第二章方程与不等式式第7节 分式方程及应用
■知识点一：分式方程的概念、解法
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有_______的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__ __．21教育网
3. 增根：使分式方程 的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使分母为零；
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
(1)去分母，把分式方程转化为__ __方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__ __，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．www-2-1-cnjy-com
5 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设 ，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解 方程，求出辅助未知数的值；③ 把 代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.21*cnjy*com
■知识点二：列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、_______、作答．但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是 ；二是检验所求的解是否__ __．【来源：21cnj*y.co*m】
■考点1.分式方程的概念、解法
◇典例：
1.（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）解分式方程：﹣1=．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
解：两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x﹣1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2017年江苏省宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
【考点】分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
◆变式训练
（2018年四川省成都）分式方程=1的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）若关于x的方程+=无解，则m的值为 ．
■考点2.列分式方程解应用题
◇典例
（2018年青海省）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是
A. B. C. D.
【考点】分式方程的应用
【分析】设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格元，根据用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同列出方程．
解：设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格元，
依题意得：
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程．
（2018年新疆乌鲁木齐）某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．己知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？
【考点】分式方程的应用
【分析】设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，根据时间=路程÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
解：设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，
根据题意得：﹣=，
解得：x=12，
经检验，x=12是原分式方程的解，
∴3x=36．
答：自行车的速度是12km/h，公共汽车的速度是36km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
◆变式训练
（2017年营口 ）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ．21·cn·jy·com
（2018年广西玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
（2018年海南省）分式方程=0的解是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解
（2018年黑龙江省哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1
（2017年贵州省毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
（2018年内蒙古通辽）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣=100 B．﹣=100
C．﹣=100 D．﹣=100
（2018年四川省眉山模）已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为 ．
（2018年江苏省无锡）方程=的解是 ．
（2017年江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
（2018年四川省遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
（2018年广东省）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
（2018年广西桂林）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
一、、选择题
（2016年浙江省台州）化简的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
（2016年浙江省温州）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
（2016年浙江省丽水 ）+的运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．a+b
二、 、填空题
（2016年浙江省衢州）当x=6时，分式的值等于 ．
（2017年浙江省宁波）分式方程=的解是 ．
（2016年浙江省湖州）方程=1的根是x= ．
（2018年浙江省舟山）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程： ．
（2017年浙江省温州 ）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： ．
（2016年浙江省杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ．
（2018年山东省潍坊）当____________时,解分式方程会出现增根．
三、 、解答题
（2017年浙江省湖州 ）解方程： =+1．
（2016年浙江省舟山）先化简，再求值：（1+）÷，其中x=2016．
（2016年浙江省绍兴）（1）计算：﹣（2﹣）0+（）﹣2．
（2）解分式方程： +=4．
（2018年浙江省杭州市临安）（1）化简÷（x﹣）．
（2）解方程：+=3．
（2018年浙江省宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
第二章方程与不等式式第7节 分式方程及应用
■知识点一：分式方程的概念、解法
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有__未知数__的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__零__．21*cnjy*com
3. 增根：使分式方程分母为零的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)增根使分母为零；
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
(1)去分母，把分式方程转化为__整式__方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__增根__，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
5 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数 ，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解 方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
■知识点二：列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、__检验__、作答．但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否__符合实际意义__．
■考点1.分式方程的概念、解法
◇典例：
1.（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）解分式方程：﹣1=．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
解：两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x﹣1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2017年江苏省宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
【考点】分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
◆变式训练
（2018年四川省成都）分式方程=1的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
【考点】解分式方程
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）若关于x的方程+=无解，则m的值为 ．
【考点】分式方程的解
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m﹣1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=﹣1，
当m+1≠0时，
则x==±4，
解得：m=5或﹣，
综上所述：m=﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
■考点2.列分式方程解应用题
◇典例
（2018年青海省）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是
A. B. C. D.
【考点】分式方程的应用
【分析】设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格元，根据用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同列出方程．
解：设每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格元，
依题意得：
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程．
（2018年新疆乌鲁木齐）某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．己知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？
【考点】分式方程的应用
【分析】设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，根据时间=路程÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
解：设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，
根据题意得：﹣=，
解得：x=12，
经检验，x=12是原分式方程的解，
∴3x=36．
答：自行车的速度是12km/h，公共汽车的速度是36km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
◆变式训练
（2017年营口 ）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为 ．21·cn·jy·com
【考点】 由实际问题抽象出分式方程．.
