第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__ __连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__ __，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__ __．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向________．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式_________；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__ __不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有______未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，_______，移项，__ __，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．www.21-cn-jy.com
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【考点】不等式的性质
【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
◆变式训练
（2018年河北省）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A． B．
C． D．
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
（2018年江苏省盐城）解不等式：3x-1≧2(x-1)，并把它的解集在数轴上表示出来.
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集，解一元一次不等式
【分析】按照解不等式的一般步骤解答即可，并在数轴上表示出解集。
解：，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
在数轴上表示如图：
【点评】此题考查了解一元一次不等式,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,求出解集。
（2018年河南省）不等式组的最小整数解是 ．
【考点】解一元一次不等式组，不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
◆变式训练
（2018年四川省南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2018年内蒙古包头）不等式组的非负整数解有 个．
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
1.（2018年辽宁省锦州）为迎接“七?一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的座位数比小客车多15个以及师生共301人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为310+40，进而得出不等式求出答案．
解：（1）设每辆小客车的座位数是x个，每辆大客车的座位数是y个，根据题意可得：
，
解得：．
答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
25a+40（10﹣a）≥310+40，
解得：a≤3，
符合条件的a最大整数为3．
答：最多租用小客车3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
2.（2018年内蒙古通辽）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；
（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．
解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得，解得，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得，解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，
∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点评】本题主要考查一次函数及方程组、不等式组的应用,能由条件确定出题目中的等量关系是解决此类问题的
◆变式训练
1.（2018年山东省烟台）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
2.（2018年黑龙江省哈尔滨）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
（2018年江苏省宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（?? ）。
A.?a-1＜b-1??? B.?2a＜2b??? C.?????D.?
（2018年湖南省株洲）下列哪个选项中的不等式与不等式5x＞8+2x组成的不等式组的解集为＜x＜5（ ）
A．x+5＜0 B．2x＞10 C．3x﹣15＜0 D．﹣x﹣5＞0
（2018年湖北省荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
（2018年广西贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
（2018年海南省）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
（2018年安徽）不等式＞1的解集是 ．
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是 ．
（2018年内蒙古呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
（2018年湖南省永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2018年辽宁省盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
、选择题
（2017年浙江省杭州 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
（2018年浙江省衢州 ）不等式3x+2≥5的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤﹣1
（2018年浙江省嘉兴）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2017年浙江省丽水 ）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
（2017年浙江省湖州 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
（2017年浙江省金华 ）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
、填空题
（2018年浙江省温州）不等式组的解是 ．
（2018年四川省宜宾）不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
（2017年浙江省台州 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
解答题
（2018年浙江省丽水义乌金华）解不等式组：
（2018年浙江省湖州）解不等式≤2，并把它的解表示在数轴上．
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
（2017年浙江省义乌 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
（2017年浙江省湖州 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
（2017年浙江省宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
第二章方程与不等式第8节一元一次不等式（组）及其应用
■知识点一：不等式的有关概念和性质
1．用__不等号__连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__不等式的解集__，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__解不等式__．
4.不等式的基本性质
（1）a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__不变__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式__仍成立__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__改变__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■知识点二：一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有__一个__未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__去括号__，移项，__合并同类项__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小取不了
■知识点三： 不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1.不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【考点】不等式的性质
【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
◆变式训练
（2018年河北省）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】等式的性质
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，
假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，
故A选项错误，符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
■考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
（2018年江苏省盐城）解不等式：3x-1≧2(x-1)，并把它的解集在数轴上表示出来.
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集，解一元一次不等式
【分析】按照解不等式的一般步骤解答即可，并在数轴上表示出解集。
解：，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
在数轴上表示如图：
【点评】此题考查了解一元一次不等式,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,求出解集。
（2018年河南省）不等式组的最小整数解是 ．
【考点】解一元一次不等式组，不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
◆变式训练
（2018年四川省南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
（2018年内蒙古包头）不等式组的非负整数解有 个．
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．
解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，
解不等式x﹣≤，得：x≤8，
则不等式组的解集为x＜4，
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
■考点3. 不等式（组）的应用
◇典例：
1.（2018年辽宁省锦州）为迎接“七?一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的座位数比小客车多15个以及师生共301人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为310+40，进而得出不等式求出答案．
解：（1）设每辆小客车的座位数是x个，每辆大客车的座位数是y个，根据题意可得：
，
解得：．
答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
25a+40（10﹣a）≥310+40，
解得：a≤3，
符合条件的a最大整数为3．
答：最多租用小客车3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
2.（2018年内蒙古通辽）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；
（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．
解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得，解得，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得，解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，
∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点评】本题主要考查一次函数及方程组、不等式组的应用,能由条件确定出题目中的等量关系是解决此类问题的
◆变式训练
1.（2018年山东省烟台）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
【考点】二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；
（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．
解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；
（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，
根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，
解得：a≥1000，
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×=3辆、至少享有B型车2000×=2辆．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程组．
2.（2018年黑龙江省哈尔滨）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：，
解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，
解得：x≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
（2018年江苏省宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（?? ）。
A.?a-1＜b-1??? B.?2a＜2b??? C.?????D.?
