4.1 三角形
一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的_______线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的________；相邻两边的公共端点叫三角形的________；相邻两边所组成的角叫三角形的________，简称三角形的________.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有________性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做________，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的________与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的________.
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_______的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的________.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的________.
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和________第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差________第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于________.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角________.
（2）三角形的一个外角________和它不相邻的来两个内角的和.
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段________相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引________条对角线，把多边形分成________个三角形.（2）n边形共有________条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的________叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于________
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的________组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为________.
7、正多边形：在平面内，各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形.
考点一：三角形的三边关系
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，2，1 B. 3，2，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7
变式跟进1有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．
（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；
考点二：三角形的三线：角平分线、中线和高线
如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24cm2，求△BEF的面积．
/
变式跟进2（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠BAC和∠BPC的数量关系： ，并证明你的结论．
/
考点三：三角形的中位线
如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是____．
/
变式跟进3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 .
/
考点四：三角形的内角和
如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
/
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
变式跟进4如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（ ）
/
A. ∠1+∠2=2∠A B. ∠2-∠A=2∠1 C. ∠2-∠1=2∠A D. ∠1+∠A=∠2
考点五：三角形的面积
数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）
/
A. S△ABC＞S△DEF B. S△ABC＜S△DEF C. S△ABC=S△DEF D. 不能确定
变式跟进5已知三角形相邻两边长分别为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角
形的面/积为 ㎝2.
考点六： 多边形
一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 ．
变式跟进6如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
/
一、选择题
1．（2016·漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
/
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2016?盐城）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+
???2
=0，则c的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2016?温州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
/
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
4、（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（?? ） /
A、145° B、150° C、155° D、160°
5、（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（?? ）
/
6、（2017?北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（?? ）
A、6 B、12 C、16 D、18
7．（2018?百色）在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
8．（2018?青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠??=
90
°
，∠??=
90
°
，∠??=
45
°
，∠??=
30
°
，则∠1+∠2等于( )
/
A．
150
°
B．
180
°
C．
210
°
D．
270
°
9．（2018?黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
/
A．75° B．80° C．85° D．90°
二、填空题
10、（2016?随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为________．
11、（2016?大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=________．
/
12、（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=________°．
/
13、（2017?福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
/
14、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
15．（2018?绥化）三角形三边长分别为3，2???1，4.则a的取值范围是______．
16．（2018?陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
17．（2018?上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．
三、解答题
18．（2016?河北）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
19、（2017?绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
/
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
20．（2018?淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
/
一、选择题
1、（2017·衡阳一模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（?? ）
A、3，2，1 B、3，2，5 C、3，4，6 D、3，4，7
2、（2017·日照一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（?? ）
/
A、30° B、25° C、20° D、15°
3、（2017·淄博一模）如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于（?? ）
/
A、30° B、45° C、50° D、60°
4、（2017·迁安一模）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P是△ABC的（?? ）
/
A、外心 B、内心 C、三条高线的交点 D、三条中线的交点
5、（2017·衡阳一模）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（?? ）
/
A、150° B、210° C、105° D、75°
6．（2018?北京模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
/
A．AF B．BH C．CD D．EC
7．（2018?扬州二模）如图，△ABC中，AB=AC,∠A=40o，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（ ）
/
A．110o B．130o C．140o D．120o
8．（2018?福州模拟）如图，在????????????中，∠??????=
90
°
，将????????绕顶点??逆时针旋转得到Rt△DEC,点M是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC =2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是 （ ）
/
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2018?韶关一模）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2018?张家口模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（ ）
/
A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.4
二、填空题
11、（2017·包头一模）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为________．
12、（2017·扬州三模）如图，△ABC的中位线DE=6cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为________cm2 ．
/
13、（2017·扬州三模）等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是________．
14、（2017·江苏押题）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠C= ________ ．
/
15．（2018?陕西二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．
/
16．（2018?南京调研）等腰三角形一边长为4cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm，则等腰三角形周长为______．
17．（2018?扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为/AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为___．
/
三、解答题
18、（2017·杭州月考）在凸多边形中, 四边形有2条对角线, 五边形有5条对角线, 经过观察、探索、归纳, 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程.
