2017-2018学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷（解析版）

,2017-2018学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合A={0，1，2}，B={0，2，4}，则A∩B=______．
函数y=lg（2-x）的定义域是______．
若α=240°，则sin（150°-α）的值等于______．
已知角α的终边经过点P（-2，4），则sinα-cosα的值等于______．
已知向量
????
=（m，5），
????
=（4，n），
????
=（7，6），则m+n的值为______．
已知函数?f（x）=
????
??
3
(
??
2
?1),??≥2
2
??
???1
,??<2
，则f（f（2））的值为______．
《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．
已知函数f（x）=
??
2
,??>1
3?2??,??≤1
，则函数g（x）=f（x）-2的零点个数为______．
已知函数f（x）=x2+ax+2（a＞0）在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y=f（x）（x∈[-2，1]）的值域为______．
已知函数f（x）=x2+2x-m?2-x是定义在R上的偶函数，则实数m的值等于______．
如图，在梯形ABCD中，
????
=2
????
，P为线段CD上一点，且
????
=3
????
，E为BC的中点，若
????
=λ1
????
+λ2
????
（λ1，λ2∈R），则λ1+λ2的值为______．
已知tan（???
??
4
）=2，则sin（2???
??
4
）的值等于______．
将函数y=sinx的图象向左平移
??
3
个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
1
??
（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象，若函数y=f（x）在区间（0，
??
2
）上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为______．
已知x，y为非零实数，θ∈（
??
4
，
??
2
），且同时满足：①
??
????????
=
??
????????
，②
10
??
2
+
??
2
=
3
????
，则cosθ的值等于______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
已知全集U=R，集合A={x|x2-4x≤0}，B={x|m≤x≤m+2}．（1）若m=3，求?UB和A∪B；（2）若B?A，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=?，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=a+
1
4
??
+1
的图象过点（1，?
3
10
）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若?
1
6
≤??(??)≤0，求实数x的取值范围．
如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=2．（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求
????
?
????
；（2）若AC=AB，cos∠??????=
3
5
，
????
?
????
=
4
5
，求|
????
|．

某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB=60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB=θ．（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．

已知
??
=（2cosx，1），
??
=（
3
sinx+cosx，-1），函数f（x）=
??
?
??
．（1）求f（x）在区间[0，
??
4
]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=
6
5
，x0∈[
??
4
，
??
2
]，求cos2x0的值；（3）若函数y=f（ωx）在区间（
??
3
，
2??
3
）上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．
已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．（1）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（2）当b=1时，若对于任意x∈[1，3]，恒有
??(??)
??
≤2
??+1
，求a的取值范围；
答案和解析
1.【答案】{0，2}【解析】
解：∵集合A={0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A∩B={0，2}． 故答案为：{0，2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.【答案】（-∞，2）【解析】
解：由2-x＞0，得x＜2． ∴函数y=lg（2-x）的定义域是（-∞，2）． 故答案为：（-∞，2）．直接由对数式的真数大于0求解一元一次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
3.【答案】-1【解析】
解：∵α=240°，则sin（150°-α）=sin（-90°）=-sin90°=-1， 故答案为：-1．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
4.【答案】
3
5
5
【解析】
解：∵角α的终边经过点P（-2，4），∴x=-2，y=4，r=|OP|=2， ∴sinα==，cosα==-，则sinα-cosα=， 故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα-cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】8【解析】
解：∵向量=（m，5），=（4，n），=（7，6）， ∴， 即（7，6）=（4-m，n-5）， ∴，解得m=-3，n=11， ∴m+n=8． 故答案为：8．由，得（7，6）=（4-m，n-5），求出m=-3，n=11，由此能求出m+n．本题考查代数式的和的求法，考查平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】2【解析】
解：∵函数f（x）=， ∴f（2）==1， f（f（2））=f（1）=2e1-1=2． 故答案为：2．推导出f（2）==1，从而f（f（2））=f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7.【答案】120【解析】
解：由题意可得：弧长l=20，半径r=12， 扇形面积S=lr=×20×12=120（平方米）， 故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】2【解析】
