2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B=______．
tan
7??
3
=______．
设幂函数f（x）的图象过点（2，
2
），则f（4）=______．
函数f（x）=x3sinx的奇偶性为______函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）
已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是
1
2
，则扇形的周长为______cm．
（
9
4
）
?
1
2
+log49?log32=______．
已知单位向量
??
1
，
??
2
的夹角为60°，则|
??
1
+2
??
2
|______．
已知cos（??+
??
3
）=
1
3
，则sin（???
??
6
）=______．
如图，在△ABC中，
????
????
=
????
????
=2，若
????
=??
????
+??
????
，则λ-μ=______．
不等式2-x≤log2（x+1）的解集是______．
已知△ABC的面积为16，BC=8，则
????
?
????
的取值范围是______．
已知函数f（x）=2sin（ωx-
??
6
）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，则g（
??
6
）=______．
设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．若f（1）=
3
2
，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，则m的值为______．
设a为实数，函数f（x）=（3-x）|x-a|-a，x∈R，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知函数f（x）=
?
??
2
+5???6
的定义域为A，集合B={x|2≤2x≤16}，非空集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，全集为实数集R．（1）求集合A∩B和?RB；（2）若A∪C=A，求实数m取值的集合．
已知向量
??
=（2，1），
??
=（sin（π-α），2cosα）（1）若α=
3??
4
，求证：
??
⊥
??
；（2）若向量
??
，
??
共线．求|
??
|
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜
??
2
），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为
??
2
且过点（0，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（-
??
2
，0）的值域．
近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a（单位：万元）满足p=4
2??
-6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q=
1
4
??+2，80≤??≤120
32，120＜??≤160
，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
已知关于x的函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，且在区间[-1，3]上的最大值为10．设f（x）=
??(??)
??
．（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）-k?2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x-1|）+
2??
|
2
??
?1|
-3t-2=0有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由．
已知函数f（x）=lg
1???
??+1
．（1）求不等式f（f（x））+f（1g2）＞0的解集；（2）函数g（x）=2-ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=
??|??|+1,??≤?1或??≥1
??(??),?1，讨论函数y=h（h（x））-2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．
答案和解析
1.【答案】{0，1，3}【解析】
解：设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B={0，1，3}， 故答案为：{0，1，3}找出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
3
【解析】
解：tan=tan（2π+）=tan=．故答案为：．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．
3.【答案】2【解析】
解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过（2，），则有=2a，∴a=，即f（x）=，∴f（4）==2故答案为：2．设出幂函数的解析式，由图象过（2，），确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．
4.【答案】偶【解析】
解：函数f（x）=x3sinx的定义域关于原点对称， 函数y=x3，是奇函数，函数y=sinx也是奇函数， 由奇×奇=偶， ∴函数f（x）=x3sinx是偶函数． 故答案为：偶．定义域关于原点对称，奇×奇=偶，可得答案．解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．
5.【答案】10【解析】
解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是，∴l=r，∵S扇=lr=4，∴?r?r=4，∴r2=16，r=4．∴其周长c=l+2r=2+8=10．故答案为：10．设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．
6.【答案】
5
3
【解析】
解：（）+log49?log32=．故答案为：．直接由分数指数幂和对数的运算性质计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．
7.【答案】=
3
【解析】
解：单位向量，的夹角为60°，则=+2?+=1+2×1×1×cos60°+1=3，∴|+2|=．故答案为：．根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．
8.【答案】?
1
3
【解析】
解：已知cos（）=，则sin（）=-cos（）=-cos（）=-．故答案为：-．利用已知条件，对三角函数的关系式进行变换，利用sin进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于与基础题型．
9.【答案】-
2
3
【解析】
解：根据题意得：AD=2DC，BE=2EA，∴=；=，∴=-=（+）-=-+∴λ=-，μ=；故答案为-．=-，运用共线向量的知识可得λ和μ的值．本题考查平面向量基本定理的应用．
10.【答案】[1，+∞）【解析】
解：令g（x）=log2（x+1）-（2-x），则不等式2-x≤log2（x+1）?g（x）≥0，∵g′（x）=，故g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，又g（1）=log22-（2-1）=0，∴g（x）≥0?g（x）≥g（1）?x≥1．∴不等式2-x≤log2（x+1）的解集是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．构造函数g（x）=log2（x+1）-（2-x），利用导数证明g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，且g（x）≥0，可得g（x）≥g（1），则x≥1，由此可得原不等式的解集．本题考查对数不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
11.【答案】[0，+∞）【解析】
解：建立平面直角坐标系如图所示，设△ABC边BC上的高为h，则面积为×8h=16，解得h=4，又A（0，4），设C（x，0），则B（x-8，0），x∈R；∴=（x-8，-4），=（x，-4）；则=x（x-8）+16=x2-8x+16=（x-4）2≥0，∴?的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．建立平面直角坐标系，利用坐标表示△ABC顶点的坐标，求出的取值范围．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．
12.【答案】?
