4.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全________的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个________叫做全等三角形.
注意：平移、________、________前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的________相等、全等三角形的对应角________.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应________的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____ 全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形 （ ）
A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A. ① B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__去玻璃店．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C.∠OPC=∠OPD D. PC=PD
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
一、选择题
1、（2016?怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2、（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（? ）
A、AB=DE B、AC=DF C、∠A=∠D D、BF=EC
3. (2017?滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2017?铁岭）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
5．（2018?巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12 DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
6．（2018?台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
7．（2018?成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
8．（2018?南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a?b+c D．a+b?c
二、填空题
9、（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．
10．（2016?常德）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.
11、（2017?黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
12、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
13、（2017?新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= AC?BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
14．（2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=_____．
15．（2018?金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．
16．（2018?深圳）在RtΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4,EF=2，则AC=__________．
三、解答题
17、（2016?福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
18、（2017·怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
19．（2018?伊春）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
20．（2018?阜新）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=2AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．
一、选择题
1、（2017·虬津片区一模）在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（?? ）
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C
2、（2017·苏州押题）如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（?? ）
A、AC与BD B、AO与OD C、OC与OB D、OC与BD
3、（2017?南阳二模）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（?? ）
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS
4、（2017?泰安二模）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017?贵港港二模）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE= ﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF ． 正确的个数是（?? ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6．（2018·信阳模拟）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB=CF，∠A=∠D，增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．DF∥AC B．AB=DE C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
7．（2018?临沂模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2018?沈阳二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心
9．（2018?柳州三模）如图∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于( )
A．10 B．53 C．5 D．2.5
10．（2018?邵阳冲刺）如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90o，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11、（2017?南京联考）如图，∠A=∠C，只需补充一个条件：________，就可得△ABD≌△CDB．
12、（2017?北京二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC=3，那么OD的长为________．
13、（2017?包头期中）如图所示，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D，给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
14．（2018?山西联考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
15．（2018?厦门模拟）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=_____．
16．（2018?银川模拟）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__．
三、解答题
17、（2017·济南二模）如图，点E、F在AC上，AB//CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．
18、（2017·衡阳一模）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE．
19．（2018?南通模拟）如图，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=12BF；
（3）连结CG，判断△ECG的形状，并说明理由．
20．（2018?蚌埠模拟）⑴如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝12∠AOB，延长PM到S，使MS＝NF，连接OS，则∠EOF与∠EOS的数量关系为 ，线段NF、EM、EF的数量关系为
⑵如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，∠OMP+∠ONP=1800， E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝12∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
⑶如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，∠OMP+∠ONP=1800， E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF＝12∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
4.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
注意：平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____ 全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
【答案】是，2
【解析】解：由题意得，△ABC和△DBC是全等图形，则△BDC的面积为2.
【点评】本题考查的是全等三角形的定义，根据全等三角形的定义即可得到结果.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形 （ ）
A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠BDA=∠DBC，∠BAC=∠DCA，∠ABD=∠CDB，
又∵AC、BD为公共边，
∴△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；
∴AD=BC，AB=CD，
∴△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
所以全等三角形有：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD、△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB，共4对；故选B．
【点评】根据AB∥CD，AD∥BC可得到相等的角，再根据公共边AC、BD易证得：△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；由上可得AD=BC、AB=CD，再根据平行线确定的角相等可证得：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．
【答案】PQ
【解析】∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN，
∴求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为：PQ.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论.
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A. ① B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AC=CD，①成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠1=∠D，
又∠2+∠D=90°，
∴∠2+∠1=90°，
即∠ACD=90°，
∴AC⊥DC，②成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AB=EC，BC=ED，
又BE=BC+EC，
∴BE=AB+ED，③成立；
∵∠B+∠E=180°，
∴AB∥DE，④成立，
故选D．
【点评】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__去玻璃店．
【答案】③
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点评】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C.∠OPC=∠OPD D. PC=PD
【答案】D
【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定.
