4.3 特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角________（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线________底边并且________于底边.即等腰三角形的顶角平分线、________、________重合.（三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于________.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角________，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是________三角形
推论2：有一个角是60°的________三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都________的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都________，并且每一个角都等于________
3、判定:（1）三个角都________的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是________的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角________.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的________等于斜边的一半.
3、判定：（1）两个内角________的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形.[来源:学科网ZXXK]
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：________，那么这个三角形是直角三角形.
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题：如果一个命题的题设和________是另一个命题的结论和________，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理：若一个定理的逆命题是________的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
考点一：等腰三角形的性质及判定
如图，在△ABC中，AB=AC=6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB于E，那么四边形AFDE的周长为（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长．
考点二：等边三角形的性质及判定
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ）
A. B. C. +1 D. 2
变式跟进2如图，线段， 为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，⊙外接于，则⊙半径的最小值为__________．
考点三：等腰三角形中的多解问题
如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4 cm，E为CD中点．点P从A点出发，沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1 cm /s，运动到C点停止.设点P运动的时间为t s.（图2为备用图）
（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的？
（2）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？
变式跟进3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
考点四： 直角三角形斜边上的中线问题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为 cm．
变式跟进4在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．
考点五：勾股定理及其逆定理
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A. B. 8-2 C. D. 6
变式跟进5如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）试说明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
一、选择题
1．（2016?绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250米 B．5002米 C．米 D．米
2．（2016?甘孜）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， ED//BC，已知AB＝3， AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3、（2017?包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（?? ）
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
4、（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A、60° B、75° C、90° D、105°
5、（2017·武汉）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
6．（2018?福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．（2018?淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．43 D．8
8．（2018?龙东）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB?AC④OE=14AD⑤S△APO=312，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9、（2016?武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则BD的长为________．
10．（2016?江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
11、（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=________度．
12、（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
13、（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为________．
14．（2018?荆州）为了比较5+1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得5+1_____10．（填“＞”或“＜”或“=”）
15．（2018?辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A=__________°.
16．（2018?本溪）如图所示，已知：点A(0，0)，B（3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于__________．
三、解答题
17、（2016?广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
18、（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．
19．（2018?安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
20．（2018?辽阳）在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
（2）如图2当α=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=25，请直接写出△BDE的面积.
一、选择题
1、（2017·南京一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（?? ）
A、2，3，3 B、2，3，4 C、2，3，5 D、3，4，5
2、（2017·三门峡一模）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（?? ）
A、2 B、 C、 D、
3、（2017·南阳一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（?? ）
A、7 B、8 C、9 D、10
4、（2017·乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（?? ）
A、（0， ） B、（2，0） C、（0，2） D、（ ，1）
5、（2017·内江二模）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP ， 其中正确的个数是（?? ）
A、1 B、2 C、3 D、4
6．（2018?天津二模）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（3，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（ ）
A．（32，52） B．（32，32） C．（233，52） D．（433，32）
7．（2018?包头）如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（ ）
A．BC=CD B．AD∥BC
C．AD=BC D．点A与点C关于BD对称
8．（2018?西安模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
9．（2018?淄博模拟）将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（ ）
A．6 B．32 C．42 D．62
10．（2018?松滋模拟）一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子．
A．13cm B．410cm C．12cm D．153 cm
二、填空题
11、（2017·山西联考）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为________尺．
12、（2017·盘锦一模）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为________．
13、（2017·哈尔滨一模）已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为________．
14．（2018?曲靖三模）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，它的最小边的长是2cm，则它的最大边的长是_____cm．
15．（2018?南阳二模）如图，已知 OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是_________．
16．（2018?绍兴模拟）如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD=∠CBE，当BD=1时，则AE的长为______．
三、解答题
17、（2017·嘉兴联考）如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
(1)求AB与BC的长；
(2)当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
(3)点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
18．（2018?天津二模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上．
（I）计算△ABC的边AC的长为_____．
（II）点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB．当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____（不要求证明）．
19．（2018?哈尔滨调研）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，CE＝BD，连接CD，BE，BE与CD相交于点F．
（1）如图1，若△ACD为等边三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度数；
（2）如图2，若AC＝AD，求证：EF＝FB；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面积为4，求线段CD的长．
20．（2018?镇江押题）△ABC中，∠ACB＜90°，以AB为一边作等边△ABD，且点D与点C在直线AB同侧，平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧，且BE=BC，∠ABE=∠DBC，连接CD、AE，AC=5，BC=3．（1）求证：CD=AE；
（2）点E关于直线AB的对称点为点F，判断△BFC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当线段CD最短时，请直接写出四边形AEBF的面积．
4.3 特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.（三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3、判定:（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3、判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.[来源:学科网ZXXK]
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题：如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理：若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
考点一：等腰三角形的性质及判定
如图，在△ABC中，AB=AC=6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB于E，那么四边形AFDE的周长为（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
【答案】B
【解析】解：∵AB=AC=6，∴∠B=∠C.
