2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=______．
cos
17??
6
=______．
若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=______．
若向量
??
=（1，2），
??
=（3，m），且
??
∥
??
，则|
??
+
??
|=______．
函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是______．
计算：
??
????3
+????
??
5
25+(0.125
)
?
2
3
=______．
已知圆心角是
??
3
的扇形的面积是
2??
3
cm2，则该圆心角所对的弧长为______cm．
已知函数（x）是周期为2的奇函数，且x∈[-1，0]时，f（x）=x，则f（
21
2
）=______．
将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y=f（x），当x=
2??
3
时f（x）取得最大值，则φ=______．
若
??????2??
??????(??+
??
4
)
=
2
3
，sinαcosα=______．
若f（x）=
(???1
)
2
+1，??≤1
1
??
，??＞1
，且f（2-a）＜f（3a），则实数a的取值范围是______．
在△ABC中，已知|
????
|=2，|
????
|=1，点M在边BC上，4
????
=
????
，
????
?
????
=2，则
????
?
????
=______．
函数f（x）=
1+????
??
2
??,??<4
2??+1,0≤??≤4
，若0≤m＜n，且f（m）=f（n），则mf（n）的取值范围是______．
函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
设集合A={x|y=
???2
+log2（32-x）}，B={y|y=2x，a≤x≤a+2，a∈R}全集U=R．（1）若a=2，求（?UB）∩A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
在△ABC中，已知
????
=（1，2），
????
=（4，m）（m＞0）．（1）若∠ABC=90°，求m的值；（2）若|
????
|=3
2
，且
????
=2
????
，求cos∠ADC的值．
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈（
7??
12
，π），β=
??
12
，且点A的坐标为A（-1，m）．（1）若tan2α=-
4
3
，求实数m的值；（2）若tan∠AOB=-
3
4
，若sin2α的值．

某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y=logax+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．
已知奇函数f（x）=
3??+??
2
??
2
+2
，函数g（t）=sin2t+2cost-1，t∈[m，
??
3
]，m，b∈R．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．
已知向量
??
=（2sin（ωx+
??
4
），-
3
），
??
=（sin（ωx+
??
4
），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=
??
?
??
-1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，
7??
12
]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4
??
1
+4
?
??
1
+m（2
??
1
-2
?
??
1
）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】{0，1，2}【解析】
解：集合A={0，1}，B={1，2}， 则A∪B={0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．
2.【答案】?
3
2
【解析】
解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．
3.【答案】4【解析】
解：设幂函数y=f（x）=xa，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．
4.【答案】4
5
【解析】
解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．则|+|==4．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】[-2，+∞）【解析】
解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．
6.【答案】11【解析】
解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】
2??
3
【解析】
解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
1
2
【解析】
解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．
9.【答案】
5??
12
【解析】
解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得?φ=，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．
10.【答案】
4
9
【解析】
解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．
11.【答案】（-∞，
1
2
）【解析】
解：f（x）=，可得x＞1时，f（x）递减；x≤1时，f（x）递减，且f（1）=1，可得f（x）在R上递减，f（2-a）＜f（3a），可得2-a＞3a，解得a＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
3
2
【解析】
解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）?（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．
13.【答案】（3，36]【解析】
解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f（x）的图象，求得f（n），m的范围及mf（n）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．
14.【答案】（3，4）【解析】
解：根据题意，对于函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，t=|3x-1|的图象如图：若函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m＜4，即m的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，作出t=|3x-1|的草图，据此分析可得方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．
15.【答案】解：（1）集合A={x|y=
???2
+log2（32-x）}={x|
32???>0
???2≥0
}={x|2≤x＜32}，a=2时，B={y|y=2x，2≤x≤4}={y|4≤y≤16}，又全集U=R，∴?UB={x|x＜4或x＞16}，∴（?UB）∩A={x|2≤x＜4，或16＜x＜32}；（2）∵A∪B=A，∴B?A，又B={y|2a≤y≤2a+2}，A={x|2≤x＜32}，∴
2
??+2
<32
2
??
≥2
，解得实数a的取值范围是1≤a＜3．【解析】
（1）求定义域得集合A，求出a=2时集合B，再根据集合的定义计算即可； （2）由A∪B=A得出B?A，由此列不等式求出实数a的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．
16.【答案】解：（1）若∠ABC=90°，则
????
?
????
=0，∵
????
=
????
?
????
=（3，m-2），∴3+2m-4=0，∴m=
1
2
．（2）∵|
????
|=3
2
，∴
9+(???2
)
2
=3
2
，∵m＞0，∴m=5，∵
????
=2
????
，∴
????
=
1
3
????
=（1，1），
????
=
2
3
????
=（2，2），而AD
????
=
????
+
????
=（3，4），∴
????
=（-3，-4），∴cos∠ADC=
????
?
????
|
????
||
????
|
=
?3×1?4×1
5
2
=?
7
2
10
．【解析】
（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m，然后结合=2，及向量夹角公式cos∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．
17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α=
2????????
1?????
??
2
??
=-
4
3
，∴tanα=-
1
2
，或tanα=2．∵α∈（
7??
12
，π），∴tanα=-
1
2
，即
??
?1
=-
1
2
，∴m=
1
2
．（2）∵tan∠AOB=tan（α-β）=tan（α-
??
