2017-2018学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=______．
sin405°的值为______．
若幂函数f（x）=xa的图象过点（9，3），则实数α的值为______．
已知角α的终边经过点（-3，4），则cosα的值为______．
函数y=lg（3-x）的定义域为______．
圆心角为2rad，半径为3cm的扇形的面积为______．
求值：
8
2
3
+????
??
3
2×????
??
2
27=______．
已知函数??(??)=
??
2
?2??，??≤0
??
??
，??＞0
若f（f（-1））=2，则实数a的值为______．
已知点O（0，0），A（1，0），B（0，2），C（-1，4），若
????
=??
????
+??
????
(??，??∈??)，则λ+μ的值为______．
若??????(75°+??)=
1
4
，则sin（x-15°）的值为______．
将函数y=sin（2x-
??
3
）的图象先向左平移
??
6
个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为______．
若函数??(??)=
????
??
??
??,??≥1
1?2???????,??<1
是R上的单调函数，则实数a的取值范围是______．
已知定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（1，2]时，f（x）=-2x+3，若关于x的方程f（x）=loga|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是______．
已知函数f（x）=2|x|，若存在实数m，n，使得f（x-m）≤2x对任意的x∈[2，n]都成立，则m+n的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知函数??(??)=2??????(2??+??)(?
??
2
＜??＜
??
2
)，且f（x）的图象过点（0，1）．（1）求函数f（x）的最小正周期及φ的值；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（3）求函数f（x）的单调增区间．
已知向量
??
=(????????，1)，
??
=(
1
2
，????????)．（1）若
??
∥
??
，求（sinα+cosα）2的值；（2）若
??
⊥
??
，求tanα及的
4????????+????????
2?????????3????????
值．
如图，在?ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°．（1）求
????
?
????
的值；（2）求cos∠BAC的值．

如图，某学校有一块直角三角形空地ABC，其中∠??=
??
2
，BC=20m，AB=40m，该校欲在此空地上建造一平行四边形生物实践基地BMPN，点M，P，N分别在BC，CA，AB上．（1）若四边形BMPN为菱形，求基地边BM的长；（2）求生物实践基地的最大占地面积．

集合A由满足以下性质的函数f（x）组成：①f（x）在[0，+∞）上是增函数；②对于任意的x≥0，f（x）∈[3，4]．已知函数
??
1
(??)=
??
+3，
??
2
(??)=4?
1
2
??
．（1）试判断f1（x），f2（x）是否属于集合A，并说明理由；（2）将（1）中你认为属于集合A的函数记为f（x）（ⅰ）试用列举法表示集合P={x|f（x）[4-f（x）]=3}；（ⅱ）若函数f（x）在区间[m，n]（m≥0）上的值域为[
2
??
+
??
2
??
，
2
??
+
??
2
??
]，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=a（x+1）2+|x|．（1）当a=0时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）若对任意的x∈[-1，0）∪（0，+∞），都有??(??)≤????+
1
|??|
+??，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有且仅有4个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{0，1}【解析】
解：∵集合A={-1，0，1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={0，1}． 故答案为：{0，1}．利用交集的性质求解．本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．
2.【答案】
2
2
【解析】
解：sin405°=sin（360°+45°）=sin45°=，故答案为：．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．
3.【答案】
1
2
【解析】
解：设幂函数为f（x）=xα，则由f（x）的图象过点（9，3），可得9α=3，∴α=，故答案为：．设幂函数为f（x）=xα，则由f（x）的图象过点（9，3），求得 α 的值即可．本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
4.【答案】?