1
2
【解析】
解：∵函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，∴两函数周期相同，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x-），由，可得x=，k∈Z；∴g（）=cos（）=±cos（）=0，则=，k∈Z．∴θ=，k∈Z．取k=0，可得．则g（x）=cos（2x+θ）=cos（2x），∴g（）=cos（）=cos=．故答案为：．由已知可知两函数周期相等，求得ω，由两函数零点相同求得θ值，则g（）可求．本题考查三角函数的化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
13.【答案】
29
12
【解析】
解：函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，即1-（k-1）=0，可得k=2，则f（x）=ax-a-x，由f（1）=，可得a-a-1=，解得a=2，则g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），当m-1≥时，g（x）的最小值为-（m-1）2，由-（m-1）2=-2，解得m=1±＜，不成立；当m-1＜时，g（x）的最小值为+（2-2m），由+（2-2m）=-2，解得m=＜成立．故答案为：．由奇函数的性质可得f（0）=0，可得k=2，由条件解方程可得a=2，求得g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最小值，解方程可得m的值．本题考查函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
14.【答案】{a|a≠3}【解析】
解：根据题意，f（x）=（3-x）|x-a|-a=，二次函数y=x2-（a+3）x+2a的对称轴为x=＜a，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a的对称轴也为x=，若＜a，即a＞3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上不单调，符合题意；若＞a，即a＜3时，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上不单调，符合题意；若=a，即a=3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上单调减，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上单调减，此时函数f（x）在R上单调递减，不符合题意；则a的取值范围为{a|a≠3}；故答案为：{a|a≠3}．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式即f（x）=，结合二次函数的性质分析其对称轴，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数的单调性的性质，注意结合二次函数的性质进行分析．
15.【答案】解：（1）由-x2+5x-6≥0得：2≤x≤3，故A=[2，3]，集合B={x|2≤2x≤16}=[1，4]，则A∩B=[2，3]，?RB=（-∞，1）∪（4，+∞）；（2）若A∪C=A，则C?A 当m≥2时，C≠?，则
??＋1≥2
2???1≤3
，解得：1≤m≤2，∴m=2，综上可得实数m取值的集合?
2
．【解析】
本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和?RB；（2）若A∪C=A，则C?A，求出满足条件的m，可得答案．
16.【答案】证明：（1）∵向量
??
=（2，1），
??
=（sin（π-α），2cosα），α=
3??
4
，∴
??
=（sin
??
4
，2cos
3??
4
）=（
2
2
，-
2
），∴
??
?
??
=2×
2
2
+1×（-
2
）=0．∴
??
⊥
??
．解：（2）∵向量
??
=（2，1），
??
=（sin（π-α），2cosα）向量
??
，
??
共线．∴
2
??????(?????)
=
1
2????????
，即
2
????????
=
1
2????????
，∴sinα=4cosα，∵sin2α+cos2α=17cos2α=1，∴sin2α=
16
17
，cos2α=
1
17
，∴|
??
|=
????
??
2
(?????)+4????
??
2
??
=
????
??
2
??+4????
??
2
??
=
16
17
+
4
17
=
2
85
17
．【解析】
（1）向量=（2，1），α=时，=（sin，2cos）=（，-），由=0．能证明⊥．（2）由向量，共线．得sinα=4cosα，从而sin2α+cos2α=17cos2α=1，进崦sin2α=，cos2α=，由此能求出||．本题考查向量垂直的证明，考查向量模的求法，考查向量垂直、向量共线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜
??
2
），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为
??
2
，∴
2??
??
=2×
??
2
，∴ω=2．再根据图象过点（0，1），可得1=2sinφ，即sinφ=
1
2
，∴φ=
??
6
，∴f（x）=2sin（2x+
??
6
）．（2）令2kπ-
??
2
≤2x+
??
6
≤2kπ+
??
2
，求得kπ-
??
3
≤x≤kπ+
??
6
，故f（x）的单调增区间为[kπ-
??
3
，kπ+
??
6
]，k∈Z．（3）在（-
??
2
，0）上，2x+
??
6
∈（-
5??
6
，
??
6
），故当2x+
??
6
=-
??
2
时，函数取得最小值为-2，当2x+
??
6
?趋于
??
6
时，函数趋于最大值1，股函数f（x）的值域为[-2，1）．【解析】
（1）利用正弦函数的周期性求的ω，根据图象经过定点，求得φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间．（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（-，0）的值域．本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域以及值域，属于基础题．
18.【答案】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益：f（x）=4
2×128
-6+
1
4
×112+2=4×16-6+28+2=88（万元）．（2）甲城市的投入为x，则乙城市投资240-x万元，当80≤x≤120时，f（x）=4
2??