19．（2018?保定二模）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）
/
对角线条数分别为 、 、 、 ．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．
20．（2018?鞍山二模）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
/
4.1 三角形
一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有稳定性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差小于第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形.（2）n边形共有条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）?180°
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为360°.
7、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
考点一：三角形的三边关系
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，2，1 B. 3，2，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7
【答案】C
【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+2=3，不能组成三角形；
B中，2+3=5，不能组成三角形；
C中，3+4=7＞6，能够组成三角形；
D中，3+4=7，不能组成三角形．
故选:C．
【点评】根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断即可.
变式跟进1有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．
（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；
【答案】（1）10（答案不唯一）；（2）n=9.
【解析】解：(1)设三角形的第三边为x，
∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，
∴7?5∴2∴其中一个三角形的第三边的长可以为10.
(2)∵2∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，
∴组中最多有9个三角形，
∴n=9；
【点评】（1）根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可；（2）在取值范围找出整数值，即可求出n的值.
考点二：三角形的三线：角平分线、中线和高线
如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24cm2，求△BEF的面积．
/
【答案】6
【解析】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，
∴S△BCE=S△ABC=×24=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×12=6．
【点评】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形解答.
变式跟进2（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠BAC和∠BPC的数量关系： ，并证明你的结论．
/
【答案】（1）∠BOC=125°；（2）∠BPC=∠BAC，理由见解析.
【解析】解：（1）∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=，
∴在△BOC中，∠BOC=180°﹣55°=125°；
（2）∠BPC=∠BAC．
理由：在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠P+∠PCB=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠PCB，
∴∠BPC=∠BAC．
【点评】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到∠PCD=∠A，再代入数据计算即可得解．
考点三：三角形的中位线
如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是____．
/
【答案】14
【解析】解：∵D,E,F分别为BC、AC、AB中点,
∴EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3.
∴四边形BDEF的周长是4+4+3+3=14.
【点评】根据三角形的中位线定理，即可求解.
变式跟进3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 .
/
【答案】.
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴.
∴.
【点评】先利用三角形的中位线定理得出，再利用平行四边形的性质即可得出
考点四：三角形的内角和
如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
/
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】C
【解析】解：如图所示，
/
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2＝∠1＝50°
∵EG⊥AB，
∴∠AGE＝90°
∴∠E=90°-50°=40°.
故选：C
【点评】先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求解.
变式跟进4如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（ ）
/
A. ∠1+∠2=2∠A B. ∠2-∠A=2∠1 C. ∠2-∠1=2∠A D. ∠1+∠A=∠2
【答案】C
【解析】如图：
/
分别延长CE、BD交于点，
∴∠2=∠EA+∠EA,∠1=∠DA+∠DA，
而根据折叠可以得到∠EA=∠EA,∠DA=∠DA，
∴∠2?∠1=2(∠EA?∠DA)=2∠EAD.
故选C.
【点评】利用三角形的外角等于与不相邻的两个内角的和，再利用轴对称的性质即可解出.
考点五：三角形的面积
数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）
/
A. S△ABC＞S△DEF B. S△ABC＜S△DEF C. S△ABC=S△DEF D. 不能确定
【答案】C
【解析】解：如图，过点A.?D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
/
在Rt△ABG中,
在Rt△DHE中,
∴AG=DH.
∵BC=4，EF=4，
故选C.
【点评】根据等底等高的两个三角形的面积相等即可得出答案.
变式跟进5已知三角形相邻两边长分别为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角
形的面/积为 ㎝2.