解：根据题意，函数f（x）=， g（x）=f（x）-2=0， 即f（x）=2， 当x≤1时，f（x）=3-2x=2，解可得x=，即是函数g（x）的1个零点； 当x＞1时，f（x）=x2=2，解可得x=或-（舍），即是函数g（x）的1个零点； 综合可得：函数g（x）共有2个零点，即和； 故答案为：2．根据题意，由g（x）=f（x）-2=0可得f（x）=2，分x≤1与x＞1分别求出函数g（x）的零点，综合即可得答案．本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义．
9.【答案】[
7
4
，4]【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.先根据二次函数的性质，以及f（x）在区间[0，2]上的最大值等于8，求出a的值，再根据二次函数的性质，求出函数的值域．【解答】
解：∵函数f（x）=x2+ax+2（a＞0）的开口向上，∴f（x）=x2+ax+2（a＞0）在区间[0，2]上的最大值为max{f（0），f（2）}，∵f（0）=2，f（2）=6+2a，且f（x）在区间[0，2]上的最大值等于8，∴f（2）=6+2a=8，解得a=1，∴f（x）=x2+x+2=（x+）2+，当x=-时，f（x）有最小值，最小值为，当x=-2时，f（x）有最大值，最大值为4，∴函数y=f（x）（x∈[-2，1]）的值域为[，4]，故答案为[，4]．
10.【答案】-1【解析】
解：函数f（x）=x2+2x-m?2-x是定义在R上的偶函数， 可得f（-x）=f（x）， 即为x2+2-x-m?2x=x2+2x-m?2-x， 即有（m+1）（2x-2-x）=0， 由x∈R，可得m+1=0， 即m=-1， 故答案为：-1．由题意可得f（-x）=f（x），化简整理，可得m的方程，解方程即可得到所求值．本题考查函数的奇偶性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
1
3
【解析】
解：== =-． ∴，λ1+λ2=． 故答案为：．直接利用向量的线性运算即可．本题考查了向量的线性运算，属于中档题．
12.【答案】
2
10
【解析】
解：由tan（）=2，得，即，解得tanα=-3． ∴sin（2）=sin2αcoscos2αsin= == =． 故答案为：．由再由展开两角差的正切求得tanα，再把sin（2）展开两角差的正弦，化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的三角函数的应用，是基础题．
13.【答案】（
4
3
，
10
3
]【解析】
解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变）， 得到函数y=f（x）=sin（ωx+）的图象， 若函数y=f（x）在区间（0，）上有且仅有一个零点， ∵ω?0+=，∴ω?+∈（π，2π]，∴ω∈（，]， 故答案为：（，]．根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求得ω的取值范围．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于基础题．
14.【答案】
10
10
【解析】
解：由=，得， 由=，得，即， 则，即， 解得tanθ=3或tanθ=． ∵θ∈（），∴tanθ=3． 联立，解得cosθ=． 故答案为：．由=，得，由=，得，即，两式联立即可求得tanθ，结合同角三角函数基本关系式求得cosθ．本题考查三角函数的化简求值，考查数学转化思想方法，是中档题．
15.【答案】解：（1）当m=3时，B={x|3≤x≤5}，集合A={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4}，∴CUB={x|x＜3或x＞5}，A∪B={x|0≤x≤5}．（2）∵集合A{x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，B?A，∴
??≥0
??+2≤4
，解得0≤m≤2．∴实数m的取值范围[0，2].（3）∵集合A={x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}．A∩B=?，∴m+2＜0或m＞4，解得m＜-2或m＞4．∴实数m的取值范围（-∞，-2）∪（4，+∞）．【解析】
（1）当m=3时，B={x|3≤x≤5}，集合A={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4}，由此能求出?UB和A∪B． （2）由集合A{x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，B?A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围． （3）由集合A={x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∩B=?，得到m+2＜0或m＞4，由此能求出实数m的取值范围．本题考查补集、并集、实数的范围的求法，考查补集、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】解：（1）因为f（x）的图象过点（1，?
3
10
），所以a+
1
5
=-
3
10
，解得a=-
1
2
，所以f（x）=
1
4
??
+1
-
1
2
=
1?
4
??
2(1+
4
??
)
，f（x）的定义域为R．??????????????????????????????????因为f（-x）=
1?
4
???
2(1+
4
???
)
=
4
??
?1
2(
4
??
+1)
=-f（x），所以f（x）是奇函数．??????????????????（2）因为?
1
6
≤??(??)≤0，所以-
1
6
≤
1
4
??
+1
-
1
2
≤0，即
1
3
≤
1
4
??
+1
≤
1
2
，可得2≤4x+1≤3，即1≤4x≤2，解得0≤x≤
1
2
．【解析】
（1）代入点的坐标，求得f（x）的解析式，由定义法判断f（x）的奇偶性； （2）化简变形，运用指数函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的判断和证明，以及不等式的解法，注意运用定义法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB=120°．???????????????????????又AD=2AB，所以AD=2BC，因为E是CD的中点，所以：
????
=
1
2
(
????
+
????
)=
1
2
(
????
+
????
+
????
)，=
3
4
????
+
1
2
????
．又
????
=
????
?
????
，所以
????
?
????
=(
3
4
????
+
1
2
????
)(
????
?
????
)，=
3
4
????
2
?
1
2
????
2
?
1
4
????
?
????
．=
3
4
?16?
1
2
?4?
1
4
?4?2?(?
1
2
)，=11．（2）因为AB=AC，AB=2，所以：AC=2．因为：
????
?
????
=
4
5
，所以：
????
?(
????
?
????
)=
4
5
．所以：
????
?
????
?
?????
????
=
4
5
．又
????
?
????
=|
????
||
????
|??????∠??????=4?
3
5
=
12
5
．所以：
????
?
????
=
4
5
+
????
?
????
=
16
5
．所以：|
????
|
2
=|
????
?
????
|
2
=4+16?2?
