2017-2018学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3}，则A∩（?UB）=______．
函数f（x）=log3（x-2）的定义域为______．
已知幂函数??=
??
2???
??
2
(??∈
??
?
)在（0，+∞）是增函数，则实数m的值是______．
已知扇形的圆心角为
??
4
，半径为4，则扇形的面积为______．
设向量
??
=（2，1），
??
+（1，2），若（2
??
+
??
）⊥（
1
2
??
+k
??
），则实数k的值为______．
定义在R上的函数f（x）=
??(?????),??>0
????????,??≤0
，则f（
16
3
π）的值为______．
将函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移
??
6
个单位后，所得图象关于原点对称，则φ的值为______．
若sinβ=3sin（2α-β），则2tan（α-β）+tanα的值为______．
已知x∈[0，
??
2
]，f（x）=
1?????????
+
1+????????
，则函数f（x）的值域为______．
设偶函数f（x）的定义域为R，函数f（x）在（0，+∞）上为单调函数，则满足f（x+1）=f（2x）的所有x的取值集合为______．
在△ABC中，AB=3，AC=1，
????
?
????
=
1
3
，
????
=λ（
????
|
????
|
+
????
|
????
|
）且D在BC上，则线段AD的长为______．
函数f（x）=sin（ωx+
??
3
）（ω＞0）在[
??
12
，
??
6
]上为单调递增函数，则实数ω的取值范围是______．
如图，已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上，
????
?
????
=
????
?
????
=0，|
????
|=|
????
|=|
????
|=|
????
|，|
????
-
????
|=2
2
，在边DE上有2个不同的点F，G，则
????
?（
????
+
????
）的值为______．
已知函数f（x）=loga（mx+2）-loga（2m+1+
2
??
）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
设集合A={x∈R|
1
8
≤2x≤4}，B={y|y=log2x+m，
1
4
≤x≤16}．（1）当A∪B=B时，求实数m的取值范围；（2）当A∩B≠?时，求实数m的取值范围．
已知向量
??
=（
3
cosωx，-1），
??
=（sinωx，cos2ωx）（ω＞0），函数f（x）=
??
?
??
图象相邻两条对称轴之间的距离为
??
2
．（1）求f（x）的解析式；（2）若x0∈[
??
4
，
7??
12
]且f（x0）=
3
3
-
1
2
，求cos2x0的值．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a=2，B＞A，2sinBsinC=cosA，b2+c2-4=4
3
S．（1）求A的值；（2）判断△ABC的形状并求△ABC的面积．
某U形场地ABCD，AB⊥BC，DC⊥BC，BC=100米（BA、CD足够长）．现修一条水泥路MN（M在AB上，N在DC上），在四边形MBCN中种植三种花卉，为了美观起见，决定在BC上取一点E，使ME=EC，且MN⊥ME．现将ME，NE铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为l米．（1）设∠AEB=θ，将l表示成θ的函数关系式；（2）求l的最小值．

已知函数f（x）=
?
??
2
?4???2+
??
2
，??≤0
??+
4
??
+4???1，??＞0
．（1）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞4a-2．
已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=ax（a＞0，a≠1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若a=
1
2
时，对一切x∈（log2（
2
-1），log2
5
?1
2
），使得（m2-2）f（x）+mg（2x）-4m＞0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{1}【解析】
解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3}， ∴?UB={1，4，5}， 则A∩（?UB）={1}， 故答案为：{1}由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】（2，+∞）【解析】
解：要使f（x）=log3（x-2）有意义，则：x-2＞0； ∴x＞2； ∴f（x）的定义域为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）．可看出，要使得f（x）有意义，则需满足x-2＞0，从而得出f（x）的定义域．考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0．
3.【答案】1【解析】
解：由题意得： 2m-m2＞0在（0，+∞）恒成立， 解得：0＜m＜2， 故m=1， 故答案为：1．根据幂函数的定义求出m的范围，由m的整数，求出m的值即可．本题考查了幂函数的定义，考查不等式问题，是一道基础题．
4.【答案】2π【解析】
解：∵扇形的圆心角为，半径为4，∴扇形的面积为S==×α×R2==2π．故答案为：2π．扇形的面积为S==×α×R2，由此能求出结果．本题考查扇形的面积的求法，考查扇形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】?