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
【答案】见解析
【解析】解：把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.
相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.
相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边、对应角相等即得判断.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
【答案】B
【解析】解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使选项B的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；
而其A、C、D的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．
故选B．
【点评】理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，OP=OPPE=PF ，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN ，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
【答案】BN=CM，理由见解析.
【解析】试题分析：连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．
试题解析：BN=CM，理由如下：
如图，连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中， ，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，能正确地添加辅助线是解题的关键.
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．
【答案】①②③④⑤．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为： =，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，
连接AC，
∵CF∥AG，
∴S△FCA=S△FGC=3.6，
所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
【答案】（1）EN=MF； （2）成立，理由件解析；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由件解析．
【解析】解：（1）EN与MF相等，
证明：连接DE、DF，
∵△ABC和△DMN为等边三角形，
∴DM=DN，∠MDN=60°，
∵点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
DM=DN∠MDF=∠NDEDF=DE，
∴△DMF≌△DNE，
∴EN=MF；
（2）成立，
证明：连结DE，DF，EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
DF=DE∠MDF=∠NDEDM=DN，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE；
（3）画出图形如图③所示：
MF与EN相等的结论仍然成立．
由（2）得，△DMF≌△DNE，
∴MF=NE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质定理、等边三角形的性质是解题的关键.
一、选择题
1、（2016?怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【答案】B.
【解析】
∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C.?D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C.?D正确.
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误.
故选B.
【点评】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
2、（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（? ）
A、AB=DE B、AC=DF C、∠A=∠D D、BF=EC
【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
【点评】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
3. (2017?滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B.
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF?NF=2OE=定值,故(2)正确，
MN的长度是变化的,故(4)错误，
故选B.
【点评】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
4．（2017?铁岭）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【答案】D
【解析】∵AB=5，AC=4，BC=3，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由作法得MN垂直平分AB，
∴AO=OB，∴OC=12AB=2.5，
故选D．
5．（2018?巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12 DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
【答案】A
【解析】根据作图的过程知道：EF是∠CBG的角平分线，根据角平分线的性质解答．
解：根据作图的步骤得到：EF是∠CBG的角平分线，
A、因为EF是∠CBG的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF是∠CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项错误；
D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；
故选：A．
【点评】考查了角平分线的性质，根据作图的步骤推知EF是∠CBG的角平分线，是解题的关键．
6．（2018?台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
7．（2018?成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【答案】C
【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．（2018?南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a?b+c D．a+b?c
【答案】D
【解析】解：如图,
∵AB⊥CD,CE⊥AD,
∴∠1=∠2,
又∵∠3=∠4,
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,ED=BF=b,
又∵EF=c,
∴AD=a+b-c.
故选:D.
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.
二、填空题
9、（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．
【答案】 120°
【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=24°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，
故答案为：120°．
【点评】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．（2016?常德）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.
【答案】3．
【解析】如图，过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=3，所以PD=3．
【点评】本题考查了角平分线的性质．
11、（2017?黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
【答案】AB=DE或BC=EF或AC=DF
【解析】解：∵BC//EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
12、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
【答案】1＜m＜4
【解析】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
∵ ，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
【点评】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
13、（2017?新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= AC?BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】解：①在△ABC和△ADC中，
∵ ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD= BD?AO+ BD?CO= BD?（AO+CO）= AC?BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
14．（2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=_____．
【答案】2
【解析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（2018?金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．
【答案】AC=BC．
【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
解：添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中
∠BEC＝∠ADC∠EBC＝∠DACAC＝BC，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16．（2018?深圳）在RtΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4,EF=2，则AC=__________．
【答案】8105
【解析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=10，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=105，继而可得CH=2105，由AC=AE+EH+HC即可求得.
解：如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，
过E作EG⊥AD，垂足为G，
在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=2，∴EG=FG=1，
在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=AG2+EG2=10，
过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，
设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，
在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即10+a2+2-a2=16，
∴a=105，
∴CH=FH=2105，
∴AC=AE+EH+HC=8105，
故答案为：8105.
