2017-2018学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合A={1，2}，B={-1，2}，则A∪B=______．
函数f（x）=lg（x-2）+
3???
的定义域为______．
计算sin（-330°）的值为______．
已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为______．
不等式3x-2＞1的解集为______．
若将函数f（x）=sin（2x-
??
3
）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin2x的图象，则φ的最小值为______．
计算（
16
81
）
1
4
+log82的值为______．
已知函数y=sin（2x-
??
3
），x∈[0，
??
2
]，则它的单调递增区间为______．
若sin（???
??
6
）=
1
3
，其中??＜??＜
7
6
??，则sin（
2??
3
???）的值为______．
已知向量
??
=（1，-2），
??
=（-1，1），若（
??
?
??
）⊥（
??
+??
??
），则实数k的值为______．
若点P（1，2）在角α终边上，则
????????
????
??
2
???????????????????
的值为______．
已知函数f（x）=
???+3,??>2
|????
??
2
??|,0，若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（x1x2+1）m-x3的取值范围是______．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，若对任意的x1，x2∈（-∞，0），当x1≠x2时，都有
??
1
???(
??
1
)?
??
2
???(
??
2
)
??
1
?
??
2
＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为______．
已知函数f（x）=-x2+ax+1，h（x）=2x，若不等式f（x）＞h（x）恰有两个整数解，则实数a的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
设全集U=R，集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+1}，m∈R．（1）当m=3时，求A∩?UB；（2）若B?A，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），它的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[?
??
12
，
5??
12
]时，求函数f（x）的值域．

如图所示，在?ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°．（1）求
????
的模；（2）若
????
=
1
3
????
，
????
=
1
2
????
，求
????
?
????
的值．

近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注．市区现有一块近似正三角形土地ABC（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中
????
、
????
与
????
分别相切于点D、E，且
????
与
????
无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪．设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）．（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积．

已知函数f（x）=
|?????|
??
（a＞0），且满足f（
1
2
）=1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）=
??(??)
??
，求g（x）在区间[
1
2
，4]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x-a）2-x|x-a|+2mx2=0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=log4（a?2x?
4
3
??）（a≠0，a∈R），g（x）=log4（4x+1）．（1）设h（x）=g（x）-kx（k∈R），若h（x）是偶函数，求实数k的值；（2）设F（x）=（log2x）-g（log4x），求函数F（x）在区间[2，3]上的值域；（3）若不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{-1，1，2}【解析】
解：A∪B={1，2，-1}． 故答案为：{1，2，-1}．进行并集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，并集的概念及运算．
2.【答案】（2，3]【解析】
解：由，解得2＜x≤3．∴函数f（x）=lg（x-2）+的定义域为（2，3]．故答案为：（2，3]．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.【答案】
1
2
【解析】
解：sin（-330°）=sin（-360°+30°）=sin30°=．故答案为：把所求式子中的角-330°变为-360°+30°后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
4.【答案】3【解析】
解：幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为：3．根据题意求出α的值，写出函数解析式，再计算f（27）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
5.【答案】（2，+∞）【解析】
解：根据指数函数的单调性知， 不等式3x-2＞1可化为x-2＞0， 解得x＞2， ∴不等式的解集为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）．根据指数函数的单调性，把不等式化为x-2＞0，求解集即可．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
6.【答案】
??
6
【解析】
解：将函数f（x）=sin（2x-）=sin2（x-）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin2x的图象，则φ的最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7.【答案】1【解析】
解：=．故答案为：1．进行指数、对数的运算即可．考查指数和对数的运算，以及对数的换底公式．
8.【答案】[0，
5??