7
13
【解析】
解：，；∵；∴=；解得k=．故答案为：．可求出，，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的运算．
6.【答案】-
3
2
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=，则f（）=f（-+6π）=f（-），又由f（-）=sin（-）=-；则f（π）=-；故答案为：-．根据题意，由函数的解析式可得f（）=f（-+6π）=f（-），进而结合解析式可得答案．本题考查函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
7.【答案】
??
12
【解析】
解：函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到：g（x）=sin（φ），再将图象向右平移个单位后，得到：k（x）=sin（+φ），所得图象关于原点对称，则：-+φ=kπ（k∈Z），解得：，当k=0时，φ=，故答案为：．直接利用三角函数的平移和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的对称性求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.【答案】0【解析】
解：∵sinβ=3sin（2α-β），∴sin[α-（α-β）]=3sin[（α-β）+α]， ∴sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=3sin（α-β）cosα+3cos（α-β） sinα， ∴-2sinαcos（α-β）=4cosαsin（α-β），即 tanα=-2tan（α-β）， ∴2tan（α-β）+tanα=0， 故答案为：0．由已知可得sin[α-（α-β）]=3sin[（α-β）+α]，利用两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得-2tan（α-β）=tanα，由此化简所求即可得结果．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】[
2
，2]【解析】
解：∵x∈[0，]，∴∈[0，]，∴f（x）=+==．由∈[0，]，得∈[]．∴f（x）∈[，2]．故答案为[，2]．利用倍角公式化简变形，再由x的范围求得函数f（x）的值域．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
10.【答案】{1，-
1
3
}【解析】
解：根据题意，函数f（x）为定义域为R的偶函数，则f（x+1）=f（|x+1|），f（2x）=f（|2x|），又由函数f（x）在（0，+∞）上为单调函数，则f（x+1）=f（2x）?|x+1|=2|x|，变形可得：（x+1）2=4x2，解可得：x=1或-，则所有x的取值集合为{1，-}；故答案为：{1，-}．根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）=f（|x+1|），f（2x）=f（|2x|），进而结合函数单调性的定义分析可得f（x+1）=f（2x）?|x+1|=2|x|，解可得x的值，写成集合的形式即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
11.【答案】1【解析】
解：设，则，∵=λ（+）=λ（），根据向量加法的平行四边形法则可知，以为邻边的平行四边形为菱形，∵D在BC上，∴AD为∠BAC的平分线，由角平分线定理可得，，∴，∴===，∵?=，∴=-，∴===1∴||=1故答案为：1结合向量加法的平行四边形法则可知，AD为∠BAC的平分线，结合角平分线定理可得，代入可得=，然后结合向量的数量积的性质可求．本题综合考查了向量加法的四边形法则，角平分线性质及向量数量积的性质的应用，解题的关键是熟练应用基本性质．
12.【答案】（0，1]【解析】
解：∵≤x≤]，ω＞0，∴+≤ωx+≤+，∵f（x）在[，]上为单调递增函数，∴+≥2kπ-且+≤2kπ+，（k∈z），∴ω≥24k-10且ω≤12k+1，（k∈z），∵ω＞0，令k=0，∴0＜ω≤1，故答案为：（0，1]．求出ωx+的范围，根据函数的单调性求出ω，令k=0，求出ω的范围即可．本题考查了三角函数问题，考查函数的单调性，是一道常规题．
13.【答案】16【解析】
解：根据题意，?=?=0，则AD⊥DE，BC⊥AC，又由||=||=||=||，则△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，又由|-|=2，则|AB|=|AE|=2，则|AD|=2，且∠DAE=，则=+=2+，=+=2+，则?（+）=?+?=?（2+）+?（2+）=4?=4×||×||×cos=16，故答案为：16．根据题意，由向量数量积的性质可得△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，又由|-|=2，则|AB|=|AE|=2，则|AD|=2，且∠DAE=，进而由数量积的计算公式可得?（+）=?+?=?（2+）+?（2+）=4?，代入数据计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．