【答案】（100+50）或（100－50）
【解析】解：设AB=30cm，AC=20cm，AD=10cm，
由题意作图，有两种情况：
第一种：如图①，
在Rt△ABD中，利用勾股定理BD=/=/cm，
同理求出CD=10/cm，
则三角形面积=/BC?AD=/（10/+20/）×10=（100/）cm2
第二种：如图②，
在Rt△ABD中，BD=/=/=20/cm
在Rt△ACD中，CD=/=/=10/cm
则BC=/cm
所以三角形面积=/BC?AD=/（20/﹣10/）×10=/cm2
故答案为：/
/
/
【点评】本题主要考查三角形的面积. 利用分类讨论思想作出符合题意的全部图形是解题的关键所在.
考点六： 多边形
一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 ．
【答案】72°．
【解析】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故答案为：72°．
【点评】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
变式跟进6如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
/
【答案】120
【解析】解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
故答案为：120．
【点评】小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
一、选择题
1．（2016·漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
/
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．
/
【解析】本题考查了三角形三边之间的关系.结合图形利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.
2．（2016?盐城）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+
???2
=0，则c的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：∵|a﹣4|+/=0，
∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；
则4﹣2＜c＜4+2，
2＜c＜6，5符合条件；
故选A．
【解析】先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；
3．（2016?温州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
/
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
2
2
=2
5
，
设PD=x，AB边上的高为h，h=
?????????
????
=
4
5
5
，
∵PD∥BC，
∴
????
????
=
????
????
，
∴AD=2x，AP=
5
x，
∴S1+S2=
1
2
?2x?x+
1
2
(2
5
?1?
5
??)?
4
5
5
=
??
2
?2??+4?
2
5
5
=
(???1)
2
+3?
2
5
5
，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C．
4、（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（?? ） /
A、145° B、150° C、155° D、160°
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
/
【点评】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
5、（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（?? ）
/
A、4.5 B、5 C、5.5 D、6
【答案】A
【解析】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积= /×△ABE的面积= /×△ABD的面积= /×△ABC的面积= /，
同理可得△AEG的面积= /，
△BCE的面积= /×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积= /×△BCE的面积= /，
∴△AFG的面积是 /×3= /，
故选：A．
【点评】根据中线的性质，可得△AEF的面积= /×△ABE的面积= /×△ABD的面积= /×△ABC的面积= /，△AEG的面积= /，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积= /×△BCE的面积= /，进而得到△AFG的面积．
6、（2017?北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（?? ）
A、6 B、12 C、16 D、18
【答案】B
【解析】解：设多边形为n边形，由题意，得 （n﹣2）?180°=150n，
解得n=12，
故选：B．
【点评】根据多边形的内角和，可得答案．
7．（2018?百色）在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
【答案】B
【解析】解：在△OAB中，∵∠O=90°，∠A=35°，∴∠B=90°﹣35°=55°．
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
8．（2018?青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠??=
90
°
，∠??=
90
°
，∠??=
45
°
，∠??=
30
°
，则∠1+∠2等于( )
/
A．
150
°
B．
180
°
C．
210
°
D．
270
°
【答案】C
【解析】解：如图：
/
∵∠1=∠??+∠??????，∠2=∠??+∠??????，
∵∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，
∴∠1+∠2=∠??+∠??+∠??????+∠??????
=∠??+∠??+
180
°
?∠??
=
30
°
+
90
°
+
180
°
?
90
°
=
210
°
，
故选C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.
9．（2018?黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
/
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【解析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
二、填空题
10、（2016?随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为________．
【答案】19或21或23
【解析】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0， ∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；
当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；
当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，
故答案为：19或21或23．
【点评】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．
11、（2016?大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=________．
/
【答案】110°
【解析】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD= /∠ABC，∠BCD=∠ACD= /∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，
∴∠OBC+∠OCB=70，
∴∠BOC=180﹣70=110°，
故答案为：110°．
【点评】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．
12、（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=________°．
/
【答案】120
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°， 故答案为：120．
【点评】根据三角形的外角的性质计算即可．
13、（2017?福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
/
【答案】108
【解析】解：如图
/，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
【点评】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
14、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
【答案】1＜m＜4
【解析】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，
/
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
∵ /，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
【点评】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
15．（2018?绥化）三角形三边长分别为3，2???1，4.则a的取值范围是______．
【答案】1【解析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
解：∵三角形的三边长分别为3，2???1，4，
∴4?3<2???1<4+3，
即1故答案为：1【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
16．（2018?陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
【答案】7
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
17．（2018?上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．
【答案】540
【解析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°，
故答案为：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成（n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想.