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，
根据题意可得：﹣=8，
故答案为：﹣=8．
（2018年广西玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
【考点】分式方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得：=，
解得：x=900，
经检验，x=900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，
根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程。
（2018年海南省）分式方程=0的解是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解
【考点】分式方程的解
【分析】根据解分式方程的步骤计算可得．
解：两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，
解得：x=1或x=﹣1，
当x=1时，x+1≠0，是方程的解；
当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；
所以原分式方程的解为x=1，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
（2018年黑龙江省哈尔滨）方程=的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（2017年贵州省毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为，②确定增根，化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。
（2018年内蒙古通辽）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣=100 B．﹣=100
C．﹣=100 D．﹣=100
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
﹣=100．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确得出等量关系是解题关键。
（2018年四川省眉山模）已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【考点】分式方程的解
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
解；﹣2=，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x=2（x﹣3）+k，
解得x=6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2=有一个正数解，
∴x=6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
（2018年江苏省无锡）方程=的解是 ．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边都乘以x（x+1）化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出方程的解．
解：方程两边都乘以x（x+1），得：（x﹣3）（x+1）=x2，
解得：x=﹣，
检验：x=﹣时，x（x+1）=≠0，
所以分式方程的解为x=﹣，
故答案为：x=﹣．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2017年江苏宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是 ．
【考点】分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式方程的解，通常方法是：（1）把分式方程化为整式方程，（2）根据分式方程无解，最简公分母等于0求出x的值，（3）把求出的x的值代入整式方程求解得到所求字母的值．
（2018年四川省遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣=．
故答案为：﹣=．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
（2018年广东省）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
【考点】分式方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：=，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，
∴x﹣9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（2018年广西桂林）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【考点】分式方程的应用
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意可知一号施工队5天工作总量与一号施工队和二号施工队合作工作总量之和=1列出方程求解即可；
（2）根据工作总量÷工作效率=工作时间求解即可.
解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，依题可得
解得x=60
经检验，x=60是原分式方程的解
∴由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天
（2）由题可得（天）
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，灵活运用和掌握工作总量÷工作效率=工作时间是解题关键.
一、、选择题
（2016年浙江省台州）化简的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】约分．
【分析】根据完全平方公式把分子进行因式分解，再约分即可．
解： ==；
故选D．
【点评】此题考查了约分,用到的知识点是完全平方公式,关键是把要求的式子进行因式分解。
（2016年浙江省温州）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,正确把握定义是解题关键。
（2016年浙江省丽水 ）+的运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．
解：+
=+
=
故+的运算结果正确的是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的加减法的运箅方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:(1)同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.(2)异分母分式加减法法则:把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。
二、 、填空题
（2016年浙江省衢州）当x=6时，分式的值等于 ．
【考点】分式的值．
【分析】直接将x的值代入原式求出答案．
解：当x=6时， ==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的值,正确将a的值代入是解题关键。
（2017年浙江省宁波）分式方程=的解是 ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：4x+2=9﹣3x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故答案为：x=1
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验。
（2016年浙江省湖州）方程=1的根是x= ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．
解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3，
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，
故方程的解为x=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．
（2018年浙江省舟山）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程： ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程，即可得出结论．
解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x﹣20）个，
根据题意得，=（1﹣10%），
故答案为=×（1﹣10%）．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．
（2017年浙江省温州 ）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．[中国^&%教育出@版~网]
解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．
故答案是：=．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
（2016年浙江省杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ．
【考点】分式方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
【分析】先解方程组，求得x和y，再根据y＞1和0＜n＜3，求得x的取值范围，最后根据=m，求得m的取值范围．
解：解方程组，得
∵y＞1
∴2n﹣1＞1，即n＞1
又∵0＜n＜3
∴1＜n＜3
∵n=x﹣2
∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5
∴＜＜
∴＜＜
又∵=m
∴＜m＜
故答案为：＜m＜
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组及二元一次方程组的知识，解题的关键是正确的用m将x、y表示出来，并利用已知条件得到不等式组．
（2018年山东省潍坊）当____________时,解分式方程会出现增根．
【考点】分式方程的增根
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、 、解答题
（2017年浙江省湖州 ）解方程： =+1．
【考点】解分式方程．
【分析】方程两边都乘以x﹣1得出2=1+x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
解：方程两边都乘以x﹣1得：2=1+x﹣1，
解得：x=2，
检验：∵当x=2时，x﹣1≠0，
∴x=2是原方程的解，
即原方程的解为x=2．
【点评】本题考查了解分式方程,能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键,注意:解分式方程一定要进行检验。
（2016年浙江省舟山）先化简，再求值：（1+）÷，其中x=2016．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可．
解：（1+）÷
=×
=×
=，
当x=2016时，原式==．
【点评】本题考查了分式的运算、化简求值;熟练掌握分式的化简是解决问题的关键。
（2016年浙江省绍兴）（1）计算：﹣（2﹣）0+（）﹣2．
（2）解分式方程： +=4．
【考点】实数的运算；解分式方程．
【分析】（1）本题涉及二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）观察可得方程最简公分母为（x﹣1），将方程去分母转化为整式方程即可求解．
解：（1）﹣（2﹣）0+（）﹣2
=﹣1+4
=+3；
（2）方程两边同乘（x﹣1），
得：x﹣2=4（x﹣1），
整理得：﹣3x=﹣2，
解得：x=，
经检验x=是原方程的解，
故原方程的解为x=．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.同时考查了解分式方程,解分式方程去分母时有常数项的注意不要漏乘,求解后要进行检验,这两项是都是容易忽略的地方,要注意检查。
（2018年浙江省杭州市临安）（1）化简÷（x﹣）．
（2）解方程：+=3．
【考点】分式的混合运算；解分式方程
【分析】（1）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得；
（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求解的x值，检验即可得．
解：（1）原式=÷（﹣）
=÷
=?
=；
（2）两边都乘以2x﹣1，得：2x﹣5=3（2x﹣1），
解得：x=﹣，
检验：当x=﹣时，2x﹣1=﹣2≠0，
所以分式方程的解为x=﹣．
【点评】本题主要考查分式的混合运算与解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程和分式混合运算的步骤．
（2018年浙江省宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，=，
解得 x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为=50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．