-6+
1
4
（240-x）+2=4
2??
-
1
4
x+56，∴f′（x）=2
2
?
??
??
-
1
4
=
8
2
??
???
4??
=
??
(8
2
?
??
)
4??
＞0恒成立，∴f（x）在[80，120]上单调递增，∴f（x）max=f（120）=16
15
+26，当120＜x≤160时，f（x）=4
2??
-6+32=4
2??
+26，∴f（x）在（120，160]上单调递增，∴f（x）max=f（160）=4
320
+26=16
20
+26，∵16
20
+26＞16
15
+26，∴该公司在甲城市投资160万元，在乙城市投资80万元，总收益最大．【解析】
（1）根据收益公式计算； （2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．
19.【答案】解：（1）∵函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，可得m-1=0，即m=1．则g（x）=x2+n，由g（x）在区间[-1，3]上的最大值为10．即g（3）=10，可得n=1．∴函数的解析式为g（x）=x2+1；（2）由f（x）=
??(??)
??
=??+
1
??
不等式f（2x）-k?2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，即
2
??
+
1
2
??
????
2
??
≤2在x∈[-1，1]上恒成立，∴k≥(
1
2
??
)
2
?2(
1
2
??
)+1设
1
2
??
=??，∵x∈[-1，1]∴s∈[
1
2
，2]．则s2-2s+1=（s-1）2∈[0，1]；∴k≥1，即所求实数k的取值范围为[1，+∞）．（3）由方程f（|2x-1|）+
2??
|
2
??
?1|
-3t-2=0，可得|2x-1|+
1
|
2
??
?1|
+
2??
|
2
??
?1|
-3t-2=0，可化为：|2x-1|2-（3t+2）|2x-1|+（2t+1）=0（|2x-1|≠0），令r=|2x-1|，则r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），方程f（|2x-1|）+
2??
|
2
??
?1|
-3t-2=0有四个不相等的实数根；则关于r的方程r2-（3t+2）r+（2t+1）=0必须有两个不相等的实数根r1和r2，并且0＜r1＜1，0＜r2＜1，记h（r）=r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），其对称轴0＜
3??+2
2
＜1，可得：?
2
3
＜??＜0∴
?(0)＞0
△＞0
?(1)＞0
即
2??+1＞0
(3??+2
)
2
?4(2??+1)＞0
1?(3??+2)+(2??+1)＞0
解得：?
1
2
＜??＜?
4
9
故得存在实数t的范围为（?
1
2
，?
4
9
）．【解析】
（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得m的值．在区间[-1，3]上的最大值为10，即可求解n，可得解析式； （2）利用换元法，分离参数即可求解实数k的取值范围； （3）利用换元法，转化为函数图象交点的问题．根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
20.【答案】解：（1）函数f（x）=lg
1???
??+1
，由
1???
1+??
＞0，可得-1＜x＜1，f（-x）=lg
1+??
1???
=-f（x），即f（x）为奇函数，且0＜x＜1时，f（x）=lg（-1+
2
??+1
）递减，可得f（x）在（-1，1）递减，且f（x）的值域为R，不等式f（f（x））+f（1g2）＞0，即为f（f（x））＞-f（lg2）=f（-lg2），则-1＜f（x）＜-lg2，即-1＜lg
1???
1+??
＜lg
1
2
，即为0.1＜
1???
1+??
＜
1
2
，解得
1
3
＜x＜
9
11
，则原不等式的解集为（
1
3
，
9
11
）；（2）函数g（x）=2-ax（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，当0≤x＜1，f（x）=lg
1???
??+1
的值域为（-∞，0]，当a＞1时，g（x）在[0，1）递减，可得g（x）的值域为（2-a，1]，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即有2-a＜0，即a＞2；若0＜a＜1，则g（x）在[0，1）递增，可得g（x）的值域为[1，2-a），由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，综上可得a的范围是（2，+∞）；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，当k≤0时，只有一个-1＜t＜0，对应3个零点，当0＜k≤1时，1＜k+1≤2，此时t1＜-1，-1＜t2＜0，t3=
1
??
≥1，由k+1-
1
??
=
??
2
+???1
??
=
1
??
（k+
1+
5
2
）（k-
5
?1
2
），得在
5
?1
2
＜k≤1，k+1＞
1
??
，三个t分别对应一个零点，共3个，在0＜k≤
5
?1
2
时，k+1≤
1
??
，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当k＞1或k=0或k＜-
200
101
时，y=h[h（x）]-2只有1个零点，当-
200
101
≤k＜0或
5
?1
2
＜k≤1时，y=h[h（x）]-2有3个零点，当0＜k≤
5
?1
2
时，y=h[h（x）]-2有5个零点．【解析】
（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1＜＜，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当0≤x＜1时，f（x）的值域；以及讨论a＞1，0＜a＜1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．