三、解答题
18．（2016?河北）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
【答案】（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.
【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.
解：（1）甲对，乙不对.
∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，
解得n=4.
∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，
解得n=/.
∵n为整数，∴θ不能取630°.
（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，
解得x=2.
19、（2017?绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
/
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
【答案】（1）20；10；α=2β；（2）α=2β-180°
【解析】解：（1）①因为AD=AE，
所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，
又因为AB=AC，∠ABC=60°，
所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，
β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；
②解：如图，设∠ABC=x,∠ADE=y,
则∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β,
所以α=2β.
/
（2）解：如图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β-y，
在△DEC中，x+y+β=180°,
所以α=2β-180°.
注：求出其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α=180°-2β.
/
【点评】（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不难求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，则α=∠BAC-∠DAE，再根据三角形外角的性质可得β=∠AED-∠C；②求解时可借助设未知数的方法，然后再把未知数消去的方法，可设∠ABC=x,∠ADE=y；（2）有很多种不同的情况，做法与（1）中的②类似，可求这种情况：点E在CA延长线上，点D在线段BC上.
20．（2018?淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
/
【答案】证明见解析
【解析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
解：如图，过点A作EF∥BC，
/
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
一、选择题
1、（2017·衡阳一模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（?? ）
A、3，2，1 B、3，2，5 C、3，4，6 D、3，4，7
【答案】C
【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，1+2=3，不能组成三角形；
B中，2+3=5，不能组成三角形；
C中，3+4=7＞6，能够组成三角形；
D中，3+4=7，不能组成三角形．
故选C．
【点评】根据三角形的三边关系进行分析判断．
2、（2017·日照一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（?? ）
/
A、30° B、25° C、20° D、15°
【答案】B
【解析】解：∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°，
故选：B．
【点评】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
3、（2017·淄博一模）如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于（?? ）
/
A、30° B、45° C、50° D、60°
【答案】A
【解析】解：∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠2，
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，
∴∠2=∠4，
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，
∴∠3=60°÷2=30°，
∴∠4=30°，即∠DCB=30°．
故选A．
/
【点评】根据入射角等于反射角，角平分线的性质以及平行线的性质计算．
4、（2017·迁安一模）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P是△ABC的（?? ）
/
A、外心 B、内心 C、三条高线的交点 D、三条中线的交点
【答案】D
【解析】解：A、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误； B、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误；
C、三条高线的交点为三角形的垂心，故错误；
D、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确；
故选D．
【点评】观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案．
5、（2017·衡阳一模）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（?? ）
/
A、150° B、210° C、105° D、75°
【答案】A
【解析】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．
故选A．
【点评】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
6．（2018?北京模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
/
A．AF B．BH C．CD D．EC
【答案】A
【解析】BC的高为过点A到BC的垂线段，看图得BC边上的高为AF.
解:由图看出，只有AF过点A且垂直BC，故BC边上的高为AF，故选A.
【点评】本题考查作高，解题的关键是清楚高的定义.