3
5
【解析】
解：角α的终边上的点P（-3，4）到原点的距离为 r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．先求出角α的终边上的点P（-3，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=?求出结果．本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．
5.【答案】（-∞，3）【解析】
解：由3-x＞0，得x＜3． ∴函数y=lg（3-x）的定义域为：（-∞，3）． 故答案为：（-∞，3）．由对数式的真数大于0求解得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
6.【答案】9【解析】
解：扇形的圆心角为2，半径为3，扇形的弧长为：6，所以扇形的面积为：=9．故答案为：9．直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．
7.【答案】7【解析】
解：=4+=4+=4+3=7．故答案为：7．利用指数、对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】6【解析】
解：根据题意，函数，则f（-1）=（-1）2-2×（-1）=3，f（3）=，即f（f（-1））=，若f（f（-1））=2，则=2，解可得a=6，故答案为：6．根据题意，由函数的解析式可得f（f（-1））=，进而可得=2，解可得a的值，即可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数的解析式，属于基础题．
9.【答案】1【解析】
解：根据题意得：=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）=（-1，4）∴λ=-1，2μ=4∴λ=-1，μ=2∴λ+μ=1故答案为：1．运用向量的坐标运算可得结果．本题考查平面向量基本定理．
10.【答案】?
1
4
【解析】
解：∵，∵75°+x=90°+（x-15°），∴cos（75°+x）=cos[90°+（x-15°）]=-sin（x-15°）=，则sin（x-15°）=-的值．故答案为：．由75°+x=90°+（x-15°），结合诱导公式cos（75°+x）=cos[90°+（x-15°）]=-sin（x-15°）可求本题主要考查了诱导公式在解题中的应用，属于基础试题．
11.【答案】y=sinx【解析】
解：将函数的图象先向左平移个单位，得到=sin2x，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx．故答案为：y=sinx．直接利用左加右减的平移原则，以及横坐标伸长变换后，写出平移伸缩后的函数解析式，本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
12.【答案】(0，
1
3
]【解析】
解：∵函数，（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，a＞1，分段函数不是单调函数，则，解得：a∈（0，]，故答案为：．由已知中函数，（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则解得实数a的取值范围．本题考查的知识点是函数的单调性，分段函数的应用，难度中档．
13.【答案】（3，4）【解析】
解：定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得f（-x）=f（x），f（2-x）=-f（x），即为f（2-x）=-f（-x），即为f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为周期为4的函数，当x∈（1，2]时，f（x）=3-2x，可得当x∈[-2，-1）时，f（x）=3+2x，当x∈（0，1]时，f（x）=-f（x-2）=-3-2（x-2）=-2x+1，当x∈（-1，0]时，f（x）=2x+1，作出f（x）在R上的图象，以及y=loga|x|（a＞1）的图象， 关于x的方程f（x）=loga|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，即为y=f（x）与y=loga|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，由图象可得f（4）=1，即loga4＞1，解得a＜4．且loga3＜1，解得a＞3．此时y=f（x）与y=loga|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，故答案为：（3，4）由函数的奇偶性和对称性，可得f（x）为周期为4的函数，求得f（x）在一个周期的函数解析式，作出f（x）的图象，y=loga|x|（a＞1）的图象，通过图象观察，即可得到所求a的取值范围．本题考查函数方程的转化思想，以及函数的周期性的运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力，属于中档题
14.【答案】（2，12]【解析】
解：由f（x-m）≤2x， 即2|x-m|≤2x对任意x∈[2，n]都成立， 函数y=2|x-m|关于直线x=m对称， 则首先2|2-m|≤2×2成立， 可得0＜m≤4，观察可知m=4，x=8时， 2|x-4|=2x=16， 可知2＜n≤8，2＜m+n≤12， 故答案为：（2，12]．由函数y=2|x-m|关于直线x=m对称，可知m=4，x=8时，2|x-4|=2x=16，可知2＜n≤8，从而求出m+n的范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查对称问题以及转化思想，是一道中档题．
15.【答案】解：（1）函数f（x）的最小正周期为??=
2??
2
=??．?………………………………………（2分）因为f（x）的图象过点（0，1），所以f（0）=2sinφ=1，即????????=
1
2
，又?
??
2
＜??＜
??
2
，所以??=
??
6
．?…………………………………………………（6分）（2）由（1）知，??(??)=2??????(2??+
??
6
)，所以函数f（x）的最大值是2．…………（8分）由2??+
??
6
=
??
2
+2????(??∈??)，得??=
??
6
+????(??∈??)，所以f（x）取得最大值时x的集合是{??|??=
??
6
+????，??∈??}．…………………（10分）（3）由（1）知，??(??)=2??????(2??+
??
6
)．由?
??
2
+2????≤2??+
??
6
≤
??