12
]【解析】
解：令-，解得，令，则，因此，函数的单调递增区间为．故答案为：．先求出函数在R上的单调递增区间，然后与定义域取交集，即可求出答案．本题考查三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
9.【答案】-
2
2
3
【解析】
解：∵sin（α-）=，其中，∴α-∈（，π），cos（α-）=-=-，则sin（）=sin（+α）=（cos-α）=-，故答案为：-．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos（α-）的值，再利用诱导公式求得sin（）=sin（+α）=（cos-α）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
10.【答案】
8
5
【解析】
解：向量=（1，-2），=（-1，1），若（）⊥（），则（-）?（+k）=+（k-1）?-k=0，∴（1+4）+（k-1）×（-1-2）-k×（1+1）=0，解得k=．故答案为：．根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出k的值．本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．
11.【答案】5【解析】
解：点P（1，2）在角α终边上，∴tanα==2，sinα==，cosα==，则==5，故答案为：5．由题意利用任意角的三角函数的定义求得 tanα、sinα、cosα 的值，可得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】（-2，0）【解析】
解：函数g（x）=f（x）-m（m∈R）有三个不同的零点，即为g（x）=0，即f（x）=m有三个交点，由-log2x1=log2x2=3-x3=m，0＜m＜1，即有x1x2=1，x3=3-m，则（x1x2+1）m-x3=2m-3+m，由h（m）=2m-3+m在（0，1）递增，可得h（m）的值域为（-2，0）．故答案为：（-2，0）．由题意可得g（x）=0，即f（x）=m有三个交点，可得x1x2=1，x3=3-m，0＜m＜1，则（x1x2+1）m-x3=2m-3+m，由h（m）=2m-3+m的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的零点问题，注意运用数形结合思想和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．
13.【答案】（-∞，-1）∪（0，1）【解析】
解：根据题意，设g（x）=xf（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（-x）=-f（x），则g（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=g（x），则g（x）为R上的偶函数，若f（-1）=0，则g（-1）=g（1）=0，又由对任意的x1，x2∈（-∞，0），当x1≠x2时，都有＜0成立，则g（x）在（-∞，0）上为减函数，则在（-∞，-1）上，g（x）=xf（x）＞0，在（-1，0）上，g（x）=xf（x）＜0，又由x∈（-∞，0），则在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0），f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，在在（0，1），f（x）＜0，综合可得：f（x）的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．根据题意，设g（x）=xf（x），分析可得g（x）为偶函数且在（-∞，0）上为减函数，据此可得在（-∞，-1）上，g（x）=xf（x）＞0，在（-1，0）上，g（x）=xf（x）＜0，结合x的范围可得在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0），f（x）＞0，结合函数f（x）的奇偶性，分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数g（x）=xf（x），属于基础题．
14.【答案】[-
65
24
，-
13
8
）∪（
7
2
，
16
3
]【解析】
解：由函数f（x）=-x2+ax+1，h（x）=2x可得f（x），g（x）的图象均过（0，1），且f（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由题意可得f（x）＞h（x）恰有1，2两个整数解，可得f（2）＞h（2），f（3）≤h（3），即有-3+2a＞4，-8+3a≤8，解得＜a≤；当当a＜0时，由题意可得f（x）＞h（x）恰有-1，-2两个整数解，可得f（-2）＞h（-2），f（-3）≤h（-3），即有-3-2a＞，-8-3a≤，解得-≤a＜-，综上可得a的范围是[-，-）∪（，]．故答案为：[-，-）∪（，]．由题意可得f（x），g（x）的图象均过（0，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞h（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，…（3分）∴CUB=（-∞，3）∪（4，+∞），…（6分）故A∩?UB=[1，3）．…（8分）（2）∵B?A，∴
??+1≤4
??≥1
，…（12分）解得1≤m≤3．…（14分）【解析】
（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，由此能求出A∩?UB． （2）由B?A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．本题考查交集、补集、不等式的取值范围的求法，考查补集、交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】解：（1）依题意，A=2，T=4（
??
3
-
??
12
）=π=
2??
??
，ω=2，故f（x）=2sin（2x+φ）将点（
??
3
，2）的坐标代入函数的解析式可得sin（
2??
3
+φ）=1则φ=2kπ-
??
6
（k∈Z），又|φ|＜π，故φ=-
??
6
，故函数解析式为f（x）=2sin（2x-
??
6
）（2）当x∈[-
??
12
，
5??
12
]时，-
??
3
≤2x-
??
6
≤
2??
3
，则-
3
2
≤sin（2x-
??
6
）≤1，-
3
≤2sin（2x-
??
6
）≤2，所以函数f（x）的值域为[-
3
，2]【解析】
（1）由图观察得A，T，利用T求得ω，代最高点（，2）求φ；（2）利用正弦函数的图象求值域．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，属中档题．
17.【答案】解：（1）在?ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°．|
????
|=|
????
+
????
|=
(
????
+
????
)
2
=
|
????
|
2
+2|
????
||
????
|??????∠??????+|
????
|
2
，=
9+2?3?2?(?
1
2
)+4
，=
7
．（2）由图形得
????
=
????
+
1
2
????
，
????
=
1
3
????
?
????
，所以：
????
?
????
=(
????
+
1
2
????
)?(
1
3
????
?
????
)，=
1
3
|
????
|
2
?
5
6
|
????
||
????
|??????∠???????
1
2
|
????
|
2
，=
1
3
?9?
5
6
?3?2?(?
1
2
)?
1
2
?4，=
7
2
．【解析】
（1）直接利用向量的线性运算和余弦定理求出结果． （2）利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，向量的线性运算的应用，向量的模的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）如图，BD=x，则BE=x，AD=AG=EC=FC=2-x，在扇形DBE中，弧DE长=
??
3
x，所以S扇形BDE=
1
2
×
??
3
x2=
??
6
x2，同理，S扇形ADG=
1
2
×
??
3
（2-x）2=
??