7．（2018?扬州二模）如图，△ABC中，AB=AC,∠A=40o，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（ ）
/
A．110o B．130o C．140o D．120o
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC+∠ACB=140°，∠1=∠PBC=∠PCB=∠2，最后根据三角形内角和定理得出∠BPC的度数．
解：∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ABC+∠ACB=140°， ∵∠1=∠2，
∴∠1=∠PBC=∠PCB=∠2， ∴∠PBC+∠PCB=140°÷2=70°，
∴∠BPC=180°－70°=110°． 故选A．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是得出∠1=∠PBC=∠PCB=∠2．
8．（2018?福州模拟）如图，在????????????中，∠??????=
90
°
，将????????绕顶点??逆时针旋转得到Rt△DEC,点M是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC =2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是 （ ）
/
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】连接CP，由题意可知BC的长，从而求出AB、CM的长，由旋转的性质得出ED的长,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求出PC的长，最后由三角形的两边之和大于第三边可知，当点P、M、C共线时，PM取最大值.
解：如图：连接CP，
/
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4.
∵BC的中点为M，
∴CM=
1
2
BC=
1
2
×2=1.
∵????????????绕点C逆时针旋转任意一个角度得到Rt△DEC，P是Rt△DEC中ED的中点.
∴AB=ED,
∴CP=
1
2
ED=
1
2
AB=
1
2
×4=2.
由三角形的三边关系得，CM+CP＞PM，
∴P、C、M三点共线时PM有最大值.
此时PM=CM+CP=1+2=3．
【点评】本题考查了旋转的性质、三角形的三边关系.
9．（2018?韶关一模）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为36°，由此即可求出答案．
解：360÷36=10，则正多边形的边数为10．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
10．（2018?张家口模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（ ）
/
A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.4
【答案】D
【解析】如图，点O的运动轨迹是图在黄线，点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK=
3
+
2
，可得0≤d≤
3
+
2
，即0≤d≤3.1，由此即可判断；
解：如图，点O的运动轨迹是图在黄线，
/
作CH⊥BD于点H，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠BCD=120o，
∴∠CBH=30o,
∴BH=cos30 o·BC=
3
2
????=
3
2
,
∴BD=
3
.
∵DK=
1
2
+
1
2
=
2
,
∴BK=
3
+
2
，
点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK=
3
+
2
，
∴0≤d≤
3
+
2
，即0≤d≤3.1，
故点B，O间的距离不可能是3.4，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆、旋转变换等知识，解题的关键是正确作出点O的运动轨迹，求出点B，O间的距离的最小值以及最大值是解答本题的关键．
二、填空题
11、（2017·包头一模）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为________．
【答案】/
【解析】解：画树状图为：
/
共有24种等可能的结果数，其中能构成三角形的结果数为6，
所以能构成三角形的概率= /= /．
故答案为 /．
【点评】先画树状图展示所有24种等可能的结果数，再根据三角形三边的关系找出能构成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．
12、（2017·扬州三模）如图，△ABC的中位线DE=6cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为________cm2 ．
/
【答案】48
【解析】解：连接AF， ∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=12cm；
由折叠的性质可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC= /BC×AF= /×12×8=48cm2 ．
故答案为：48．
/
【点评】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．
13、（2017·扬州三模）等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是________．
【答案】20cm
【解析】解：①8cm为腰，4cm为底，此时周长为8+8+4=20cm；②8cm为底，4cm为腰，∵4+4=8，∴两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故它的周长是20cm．
故答案为：20cm．
【点评】题目给出等腰三角形有两边长为4cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
14、（2017·江苏押题）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠C= ________ ．
/
【答案】 37°
【解析】解：由题意，在△ABC中，AB=AD，∠BAD=32o，
所以∠B=∠BDA= （180°-∠BAD）=74°
因为AD=DC，所以∠C=∠CAD，
因为∠BDA为△ADC的一个外角，
所以∠BDA=∠C+∠CAD=2∠C，故∠C=37°．
故答案为37°．
【点评】根据等边对等角可得∠B=∠BDA= （180°-∠BAD），∠C=∠CAD，又因为∠BDA为△ADC的一个外角，则∠C= ∠BDA.
15．（2018?陕西二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．
/
【答案】60°
【解析】先根据多边形的内角和公式求出正六边形每个内角的度数，然后用正六边形内角的度数减去正三角形内角的度数即可.
解：（6-2）×180°÷6=120°，
∠1=120°-60°=60°.