2
+2????，k∈Z，得?
??
3
+????≤??≤
??
6
+????，k∈Z，所以函数f（x）的单调增区间为[?
??
3
+????，
??
6
+????](??∈??)．…………………（14分）【解析】
（1）点（0，1）代入函数求得φ．由求得函数f（x）的最小正周期；（2）由，得，求得函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（3）由正弦函数单调性求函数f（x）的单调增区间．本题主要考查三角函数的图象和性质、属于中档题．
16.【答案】解：（1）∵
??
∥
??
，∴?????????????????1×
1
2
=0，即????????????????=
1
2
，∴(????????+????????
)
2
=????
??
2
??+????
??
2
??+2????????????????=1+2×
1
2
=2；（2）∵
??
⊥
??
，∴
??
?
??
=
1
2
????????+????????=0，得????????=?
1
2
．∴
4????????+????????
2?????????3????????
=
4????????+1
2?????????3
=
4×(?
1
2
)+1
2×(?
1
2
)?3
=
1
4
．【解析】
（1）由向量共线的坐标运算可得，由同角三角函数基本关系式求（sinα+cosα）2的值；（2）由向量垂直的坐标运算求得tanα，化弦为切求的值．本题考查向量共线与垂直的坐标运算，考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
17.【答案】解：根据题意得，（1）在平行四边形ABCD中，
????
=
????
+
????
，所以
????
?
????
=
????
?(
????
+
????
)=
????
2
+
????
?
????
=32+3×2×cos60°=12．（2）由（1）知，
????
?
????
=12，又|
????
|=|
????
+
????
|=
????
2
+2
????
?
????
+
????
2
=
3
2
+2×3×2×??????60°+
2
2
=
19
，所以??????∠??????=
????
?
????
|
????
||
????
|
=
12
3
19
=
4
19
19
．【解析】
（1）利用平行四边形法则和数量积的定义可解决（1）问；（2）利用向量的夹角公式可得第二问．本题考查平面向量数量积的定义及向量的夹角公式．
18.【答案】解：（1）在△ABC中，??????∠??=
????
????
=
20
40
=
1
2
，所以∠??=
??
3
，……………………（2分）所以∠??????=
??
3
，所以PM=2CM，又四边形BMPN为菱形，所以BM=PM=2（20-BM），…………………（6分）所以????=
40
3
（m），即基地边BM的长为
40
3
m．……………………………（7分）（2）设BM=x，0＜x＜20，则????=
3
????=
3
(20???)，……………………（10分）所以生物实践基地的面积??=?????????=???
3
(20???)……………………（12分）=?
3
(???10
)
2
+100
3
，所以当x=10时，
??
??????
=100
3
．………………………………………………（14分）答：生物实践基地的最大占地面积为100
3
??
2
．?…………………………………（16分）【解析】
（1）在△ABC中，求出B，推出PM=2CM，得到BM=PM=2（20-BM），即可求出基地边BM的长．（2）设BM=x，0＜x＜20，可得四边形BMPN的面积S=|PC|?|BM|=x（20-x），运用二次函数的最值求法，可得值域；本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用二次函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）因为
??
1
(4)=
4
+3=5?[3，4]，不满足②，所以f1（x）不属于集合A．………（2分）在[0，+∞）内任取两个数x1，x2，设x1＜x2，则
??
2
(
??
1
)?
??
2
(
??
2
)=(4?
1
2
??
1
)?(4?
1
2
??
2
)=
1
2
??
2
?
1
2
??
1
=
2
??
1
?
2
??
2
2
??
1
?
2
??
2
，因为y=2x是单调增函数，且x1＜x2，所以
2
??
1
?
2
??
2
＞0，
2
??
1
?
2
??
2
＜0，所以f2（x1）-f2（x2）＜0，即f2（x1）＜f2（x2），故f2（x）在[0，+∞）上是增函数，满足①；所以f2（x）在[0，+∞）上的值域为[3，4）?[3，4]，满足②．故函数f2（x）属于集合A．………………………………………………………（6分）（2）（i）由（1）知，??(??)=4?
1
2
??
，所以??(??)[4???(??)]=(4?
1
2
??