∵DF∥AB, ∴∠CDF＝∠B, ∴∠CDF＝∠C, ∴DF＝CF.
同理可求：DE＝BD.
∴四边形AFDE的周长：AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=6+6=12.
故选B.
【点评】利用等腰三角形的判定及性质即可求解.
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长．
【答案】1cm
【解析】解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,
由题意得或 ，
解得或 (不符舍去)，
∴等腰三角形的底边长为1cm..
【点评】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解．
考点二：等边三角形的性质及判定
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ）
A. B. C. +1 D. 2
【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴AD=BC=，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=60°，
∵AB=AB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=60°，
∴∠DAD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴DD′=AD=BC=，
故选A．
【点评】先求出∠ABD′=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．
变式跟进2如图，线段， 为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，⊙外接于，则⊙半径的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，分别作、的角平分线，交点为，
∴、为等边三角形，
∴、为、中垂线，
∵⊙的圆心在、中垂线上．
∴点与点重合，
连接，若半径最短，则，
∵， ，
∴，
∴，
∴在中， ，
∴，
．
【点评】本题考查了圆的综合题.需要掌握等边三角形的“是那先合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点.难度不大，注意数形结合数学思想的应用.
考点三：等腰三角形中的多解问题
如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4 cm，E为CD中点．点P从A点出发，沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1 cm /s，运动到C点停止.设点P运动的时间为t s.（图2为备用图）
（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的？
（2）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？
【答案】（1）4；（2）或5或6.
【解析】解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的
根据题意得：AP=t，∴△APE的面积=AP?AD=，解得：t=4
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的
（2）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP
∴AP2=EP2
∴
解得：
②当EA=EB时，AP=6，∴t=6
③当AE=AP时，∴t=5
∴当t=或5或6时，△APE是等腰三角形.
【点评】（1）求出矩形的面积，即可得出关于t的方程，求出方程的解即可； （2）当P在AB上时，分为AP=AE，AP=PE，AE=PE三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质得出即可；当P在BC上时，根据AP、AE、PE的长度大小得出即可．
变式跟进3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】解：(1)t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC==25，
AD=AC?CD=25?4=21；
(2)①∠CDB=90°时,S△ABC=AC?BD=AB?BC，
即×25?BD=×20×15，
解得BD=12，
所以CD==9，
t=9÷2=4.5(秒)；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=12.5(秒)，
综上所述，t=4.5或12.5秒；
故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；
（3）①CD=BD时，如图1，
过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，
CD=AD=AC=×25=12.5，（或利用余角的性质说明CD=BD=AD）
t=12.5÷2=6.25；
②CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；
③BD=BC时，如图2，
过点B作BF⊥AC于F，
则CF=9，
CD=2CF=9×2=18，
t=18÷2=9，
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【点评】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
考点四： 直角三角形斜边上的中线问题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为 cm．
【答案】12.
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=6cm，
∴AB=2CD=12cm．
【点评】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
变式跟进4在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．
【答案】或
【解析】解：①如图所示：
连接CD，则
．
∵D为AB的中点，
∴．
②如图所示：
【点评】先根据题意画出图形．此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．
考点五：勾股定理及其逆定理
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A. B. 8-2 C. D. 6
【答案】C
【解析】解：设DH=x,
在 中，
故选 .
【点评】设DH=x，利用勾股定理列出方程即可.
变式跟进5如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）试说明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S阴影=96.