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
三、解答题
17、（2016?福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在△ABC和△ADC中，有
，
所以△ABC≌△ADC（SSS），
所以∠BAC=∠DAC．
【点评】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
18、（2017·怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析：
【解析】
解：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB
证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE
∴CD=BA，∠C=∠B
∴CD∥BA
【解析】本题主要考查全等三角形的性质. 通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论.
19．（2018?伊春）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.
【解析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．证明△AHE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．类比（1）的方法可证AE=EF．
解：（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．
∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴AE=EF．
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF
如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
20．（2018?阜新）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=2AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②AM=2?63．
【解析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；
（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出AP=2AM，即可得出结论；
②先求出BD，再求出∠BMD=60°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，AD=BD．
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP=90°．
∵∠PAM=45°，
∴∠P=∠PAM=45°，
∴AM=PM．
∵∠BMN=∠AMP=90°，
∴∠BMP=∠AMN．
∵∠DAC=∠P=45°，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN=PB，
∴AP=AB+BP=AB+AN．
在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，
∴AP=2AM，
∴AB+AN=2AM；
②在Rt△ABD中，AD=BD=22AB=2．
∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，
∴∠BMD=90°﹣30°=60°．
在Rt△BDM中，DM=BDtan∠BMD=63，
∴AM=AD﹣DM=2﹣63．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE≌△ADF是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．
一、选择题
1、（2017·虬津片区一模）在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（?? ）
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴∠B、∠C不能等于100°，
∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．
故选：A．
【点评】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
2、（2017·苏州押题）如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（?? ）
A、AC与BD B、AO与OD C、OC与OB D、OC与BD
【答案】A
【解析】由全等三角形的性质可知，AC与BD是对应边，OA与OB是对应边，OC与OD是对应边，故选A.
【点评】写全等三角形时的形式为△AOC≌△BOD，每个字母应一一对应.
3、（2017?南阳二模）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（?? ）
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS
【答案】D
【解析】解：在△OEC和△ODC中，
∵ ，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【点评】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
4、（2017?泰安二模）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF ，
∴S四边形OECF=S△OBC= ×82=16，
∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣ （8﹣t）?t= t2﹣4t+16= （t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
【点评】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF ， 这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣ （8﹣t）?t，然后配方得到S= （t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
5、（2017?贵港港二模）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE= ﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF ． 正确的个数是（?? ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】D
【解析】解：①正确．作EM∥AB交AC于M． ∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE= ∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM= a，
∴tan∠CAE= = = ﹣1，故①正确，②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF ，
假设S△APF=S四边形DFPE ， 则S△APC=S四边形DFPE ，
∴S△ACD=S△AEF ，
∵S△ACD= S△ABC ， S△AEF=S△AEC≠ S△ABC ，
∴矛盾，假设不成立．
故⑤错误．
【点评】①正确．作EM∥AB交AC于M．设CM=CE=a，则ME=AM= a，根据tan∠CAE= 即可判断．②正确．根据△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判断．③正确．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判断．④正确．只要证明∠CPE=∠CEP=67.5°，⑤错误．假设结论成立，推出矛盾即可．
6．（2018·信阳模拟）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB=CF，∠A=∠D，增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．DF∥AC B．AB=DE C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
【答案】B
【解析】由EB=CF可求得EF=BC，结合∠A=∠D，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
解：∵EB=CF，
∴EB+BF=BF+CF，即EF=BC，且∠A=∠D，
∴当DF∥AC时，可得∠DFE=∠C，满足AAS，可证明全等；
当AB=DE时，满足ASS，不能证明全等；
当∠E=∠ABC时，满足ASA，可证明全等；
当AB∥DE时，可得∠E=∠ABC，满足ASA，可证明全等；
故选B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
7．（2018?临沂模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．
解：∴∠ADC=∠BEC=90°.
∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，
∠DCA=∠CBE，
在△ACD和△CBE中,∠ACD=∠CBE∠ADC=∠CEBAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴CE=AD=3，CD=BE=1，
DE=CE?CD=3?1=2，
故答案选：B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
8．（2018?沈阳二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】D
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
9．（2018?柳州三模）如图∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于( )
A．10 B．53 C．5 D．2.5
【答案】C
【解析】根据平行线的性质可得∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，可得PE=PC=10，在Rt△PED中，求出∠PEA的度数，根据勾股定理解答．
解：∵PC//OA，
∴∠CPO=∠POA，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，
过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，
∴PE=PC=10，
∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，
∴PD=10×12=5．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
10．（2018?邵阳冲刺）如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90o，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE=CF；∠BAE=∠CAF可得①∠1=∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM．④CD=DN不成立．
解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C，AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对．
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，难度适中．
二、填空题
11、（2017?南京联考）如图，∠A=∠C，只需补充一个条件：________，就可得△ABD≌△CDB．
【答案】∠ADB=∠CBD
【解析】解：∠ADB=∠CBD， 理由是：∵在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB，
故答案为：∠ADB=∠CBD．
【点评】添加条件∠ADB=∠CBD，根据AAS推出即可．
12、（2017?北京二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC=3，那么OD的长为________．
【答案】1.5
【解析】解：如图，连接AD，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ABC=∠BCD=90°，且AB=CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OD= BD= AC=1.5，
故答案为：1.5
【点评】先根据条件判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得OD= BD= AC=1.5，
13、（2017?包头期中）如图所示，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D，给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【解析】解：在△AEF和△ABC中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，∴∠EAB=∠FAC，故①②③正确，④A错误；
所以答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
14．（2018?山西联考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
【答案】58
【解析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
CF=CEBC=AB,
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为：58
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15．（2018?厦门模拟）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=_____．
【答案】1.5
【解析】如图，连接CD，BD，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，然后根据垂直平分线的性质可得CD=BD，则可通过HL证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE=CF，然后即可得到答案.
解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16．（2018?银川模拟）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__．
【答案】ASA
【解析】根据已知条件分析，题目中给出了三角形的边相等，两条垂线，可得一对角相等，加上图形中的对顶角相等，条件满足了ASA，答案可得．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABD=∠EDC=90°，
在△EDC和△ABC中，
∠ABC=∠EDCBC=DC∠ACB=∠ECD，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE=AB，
故答案为：ASA．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
三、解答题
17、（2017·济南二模）如图，点E、F在AC上，AB//CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
【点评】根据等式性质得出AF=CE，再利用平行线的性质得出∠A=∠C，最后利用SAS证明三角形全等即可．
18、（2017·衡阳一模）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，
，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．
【点评】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
19．（2018?南通模拟）如图，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=12BF；
（3）连结CG，判断△ECG的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；
证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC和△FDB中，
∠ACD=∠DBFCD=BD∠ADC=∠BDF，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；
（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=12BF；
（3）△ECG为等腰直角三角形．
∵点H是BC边的中点，
∴GH垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，
∵DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠ECG=∠DCB=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG为等腰直角三角形；
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的知识点，解题的关键是熟练掌握三角形的判定．
20．（2018?蚌埠模拟）⑴如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝12∠AOB，延长PM到S，使MS＝NF，连接OS，则∠EOF与∠EOS的数量关系为 ，线段NF、EM、EF的数量关系为
⑵如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，∠OMP+∠ONP=1800， E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝12∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
⑶如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，∠OMP+∠ONP=1800， E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF＝12∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
【答案】（1）相等，EF=FN+EM；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）结论：相等，EF=FN+EM．先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（2）结论：EF=FN+EM．如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（3）结论：EF=FN-EM．如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
解：理由：如图1中，
在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=12∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
故答案为相等，EF=FN+EM．
（2）如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO．
∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=12∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
（3）结论：EF=FN-EM．
理由：如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO．
∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=12∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