12
）=
??????(???
??
12
)
??????(???
??
12
)
=-
3
4
，????
??
2
(???
??
12
)+????
??
2
(???
??
12
)=1，α-
??
12
∈[
??
2
，
11??
12
]，∴sin（α-
??
12
）=
3
5
，cos（α-
??
12
）=-
4
5
，∴sin（2α-
??
6
）=2sin（α-
??
12
）cos（α-
??
12
）=-
24
25
，cos（2α-
??
6
）=2cos2（α-
??
12
）-1=
7
25
，∴sin2α=sin[（2α-
??
6
）+
??
6
]=sin（2α-
??
6
）cos
??
6
+cos（2α-
??
6
）sin
??
6
=
7?24
3
50
．【解析】
（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α-）和cos（α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵8＜x≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y=logax+b在（8，64]上是增函数．∴
????
??
??
64+??=3
????
??
??
16+??=1
，解得
??=?3
??=2
．∴8＜x≤64时，y=-3+log2x；又∵x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），由题意可得：
80??+??=5
64??+??=3
，解得
??=
1
8
??=?5
．∴x≥64时，y=
1
8
???5．∴y关于x的函数解析式为??=
0，0≤??≤8
????
??
2
???3，8＜??≤64
1
8
???5，??＞64
；（2）当0≤x≤8时，不合题意；当8＜x≤64时，2＜-3+log2x＜4，解得32＜x＜128．∴32＜x≤64．当x＞64时，
1
8
???5＜4，解得x＜72，∴64＜x＜72．综上，32＜x＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】
（1）由已知可得y=logax+b在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），再由已知可得关于m，k的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．
19.【答案】解：（1）奇函数f（x）=
3??+??
2
??
2
+2
，可得f（0）=0，即b=0；（2）f（x）=
3??
2
??
2
+2
在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）=
3
2
（
??
2
??
2
2
+1
-
??
1
??
1
2
+1
）=
3
2
?
(
??
2
?
??
1
)(1?
??
1
??
2
)
(1+
??
2
2
)(1+
??
1
2
)
，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2-x1＞0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max=f（1）=
3
4
，可得g（t）的最小值为
3
4
，令s=cost，所以s=-s2+2s的最小值为
3
4
，所以
1
2
≤s≤
3
2
，即
1
2
≤cost≤1，t∈[m，
??
3
]，由y=cost的图象可得-
??
3
≤m＜
??
3
．【解析】
（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，解方程即可得到b；（2）f（x）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f（x）的最大值，即可得到g（t）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）函数f（x）=
??
?
??
-1=2sin2（ωx+
??
4
）-
3
cos（2ωx）-1=sin（2ωx）-
3
cos（2ωx）=2sin（2ωx?
??
3
）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴
2??
2??
=??，∴ω=1．那么f（x）的解析式f（x）=2sin（2x?
??
3
）令2?????
??
2
≤2x?
??
3
≤
??
2
+2????，k∈Z得：?????
??
12
≤x≤????+
5??
12
∴f（x）的单调增区间为[?????
??
12
，????+
5??
12
]，k∈Z．（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，
7??
12
]上有且只有一个解，转化为函数y=f（x）+1与函数y=2n只有一个交点．∵x在[0，
7??
12
]上，∴?
??
3
≤（2x?
??
3
）≤
5??
6
那么函数y=f（x）+1=2sin（2x?
??
3
）-1的值域为[?
3
?1，1]，结合图象可知函数y=f（x）-1与函数y=2n只有一个交点．那么1?
3
≤2n＜
1
2
或2n=1，可得
1?
3
2
≤??＜
1
2
或n=
1
2
．（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x?
??
3
）∴f（x2）min=-2．实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4
??
1
+4
?
??
1
+m（2
??
1
-2
?
??
1
）+1＞f（x2）成立．即4
??
1
+4
?
??
1
+m（2
??
1
-2
?
??
1
）+1＞-2成立令y=4
??
1
+4
?
??
1
+m（2
??
1
-2
?
??
1
）+1设2
??
1
-2
?
??
1
=t，那么4
??
1
+4
?
??
1
=（2
??
1
-2
?
??
1
）2+2=t2+2∵x1∈[-1，1]，∴t∈[-
3
2
，
3
2
]，可得t2+mt+5＞0在t∈[-
3
2
，
3
2
]上成立．令g（t）=t2+mt+5＞0，其对称轴t=?
??
2
∵t∈[-
3
2
，
3
2
]上，∴①当?
??
2
≤?
3
2
时，即m≥3时，g（t）min=g（?
3
2
）=
29
4
?
3??
2
＞0，解得3≤??＜
29
6
；②当?
3
2
＜?
??
2
＜
3
2
，即-3＜m＜3时，g（t）min=g（?
??
2
）=5?
??
2
4
＞0，解得-3＜m＜3；③当
3
2
≤?
??
2
，即m≤-3时，g（t）min=g（
3
2
）=
29
4
+
3??
2
＞0＞0，解得?
29
6
＜m≤-3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（?
29
6
，
29
6
）．【解析】
（1）函数f（x）=?-1，f（x）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f（x）的单调增区间．（2）根据x在[0，]上求解f（x）的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解f（x2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m（2-2）+1的最小值，即可求解m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．