故答案为：60°.
【点评】题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键.
16．（2018?南京调研）等腰三角形一边长为4cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm，则等腰三角形周长为______．
【答案】9cm,15cm或18cm
【解析】分有两种情况，当底比较长的时候和腰比较长的时候两种情况．
解：当底比较长时，腰为4?3=1????，三边为4，4，1能构成三角形，∴等腰三角形周长=4+4+1=9????.
当腰比较长时，腰为4+3=7，三边为4，7，7能构成三角形，∴等腰三角形周长=4+7+7=18????.
当腰比较长时，腰为4+3=7，三边为4，4，7能构成三角形，∴等腰三角形周长=4+4+7=185????.
故答案为9???? ,15cm或18cm．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系.用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．（2018?扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为/AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为___．
/
【答案】5．
【解析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=
1
2
AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=
1
2
×10=5cm.
故答案为：5.
【点评】本题主要考查三角形中位线定理， 直角三角形斜边上的中线,熟悉掌握是关键.
三、解答题
18、（2017·杭州月考）在凸多边形中, 四边形有2条对角线, 五边形有5条对角线, 经过观察、探索、归纳, 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程.
【答案】20
【解析】解：四边形有4个点，每个点可以画“(4-3)”条对角线，则一共“4×(4-3)=4”条对角线，这样每一条对角线算了两次，所以一共有“ /”条对角线；
同理，五边形有5个点，每个点可以画“(5-3)”条对角线，则一共“5×(5-3)=10”条对角线，这样每一条对角线算了两次，所以一共有“ /”条对角线；
同理，八边形有 /条对角线.
【点评】将对角线的条数与凸多边形的边数进行关联，从边数少的凸多边形找出规律.
19．（2018?保定二模）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）
/
对角线条数分别为 、 、 、 ．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．
【答案】（1）2；5；9；
??(???3)
2
；（2）n边形可以有20条对角线，此时边数n为八；（3）这个多边形有54条对角线
【解析】（1）设n边形的对角线条数为an，根据多边形对角线条数公式即可求出结论；
（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论．
解：（1）设n边形的对角线条数为an，
则a4=
4×
4?3
2
=2，a5=
5×
5?3
2
=5，a6=
6×
6?3
2
=9，…，an=
??
???3
2
．
（2）假设可以，根据题意得：
??
???3
2
=20，
解得：n=8或n=-5（舍去），
∴n边形可以有20条对角线，此时边数n为八．
（3）∵一个n边形的内角和为1800°，
∴180°×（n-2）=1800°，
解得：n=12，
∴
??
???3
2
=
12×
12?3
2
=54．
答：这个多边形有54条对角线．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、多边形的对角线以及多边形内角和定理，解题的关键是：（1）根据多边形对角线条数公式求出多边形的对角线条数；（2）根据多边形对角线条数公式，列出关于n的一元二次方程；（3）根据多边形内角和定理，求出边数n．
20．（2018?鞍山二模）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
/
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
2
79
+1
3
.
【解析】（1）利用三角形的中位线得出PM=/CE，PN=/BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论PM=PN；
（2）①先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根据三角形中位线定理可得结论；
②如图4，连接AM，计算AN和DE、EM的长，如图3，证明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根据勾股定理计算CM的长，可得结论
解：（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=/BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=/CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，
∴PN=/BD，PM=/CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次/点D、E、C在一条直线上时，如图3，
/
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE，
如图4，连接AM，
/
∵M是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC，
∴A、M、N共线，且AN⊥BC，
由勾股定理得：AN=/=4/，
∵AD=AE=1，AB=AC=6，
∴/=/，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△AEC，
∴/，
∴/，
∴AM=/，DE=/，
∴EM=/，
如图3，Rt△ACM中，CM=/=/=/，
∴BD=CE=CM+EM=/．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=
1
2
CE，PN=
1
2
BD，解（2）①的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（2）②的关键是判断出△ADE∽△AEC