16
5
=
68
5
．故：|
????
|=
2
85
5
．【解析】
（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果． （2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，
18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）在Rt△PON中，PN=200sinθ，ON=200cosθ，在Rt△OQM中，QM=PN=200sinθ，…（2分）OM=
????
??????
60
°
=
200????????
3
=
200
3
????????
3
，所以MN=0N-OM=200cosθ-
200
3
????????
3
，…（4分）因为矩形MNPQ是正方形，∴MN=PN，所以200cosθ-
200
3
????????
3
=200sinθ，…（6分）所以（200+
200
3
3
）sinθ=200cosθ，所以tanθ=
1
1+
3
3
=
3
3+
3
=
3?
3
2
．?????…（8分）（2）因为∠POM=θ，所以∠POQ=60°-θ，∴PS+PT=200sinθ+200sin（60°-θ）=200（sinθ+
3
2
cosθ?
1
2
sinθ）?????…（10分）=200（
1
2
sinθ+
3
2
cosθ）=200sin（θ+60°），0°＜θ＜60°．?????…（12分）所以θ+60°=90°，即θ=30°时，PS+PT最大，此时P是
??
??的中点．???…（14分）【解析】
（1）由已知可得PN=200sinθ，ON=200cosθ，QM=PN=200sinθ，可求OM==，解得MN的值，由MN=PN，可求（200+）sinθ=200cosθ，即可解得tanθ的值． （2）由于∠POQ=60°-θ，利用三角函数恒等变换的应用可求PS+PT=200sin（θ+60°），0°＜θ＜60°．利用正弦函数的图象和性质可求θ=30°时，PS+PT最大，此时P是的中点．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：（1）f（x）=
??
?
??
=2cosx（
3
sinx+cosx）-1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
??
6
）因为x∈[0，
??
4
]，所以
??
6
≤2x+
??
6
≤
2??
3
，所以
1
2
≤2sin（2x+
??
6
）≤1，所以f（x）max=2，f（x）min=1．??????????（2）因为f（x0）=
6
5
，所以2sin（2x0+
??
6
）=
6
5
，所以sin（2x0+
??
6
）=
3
5
，因为x0∈[
??
4
，
??
2
]，所以
2??
3
≤2x0+
??
6
≤
7??
6
，所以cos（2x0+
??
6
）=-
1???????(2
??
0
+
??
6
)
2
=-
4
5
，所以cos2x0=cos[（2x0+
??
6
）-
??
6
]=
3
2
cos（2x0+
??
6
）+
1
2
sin（2x0+
??
6
）=
3
2
×（-
4
5
）+
1
2
×
3
5
=
3?4
3
10
．?????????（3）f（ωx）=sin（2ωx+
??
6
）令2kπ?
??
2
≤2ωx+
??
6
≤2kπ+
??
2
，k∈Z，得
????
??
-
??
3??
≤x≤
????
??
+
??
6??
，因为函数函数y=f（ωx）在区间（
??
3
，
2??
3
）上是单调递增函数，所以存在k0∈Z，使得（
??
3
，
2??
3
）?（
????
??
-
??
3??
，
????
??
+
??
6??
）所以有
??
0
??
??
?
??
3??
≤
??
3
??
0
??
??
+
??
6??
≥
2??
3
?即
6
??
0
+1≥4??
3
??
0
≤1+??
，因为ω＞0所以k0＞-
1
6
又因为
2??
3
-
??
3
≤
1
2
-
2??
2??
，所以0＜ω≤
3
2
，所以k0≤
5
6
，从而有-
1
6
＜k0≤
5
6
，所以k0=0，所以0＜ω≤
1
4
．【解析】
（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．（2）利用（1）中的函数解析式得到cos（2x0+）=-=-，利用两角和与差的余弦函数公式求cos2x0=cos[（2x0+）-]的值即可；（3）f（ωx）=sin（2ωx+），由正弦函数图象的性质解答．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及数量积的运算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
20.【答案】解：（1）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），由f（x）=0，解得x=0或|x-a|=1，由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1．∵f（x）恰有两个不同的零点且a+1≠a-1，∴a+1=0或a-1=0，得a=±1；（2）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，∵对于任意x∈[1，3]，恒有
??(??)
??
≤2
??+1
，即
??|?????|+??
??
≤2
??+1
，即|x-a|≤2
??+1
?1，∵x∈[1，3]时，2
??+1
?1＞0，∴1?2
??+1
≤?????≤2
??+1
?1，即恒有
??≤??+2
??+1
?1
??≥???2
??+1
+1
，令t=
??+1
，当x∈[1，3]时，t∈[
2
，2]，x=t2-1．∴??+2
??+1
?1=
??
2
+2???2=(??+1
)
2
?3≥(
2
+1
)
2
?3=2
2
，∴???2
??+1
+1=
??
2
?2??=(???1
)
2
?1≤0，综上，a的取值范围是[0，2
2
]；【解析】
（1）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），求解x，结合函数f（x）恰有两个不同的零点，即可求实数a的值；（2）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，对于任意x∈[1，3]，恒有，转化为|x-a|，可得，令t=换元，然后利用配方法求得a的取值范围； 本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化 数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．