6
（2-x）2，因为弧DG与弧EF无重叠，所以CF+AG≤AC，即2-x+2-x≤2，则x≥1，又三个扇形都在三角形内部，则x≤
3
，所以x∈[1，
3
]；（2）因为S△ABC=
3
，所以S阴影=S△ABC-S扇形BDE-S扇形ADG-S扇形CEF=
3
-
??
6
[x2+2（2-x）2]，=
3
-
??
6
[3（x-
4
3
）2+
8
3
]，所以当x=
4
3
时，S阴影取得最大值为
3
-
4??
9
，答：当BD长为
4
3
百米时，草坪面积最大，最大值为（
3
-
4??
9
）百米2．【解析】
（1）根据扇形的面积公式可得结果，根据条件可得以CF+AG≤AC，且BD长的小于高，解得x的取值范围， （2）列出草坪面积的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出．本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了数学建模的思想，属于中档题．
19.【答案】解：（1）由f（
1
2
）=
|
1
2
???|
1
2
=1，得a=1或0．因为a＞0，所以a=1，所以f（x）=
|???1|
??
．当x＞1时，f（x）=
???1
??
=1-
1
??
为增函数，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1-
1
??
1
-1+
1
??
2
=
??
1
?
??
2
??
1
??
2
，因为1＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞0，f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）g（x）=
??(??)
??
=
|???1|
??
2
=
???1
??
2
，1≤??≤4
1???
??
2
，
1
2
≤??＜1
，当1≤x≤4时，g（x）=
???1
??
2
=
1
??
-
1
??
2
=-（
1
??
-
1
2
）2+
1
4
，因为
1
4
≤
1
??
≤1，所以当
1
??
=
1
2
时，g（x）max=
1
4
；当
1
2
≤x＜1时，g（x）=
1???
??
2
=（
1
??
-
1
2
）2-
1
4
，因为
1
2
≤x＜1时，所以1＜
1
??
≤2，所以当
1
??
=2时，g（x）max=2；综上，当x=
1
2
时，g（x）max=2；（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）=1-
1
??
∈（0，1）．同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）=
1
??
-1∈（0，+∞）．方程2（x-1）2-x|x-1|+2mx2=0可化为2?
|???1
|
2
??
2
-
|???1|
??
+2m=0，即2f2（x）-f（x）+2m=0，设t=f（x），方程可化为2t2-t+2m=0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2-t+2m=0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，则有
1?16??＞0
2??＞0
2×
1
2
?1+2??＞0
，解得0＜m＜
1
16
，所以实数m的取值范围为（0，
1
16
）．【解析】
（1）由f（）=1，解方程可得a，再由单调性的定义，即可证得f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）运用分段函数写出g（x），讨论1≤x≤4，≤x＜1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；（3）由题意可得方程2（x-1）2-x|x-1|+2mx2=0可化为2?-+2m=0，即2f2（x）-f（x）+2m=0，设t=f（x），方程可化为2t2-t+2m=0，由题意可得方程2t2-t+2m=0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的解析式的求法，注意运用方程思想，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查存在性问题解法，注意运用换元法和转化思想，讨论二次方程实根分布，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4
4
??
+1
4
???
+1
=log44x=x恒成立，所以k=
1
2
；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-
4
3
a）-log4（x+1）=log4
??(???
4
3
)
??+1
=log4[a（1-
7
3(??+1)
]，因为x∈[2，3]，所以x-
4
3
＞0，所以a＞0，则1-
7
3(??+1)
∈[
2
9
，
5
12
]，a＞0，则a（1-
7
3(??+1)
）∈[
2
9
a，
5
12
a]，所以F（x）∈[log4
2
9
a，log4
5
12
a]；即函数F（x）的值域为[log4
2
9
a，log4
5
12
a]；（3）由f（x）＜g（x），得log4（a?2x?
4
3
??）＜log4（4x+1），设t=2x，则t2-at+1+
4
3
a＞0，设m（t）=t2-at+1+
4
3
a，若a＞0则t＞
4
3
，由不等式t2-at+1+
4
3
a＞0对t＞
4
3
恒成立，①当
??
2
≤
4
3
，即0＜a≤
8
3
时，此时m（
4
3
）=
25
9
＞0恒成立；②当
??
2
＞
4
3
，即a＞
8
3
时，由△=a2-4-
16
3
a＜0解得
8
3
＜a＜6；所以0＜a＜6；若a＜0则0＜t＜
4
3
，则由不等式t2-at+1+
4
3
a＞0对0＜t＜
4
3
恒成立，因为a＜0，所以
??
2
＜0，只需m（0）=1+
4
3
a≥0，解得-
3
4
≤a＜0；故实数a的取值范围是[-
3
4
，0）∪（0，6）．【解析】
（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k的值；（2）求得F（x）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f（x）＜g（x），得log4（a?2x）＜log4（4x+1），设t=2x，则t2-at+1+a＞0，设m（t）=t2-at+1+a，讨论a＞0，a＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．