14.【答案】m≤-1或m=0或m=-
1
2
【解析】
解：函数f（x）=loga（mx+2）-loga（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，可得f（x）=0，即mx+2=2m+1+＞0，有且只有一个实根，m=0，x=2显然成立；由mx2+（1-2m）x-2=0，△=（1-2m）2+8m=0，解得m=-，此时x=2成立；由m（x-2）=-1=，即（x-2）=0，由x≠2，可得mx+1=0，2m+2≤0，即m≤-1．综上可得m的范围是m≤-1或m=0或m=-．故答案为：m≤-1或m=0或m=-．由题意可得f（x）=0，即mx+2=2m+1+＞0，有且只有一个实根，讨论m为0，或m不为0，再由mx2+（1-2m）x-2=0，△=（1-2m）2+8m=0，运用判别式为0和分离参数，即可得到所求范围．本题考查对数函数的性质和方程思想，注意运用分类讨论思想方法，属于中档题．
15.【答案】解：（1）∵集合A={x∈R|
1
8
≤2x≤4}={x|-3≤x≤2}，B={y|y=log2x+m，
1
4
≤x≤16}={x|m-2≤x≤m+4}，…（4分）∵A∪B=B，∴A?B，即
??+4≥2
???2≤?3
，解得-2≤m≤-1．∴实数m的取值范围是[-2，-1]．…（7分）（2）∵A∩B≠?，∴-3≤4+m≤2或-3≤m-2≤2，解得-7≤m≤4，∴实数m的取值范围是[-7，4]．…（14分）【解析】
（1）求出集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m-2≤x≤m+4}，由A∪B=B，得A?B，由此能求出实数m的取值范围． （2）由A∩B≠?，得-3≤4+m≤2或-3≤m-2≤2，由此能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：（1）??(??)=
3
?????????????????????????
??
2
????=
3
2
sinωx-
1+??????????
2
．=sin（2ωx-
??
6
）-
1
2
，…（4分）∵T=π，∴ω=1，即??(??)=??????(2???
??
6
)?
1
2
…（7分）（2）∵f（x0）=
3
3
-
1
2
，∴sin（2x0-
??
6
）=
3
3
．∵x0∈[
??
4
，
7??
12
]，∴2x0-
??
6
∈[
??
3
，π]，…（8分）∴sin（2x0-
??
6
）=
3
3
＜
3
2
．∴2x0-
??
6
∈[
2??
3
，π]，∴cos（2x0-
??
6
）=-
6
3
．…（12分）∴cos2x0=cos[（2x0-
??
6
）+
??
6
]=cos（2x0-
??
6
）cos
??
6
-sin（2x0-
??
6
）sin
??
6
=?
3
2
+
3
6
…（14分）【解析】
（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx-）-，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式（2）由f（x0）=-，可得sin（2x0-）=．cos（2x0-）=-．由cos2x0=cos[（2x0-）+?即可计算得解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】（本题满分为14分）解：（1）∵b2+c2-4=4
3
S，∴b2+c2-4=4
3
S=4
3
×
1
2
bcsinA，由余弦定理得，cosA=
3
sinA，∴tanA=
3
3
，∵A∈（0，π），∴A=
??
6
．…（6分）（2）∵2sinBsinC=cosA，A+B+C=π，∴2sinBsinC=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，即sinBsinC+cosBcosC=0，可得：cos（B-C）=0，∴B-C=
??
2
或C-B=
??
2
．…（8分）（ⅰ）当B-C=
??
2
时，由第（1）问知A=
??
6
，可得：B=
2??
3
，C=
??
6
，可得：△ABC是等腰三角形，S=
1
2
acsinB=
3
；…（10分）（ⅱ）当C-B=
??
2
时，由第（1）问知A=
??
6
，由于C=
2??
3
，B=
??
6
，又B＞A，矛盾，舍．…（12分）综上△ABC是等腰三角形，其面积为
3
．…（14分）【解析】
（1）由余弦定理，三角形面积公式化简已知可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得cos（B-C）=0，可得B-C=或C-B=．分类讨论可求B，C的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵ME=EC，∠B=∠C，∴△ECN≌△EMN，∴∠CNE=∠MNE，∵∠AEB=θ，∴∠CNE=∠MNE=
??
2
，设ME=x，BE=xcosθ，NE=
??
??????
??
