
解：画出函数y=f（x）=，与y=m的图象，如图所示：∵函数y=f（x）-m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（0，3]，故答案为：（0，3]．画出函数y=f（x）与y=m的图象，由图象可得m的取值范围．本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，数形结合的应用，属于中档题．
15.【答案】解：（1）∵角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（
1
5
，y0），且终边上有一点P到原点的距离为
5
，∴
1
5
+
??
0
2
=1，∴y0=-
2
5
5
，或y0=
2
5
5
（不合题意，舍去），故有y0=-
2
5
5
．设点P（a，b），a＞0，b＜0，则根据tanα=
?
2
5
5
1
5
=-2=
??
??
，
??
2
+
??
2
=
5
，求得a=1，b=-2，故有点P的坐标为（1，-2）．（2）求tan（α-3π）cos（π-2α）+cos（
3??
2
+2α）=tanα?（-cos2α）+sin2α=-tanα?
????
??
2
???????
??
2
??
????
??
2
??+????
??
2
??
+
2????????????????
????
??
2
??+????
??
2
??
=-tanα?
1?????
??
2
??
1+????
??
2
??
+
2????????
1+????
??
2
??
=-2×
1?4
1+4
+
2×2
1+4
=2．【解析】
（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y0的值和P点的坐标． （2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
16.【答案】解：（1）∵α为锐角，cos??=
1
7
，∴sinα=
1?????
??
2
??
=
4
3
7
，则tanα=
????????
????????
=4
3
．∴tan2α=
2????????
1?????
??
2
??
=?
8
3
47
；（2）∵α，β为锐角，∴?
??
2
＜α-β＜
??
2
，又sin（α-β）=
3
3
14
，∴cos（α-β）=
1?????
??
2
(?????)
=
13
14
．∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=
4
3
7
×
13
14
?
1
7
×
3
3
14
=
3
2
，∴β=
??
3
．【解析】
（1）由已知求得sinα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解； （2）求出cos（α-β），由sinβ=sin[α-（α-β）]，展开两角差的正弦求得sinβ，则β可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查两角和与差的三角函数，是中档题．
17.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=4x-5×2x-6，设t=2x，t＞0，∴g（t）=t2-5t-6，令g（t）=t2-5t-6=0，解得t=6或t=-1，∴2x=6，∴x=log26；（2）由（1）可得g（t）=t2-at-6，且t∈[1，4]，其对称轴为t=
??
2
，当t≤1时，g（t）在[1，4]上单调递增，f（x）min=g（t）min=f（1）=1-a-6＞0，解得a＜-5，当t≥4时，g（t）在[1，4]上单调递减，f（x）min=g（t）min=f（4）=16-4a-6＞0，解得a＜-
5
2
，当1＜t＜4时，f（x）min=g（t）=g（
??
2
）=
??
2
4
-
??
2
2
-6＜0，即a2+24＞0恒成立，综上所述a的取值范围a＜-5【解析】
（1）利用换元法和函数零点存在定理即可求出， （2）根据二次函数的性质，分类讨论，即可求a的取值范围．本题考查了函数零点存在定理以及二次函数的性质，函数恒成立的问题，属于中档题
18.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3-2x，则f（-x）=（-x）3-2（-x）=-（x3-2x）=-f（x），则函数为奇函数；（2）根据题意，设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=（x13-2x1）-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3），又由0＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）＞0，则在（0，1）上为单调减函数；再设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x13-2x1）-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3），又由1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，则在（1，+∞）上为单调增函数；（3）根据题意，方程f（x）=-
1
4
，即x3-2x=-
1
4
，设g（x）=x3-2x+
1
4
，g（-2）=-
15
4
＜0，g（-1）=
5
4
＞0，则函数在区间（-2，-1）上有零点，g（0）=
1
4
＞0，g（1）=-
3
4
＜0，则函数在区间（0，1）上有零点，g（2）=
17
4
＞0，则函数在区间（1，2）上有零点，则函数g（x）有三个零点，其最小正数解在（0，1）中，g（
1
2
）=-
5
8
＜0，其最小正数解在（0，
1
2
）中，g（
1
4
）=-
15
64
＜0，其最小正数解在（0，
1
4
）中，g（
1
8
）=
1
512
＞0，其最小正数解在（
1
8
，
1
4
）中，g（
3
16
）＜0，其最小正数解在（
1
8
，
3
16
）中，此时
3
16
-
1
8
=
1
16
＜0.1，符合题意，即g（x）的最小正数解的近似值约为0.15；则方程f（x）=-
1
4
的最小正数解的近似值x0=0.15．【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式可得f（-x），分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，用作差法分析可得答案；（3）根据题意，设g（x）=x3-2x+，函数g（x）的零点就是方程f（x）=-的解，由函数零点判定定理分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及函数零点，属于基础题．
19.【答案】解：（1）∠QBC=α，如图所示，在直角三角形BQE中，BE=150cosα，QE=150sinα，0≤α≤
??
2
，可得矩形PQMN的PQ=400-300sinα，QM=400-300cosα，则S=PQ?QM=（400-300sinα）（400-300cosα）=10000（4-3sinα）（4-3cosα），α∈[0，
??
2
]；（2）由（1）知，S=10000[16-12（sinα+cosα）+9sinαcosα]，设t=sinα+cosα=
2
sin（α+
??
4
），则
??
4
≤α+
??
4
≤
3??
4
，可得1＜t≤
2
，sinαcosα=
??
2
?1
2
，可得S=10000[16-12t+
9
2
（t2-1）]=5000[9（t-
4
3
）2+7]，当t=
4
3
∈[1，
2
]，S取得最小值5000×7=35000m2．【解析】
（1）在直角三角形BQE中，求得BE、QE，写出矩形的长和宽，计算面积即可； （2）利用换元法，结合三角函数的恒等变换，借助二次函数的最值求法，求得最小值．本题考查了矩形的面积计算问题，也考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质应用问题，是中档题．
20.【答案】解：（1）x2-bx+b-1≥0，即（x-1）（x-b+1）≥0，当b=2时，x∈R；当b＞2时，x∈（-∞，1]∪[b-1，+∞）；当b＜2时，x∈（-∞，b-1]∪[1，+∞）；（2）函数F（x）=|f（x）|-f（x）-
1
2
有两个不同的零点，f（x）≥0，即-
1
2
≥0不满足题意；f（x）≤0可得y=2f（x）（f（x）≤0）与??=?
1
2
有两个交点，可得2?
4???4?
??
2
4
＜-
1
2
，解得b＜1或b＞3；（3）证明：对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），关于x的方程f（x）=
1
3
[f（x1）+2f（x2）]，可设??(??)=??(??)?
1
3
[??(
??
1
)+2??(
??
2
)]，H（x1）H（x2）=
2
3
（f（x1）-f（x2））?
1
3
（f（x2）-f（x1））=-
2
9
（f（x1）-f（x2））2＜0，且H（x）在（x1，x2）单调，可得关于x的方程f（x）=
1
3
[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．【解析】
（1）因式分解对b讨论，当b=2时，x∈R；当b＞2时，x∈（-∞，1]∪[b-1，+∞）；当b＜2时，x∈（-∞，b-1]∪[1，+∞）；（2）f（x）≥0不满足题意，即y=2f（x）（f（x）≤0）与有两个零点，所以b∈（-∞，1）∪（3，+∞）；（3）“关于x的方程在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根”转化为“在区间（x1，x2）内有且仅有一个零点”，运用函数零点存在定理即可得证．本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数零点问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．