【考点】不等式的性质
【分析】A.不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
解：A.∵a＜b，∴ a-1＜b-1，故正确，A不符合题意；B.∵a＜b，∴ 2a＜2b，故正确，B不符合题意；
C.∵a＜b，∴＜，故正确，C不符合题意；
D.当a＜b＜0时，a2>b2，故错误，D符合题意；
故答案为：D.
B.不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
C.不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
D.题中只有a＜b，当当a＜b＜0时，a2>b2，故错误
【点评 】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2018年湖南省株洲）下列哪个选项中的不等式与不等式5x＞8+2x组成的不等式组的解集为＜x＜5（ ）
A．x+5＜0 B．2x＞10 C．3x﹣15＜0 D．﹣x﹣5＞0
【考点】解一元一次不等式
【分析】首先计算出不等式5x＞8+2x的解集，再根据不等式的解集确定方法：大小小大中间找可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．
解：5x＞8+2x，
解得：x＞，
根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是x＜5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．
（2018年湖北省荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
【考点】一元一次不等式的整数解
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
（2018年广西贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【考点】不等式组的解集
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．
解：∵不等式组无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键。
（2018年海南省）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案．
解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找是解题关键．
（2018年安徽）不等式＞1的解集是 ．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据解一元一次不等式得基本步骤依次计算可得．
解：去分母，得：x﹣8＞2，
移项，得：x＞2+8，
合并同类项，得：x＞10，
故答案为：x＞10．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：有分母先去分母，再去括号，然后进行移项，把含未知数的项移到不等式的左边，再进行合并同类项，最后把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是 ．
【考点】解一元一次不等式组，不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可．
解：
∵解不等式①得：x＞a，
解不等式②得：x＜2，
又∵关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．
（2018年内蒙古呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
【考点】解一元一次不等式，解一次不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣2a，
解不等式②得：x＞﹣a+2，
又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴﹣2a≥5或﹣a+2≥5，
解得：a≤﹣2.5或a≤﹣6，
经检验a≤﹣2.5不符合，
故答案为：a≤﹣6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一次不等式组一样，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
（2018年湖南省永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①，可得
x＜3，
解不等式②，可得
x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
在数轴上表示出来为：
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
（2018年辽宁省盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：=1.5×，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
、选择题
（2017年浙江省杭州 ）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【考点】不等式的性质
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A．根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
（2018年浙江省衢州 ）不等式3x+2≥5的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥ C．x≤1 D．x≤﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
解：3x≥3
x≥1
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．
（2018年浙江省嘉兴）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式
【分析】先求出已知不等式的解集，然后表示在数轴上即可．
解：不等式1﹣x≥2，
解得：x≤﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
（2017年浙江省丽水 ）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2＜0，解之即可得．
解：∵程x﹣m+2=0的解是负数，
∴x=m﹣2＜0，
解得：m＜2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力,根据题意列出不等式是解题的关键。
（2017年浙江省湖州 ）一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
【考点】 解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到的原则是解答此题的关键
（2017年浙江省金华 ）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
、填空题
（2018年浙江省温州）不等式组的解是 ．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
解：，
解①得x＞2，
解②得x＞4．
故不等式组的解集是x＞4．
故答案为：x＞4．
【点评】考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
（2018年四川省宜宾）不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可．
解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2017年浙江省台州 ）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1-5%），根据题意列出不等式即可．
解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得：
x（1-5%）×80≥760，
∴76x≥760,
∴x≥10,
故答案为10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价≥进价”列出不等式即可求解．
、解答题
（2018年浙江省丽水义乌金华）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
解：解不等式+2＜x，得：x＞3，
解不等式2x+2≥3（x﹣1），得：x≤5，
∴不等式组的解集为3＜x≤5．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
（2018年浙江省湖州）解不等式≤2，并把它的解表示在数轴上．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式
【分析】先根据不等式的解法求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上．
解：去分母，得：3x﹣2≤4，
移项，得：3x≤4+2，
合并同类项，得：3x≤6，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．
（2017年浙江省嘉兴、舟山 ）小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．
解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，
合并同类项，得﹣x≤5，
两边都除以﹣1，得x≥﹣5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解一元一次不等式的解法及步骤是解题的关键。
（2017年浙江省义乌 ）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．
解：（1）原式=1
=﹣3；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2
移项合并同类项得，2x≤﹣3
解得x．
【点评】此题考查了实数的运算和一元一次不等式的运算,零指数幂、负整数指数幂,熟练拿握运算法则是解本题的关键。
（2017年浙江省湖州 ）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a﹣b．例如：5?2=2×5﹣2=8，（﹣3）?4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．
（1）若3?x=﹣2011，求x的值；
（2）若x?3＜5，求x的取值范围．
【考点】 解一元一次不等式； 实数的运算； 解一元一次方程．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．
解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，
解得：x=2017；
（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，
解得：x＜4．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式不等式的能力，根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
（2017年浙江省宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有
，
解得．
答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系。