【解析】解：（1）∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD
=×10×24﹣×8×6=96．
【点评】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；（2）根据S阴影=SRt△ABC-SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
一、选择题
1．（2016?绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250米 B．5002米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴AB=12AO=250米．故选A．
【点评】利用方位角构直角三角形是解题的关键.
2．（2016?甘孜）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， ED//BC，已知AB＝3， AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．
【点评】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．利用平行线的性质得出等腰三角形是解题的关键.
3、（2017?包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（?? ）
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
【答案】A
【解析】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系； 若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
4、（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A、60° B、75° C、90° D、105°
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE= ，
∵AB=2，AC=1，
∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2 ，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A= = ，
∴∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．
【点评】根据直角三角形的性质得到BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．
5、（2017·武汉）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
【答案】C
【解析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
【点评】根据等腰三角形的定义，利用分类讨论思想即可画出相应的等腰三角形.
6．（2018?福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【解析】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
7．（2018?淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．43 D．8
【答案】B
【解析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．（2018?龙东）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB?AC④OE=14AD⑤S△APO=312，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=12?122=32和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=12OE?OC=38，S△POES△AOP=12，代入可得结论．
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=12，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=12?122=32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=12+322=72，
∴BD=2OD=7，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S?ABCD=AB?AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB=12BC，BC=AD，
∴OE=12AB=14AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=32，
∴S△AOE=S△EOC=12OE?OC=12×12×32=38，
∵OE∥AB，
∴EPAP=OEAB=12，
∴S△POES△AOP=12，
∴S△AOP=23 S△AOE=23×38=312，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个，
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
二、填空题
9、（2016?武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则BD的长为________．
【答案】 2
【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∵CD=10，AD=5 ，
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = ，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD= = =2 ，
故答案为：2
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．
10．（2016?江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
【答案】52或45或5．
【解析】如图所示：
①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE=52；
②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB=PE2?BE2=4，∴底边AP=AB2+PB2=82+42=45；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为52或45或5；
故答案为：52或45或5．
【点评】利用分类思想是解题的关键.
11、（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=________度．
【答案】75
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，
∴∠AEB=75°，
故答案为75．
【点评】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，即可解决问题．
12、（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
【答案】32
【解析】解：∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE= AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
【点评】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
13、（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为________．
【答案】113°或92°
【解析】解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC= （180°﹣46°）=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
【点评】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．
14．（2018?荆州）为了比较5+1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得5+1_____10．（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】＞
【解析】依据勾股定理即可得到AD=CD2+AC2=5，AB=AC2+BC2=10，BD+AD=5+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到5+1＞10．
解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD=CD2+AC2=5，AB=AC2+BC2=10，
∴BD+AD=5+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴5+1＞10，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键.
15．（2018?辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A=__________°.
【答案】22.5
【解析】连接半径OC，先根据点C为BE的中点，得∠BOC=45°，再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠A=∠ACO=12×45°，可得结论．
解：连接OC， ∵OE⊥AB， ∴∠EOB=90°， ∵点C为BE的中点， ∴∠BOC=45°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO=12×45°=22.5°， 故答案为：22.5°．
【点评】本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16．（2018?本溪）如图所示，已知：点A(0，0)，B（3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于__________．
【答案】32n
【解析】根据题目已知条件可推出，AA1＝32OC＝32，B1A2＝12A1B1＝322，依此类推，第n个等边三角形的边长等于32n．
解：∵OB＝3，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．
在Rt△CAA1中，AA1＝32OC＝32，
同理得：B1A2＝12A1B1＝322，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于32n．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．
三、解答题
17、（2016?广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
【答案】
【解析】解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ACD中，AC=a，
∴AD= a，
由勾股定理得：CD= = ，
同理得：FC= × = ，CH= × = ，
在Rt△HCI中，∠I=30°，
∴HI=2HC= ，
由勾股定理得：CI= = ，
答：CI的长为 ．
【点评】在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．
18、（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．
【答案】证明见解析
【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠AOP=∠BCP=60°，即∠AOB=60°．
【点评】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，可得∠CAD=∠CBE，然后求出∠OAB+∠OBA=120°，再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．
19．（2018?安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.