2
，∵BC=10∴x+xcosθ=10，∴x=
10
1+????????
…（4分）故l=
10
1+????????
（1+
1
??????
??
2
），0＜θ＜
??
2
…（8分）（2）l=
10
1+????????
（1+
1
??????
??
2
）=5?
1+??????
??
2
(1?????
??
2
??
2
)???????
??
2
=5?
1
(1???????
??
2
)???????
??
2
∵0＜θ＜
??
2
，∴sinθ∈（0，
2
2
），当且仅当θ=
??
3
时，sin
??
2
=
1
2
时，l取得最小值20答：l的最小值为20…（16分）【解析】
（1）由∠AEB=θ，求出ME，BE，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）l=（1+）==，sinθ∈（0，），即可求l的最小值本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题
19.【答案】解：（1）当x≤0时，f（x）=-x2-4x-2+a2的值域为（-∞，a2+2]；当x＞0时，f（x）=x+
4
??
+4a-1的值域为[4a+3，+∞）；∵f（x）的值域为R，∴a2+2≥4a+3，解得a≥2+
5
或a≤2-
5
；∴a的取值范围是a≥2+
5
或a≤2-
5
；…（4分）（2）当x＞0时，x+
4
??
+4a-1＞4a-2，即x+
4
??
+1＞0恒成立，…（6分）当x≤0时，-x2-4x-2+a2＞4a-2，即（x+a）[x-（a-4）]＜0；（ⅰ）当a-4=-a，即a=2时，x无解；…（8分）（ⅱ）当a-4＜-a，即0＜a＜2时，a-4＜x＜-a；…（10分）（ⅲ）当a-4＞-a，即a＞2时；①当2＜a≤4时，-a＜x＜a-4；…（12分）②当a＞4时，-a＜x≤0；…（14分）综上（1）当0＜a＜2时，解集为（a-4，-a）∪（0，+∞）；（2）当a=2时，解集为（0，+∞）；（3）当a＜a≤4时，解集为（-a，a-4）∪（0，+∞）；（4）当a＞4时，解集为（-a，+∞）．…（16分）【解析】
（1）讨论x≤0和x＞0时，求出函数f（x）的值域，根据题意列不等式求得a的取值范围； （2）讨论x＞0和x≤0时，根据题意解不等式求得a的取值范围．本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．
20.【答案】解：由f（x）+g（x）=ax……①；在f（-x）+g（-x）=a-x．∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，可得-f（x）+g（x）=a-x……②由①②可得f（x）=
1
2
（ax-a-x）；g（x）=
1
2
（ax+a-x）；（2）当a=
1
2
时，f（x）=
1
2
（2-x-2x）；g（x）=
1
2
（2-x+2x）；令2-x+2x=t；∵x∈（log2（
2
-1），log2
5
?1
2
），∴t∈（1，2）即f（x）=
1
2
??；g（2x）=
1
2
(
??
2
+2)由（m2-2）f（x）+mg（2x）-4m＞0恒成立；即
1
2
??（m2-2）+
1
2
??(
??
2
+2)-4m＞0在t∈（1，2）恒成立；
1
2
??（m2-2）+
1
2
??(
??
2
+2)-4m；即mt2+（m2-2）t-6m＞0在t∈（1，2）恒成立；令h（t）=mt2+（m2-2）t-6m（ⅰ）当m=0时，-2t＞0（舍）；（ⅱ）当m＞0时，则
??＞0
?
??
2
?2
2??
≤1
?(1)≥0
或
??＞0
1＜?
??
2
?2
2??
＜2
?(?
??
2
?2
2??
)≥0
或
??＞0
?
??
2
?2
2??
≥2
?(2)≥0
解得：??≥
5+
33
2
（ⅲ）当m＜0时，
?(2)≥0
?(1)≥0
，解得：m≤-1；综上可得实数m的取值范围是：??≥
5+
33
2
或m≤-1．【解析】
（1）根据f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，可得-f（x）+g（x）=a-x，f（x）+g（x）=ax（a＞0，a≠1）．建立方程组即可求解； （2）根据x的范围，化简转化为二次函数问题即可求解实数m的取值范围．本题一方面考查了对数函数的性质，转化思想和二次函数最值；另一方面要注意分类讨论．