)
1
2
??
=3，即(
1
2
??
)
2
?4(
1
2
??
)+3=0，解得
1
2
??
=1或
1
2
??
=3，………………………………（8分）所以x=0或??=????
??
2
1
3
，故??={0，????
??
2
1
3
}．?…………………………………（10分）（ii）由（1）知，??(??)=4?
1
2
??
在[m，n]上单调增，所以
??(??)=
2
??
+
??
2
??
??(??)=
2
??
+
??
2
??
即
(
2
??
)
2
?4(
2
??
)+1+??=0.
(
2
??
)
2
?4(
2
??
)+1+??=0
…………………………………………………（12分）所以方程t2-4t+1+a=0在t∈[1，+∞）内有两个不等的实根，……………（14分）所以
(?4
)
2
?4(1+??)>0
1
2
?4+1+??≥0
解得2≤a＜3．故实数a的取值范围是[2，3）．?………………………………………………（16分）【解析】
（1）根据函数，．分别函数的单调性和值域，可得结论；（2）（i）由（1）知，，解方程可得集合P；（ii）由（1）知，在[m，n]上单调增，所以，即方程t2-4t+1+a=0在t∈[1，+∞）内有两个不等的实根，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，转化思想，难度中档．
20.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=|x|，定义域为R．因为对任意的x∈R，都有f（-x）=|-x|=|x|=f（x），所以函数f（x）是偶函数．………………………………………………………（2分）（2）由题意知，??(??+1
)
2
+|??|≤????+
1
|??|
+??在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，即??(
??
2
+??)≤
1
|??|
?|??|在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立．………………………（4分）①当x＞0时，??≤
1
??
???
??
2
+??
=
1???
??
2
=(
1
??
?
1
2
)
2
?
1
4
，因为当x=2时，??=(
1
??
?
1
2
)
2
?
1
4
取得最小值?
1
4
，所以??≤?
1
4
；………（6分）②当x=-1时，a×0≤0恒成立；③当-1＜x＜0时，??≥
???
1
??
??
2
+??
=
???1
??
2
=?(
1
??
?
1
2
)
2
+
1
4
，因为-1＜x＜0，所以??=?(
1
??
?
1
2
)
2
+
1
4
的值域为（-∞，-2），所以a≥-2．综上所述，a的取值范围为[?2，?
1
4
]．…………………………………………（8分）（3）当a=0时，f（x）=|x|，有唯一零点0，不符合题意；………………………（9分）当a≠0时，??(??)=
??
??
2
+(2???1)??+??,??<0.
??
??
2
+(2??+1)??+??,??≥0
①若a＞0，则?
2??+1
2??
＜0，所以f（x）在[0，+∞）上单调增，则f（x）≥f（0）=a＞0，因此f（x）在[0，+∞）内无零点，而f（x）在（-∞，0）内最多有两个零点，不符合题意；…………………………（11分）②若a＜0，则?
2???1
2??
＜0，所以f（x）在(?∞，?
2???1
2??
)上单调增，在(?
2???1
2??
，0)上单调减，而??(?
2???1
2??
)=
4???1
4??
＞0，f（0）=a＜0，所以f（x）在（-∞，0）内有两个零点，……………………………………………（13分）因此f（x）在[0，+∞）内也有两个零点．若??≤?
1
2
，则?
2??+1
2??
≤0，所以f（x）在[0，+∞）上单调减，又f（0）=a＜0，此时f（x）在[0，+∞）内无零点，不符合题意；若?
1
2
＜??＜0，则?
2??+1
2??
＞0，所以f（x）在(0，?
2??+1
2??
)上单调增，在(?
2??+1
2??
，+∞)上单调减，要使f（x）在[0，+∞）内有两个零点，则??(?
2??+1
2??
)=?
4??+1
4??
＞0，即4a+1＞0，故?
1
4
＜??＜0．综上所述，a的取值范围为(?
1
4
，0)．…………………………………………（16分）【解析】
（1）根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）若在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，通过讨论x的范围，去掉绝对值号，分离参数a，结合二次函数的性质去掉a的范围即可；（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点问题，确定a的范围即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性，函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查二次函数的性质，是一道综合题．