【解析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数；
（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形，从而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，继而可得∠ACM=75°，连接AM，结合AE=EM=MB，可推导得出AC=AM，根据N为CM中点，可得AN⊥CM，再根据CM⊥EM，即可得出AN∥EM.
解：（1）∵M为BD中点，
Rt△DCB中，MC=12BD，
Rt△DEB中，EM=12BD，
∴MC=ME；
（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∵CM=MB，
∴∠MCB=∠CBM，
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，
同理，∠DME=2∠EBM，
∴∠CME=2∠CBA=80°，
∴∠EMF=180°-80°=100°；
（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，
∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，
又∵CM=ME=12BD=DM，
∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形，
∴∠EDM=60°，
∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，
∵∠MCB+∠ACE=45°，
∠CBM+∠MBE=45°，
∴∠ACE=∠MBE=30°，
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，
连接AM，∵AE=EM=MB，
∴∠MEB=∠EBM=30°，
∠AME=12∠MEB=15°，
∵∠CME=90°，
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，
∴AC=AM，
∵N为CM中点，
∴AN⊥CM，
∵CM⊥EM，
∴AN∥CM.
【点评】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
20．（2018?辽阳）在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
（2）如图2当α=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=25，请直接写出△BDE的面积.
【答案】（1）BD=EC,EA2=EB2+EC2;（2）EA2=EC2+2BE2;（3）2
【解析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出DBEC=ABAC=22，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；
解：（1）如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2． 故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵ADAE=22，ABAC =22， ∴ADAE=ABAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴DBEC=ABAC=22，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=2DE，BD=22EC， ∴12EA2=12EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=2BD， ∵EC=2BD， ∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=25， ∴AC=210， 在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40， ∴x=22（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=22， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=12×2×2=2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
一、选择题
1、（2017·南京一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（?? ）
A、2，3，3 B、2，3，4 C、2，3，5 D、3，4，5
【答案】A
【解析】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形； B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【点评】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
2、（2017·三门峡一模）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（?? ）
A、2 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°， ∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE= = ，
∴OP=2PE=2 ，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM= OP= ．
故选：C．
【点评】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
3、（2017·南阳一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（?? ）
A、7 B、8 C、9 D、10
【答案】B
【解析】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6， ∴AC= = =10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE= BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF= AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B．
【点评】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF= AC，由此即可解决问题．
4、（2017·乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（?? ）
A、（0， ） B、（2，0） C、（0，2） D、（ ，1）
【答案】C
【解析】解：∵点A坐标为（1， ），
∴OA= =2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°，
∴旋转后点A对应点A′在y轴正半轴，
∴点A′的坐标为（0，2）．
故选C．
【点评】根据点A的坐标求出OA的长度，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，再判断出点A′在y轴正半轴上，然后写出点A′坐标的即可．
5、（2017·内江二模）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP ， 其中正确的个数是（?? ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】D
【解析】解：如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC= AB?CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC= AP?CH+ OA?CD= AP?CH+ OA?CH= CH?（AP+OA）= CH?AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选D．
【点评】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC ， 利用三角形的面积公式即可求解．
6．（2018?天津二模）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（3，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（ ）
A．（32，52） B．（32，32） C．（233，52） D．（433，32）
【答案】B
【解析】连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.
解：连接OO′，作O′H⊥OA于H，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=OBOA=32，
∴∠BAO=30°，
由翻折可知，∠BAO′=30°，
∴∠OAO′=60°，
∵AO=AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∵O′H⊥OA，
∴OH=32，
∴OH′=3OH=32，
∴O′（32，32）， 故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．
7．（2018?包头）如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（ ）
A．BC=CD B．AD∥BC
C．AD=BC D．点A与点C关于BD对称
【答案】A
【解析】由BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线定义得到一对角∠ABD与∠CBD相等，然后由DC∥AB，根据两直线平行，得到一对内错角∠ABD与∠CDB相等，利用等量代换得到∠DBC=∠CDB，再根据等角对等边得到BC=CD，从而得到正确的选项．
解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵DC∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD．
故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质．学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题．这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力．
8．（2018?西安）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝12（180°?∠A）＝72°，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠ACE，∠DBC＝∠ECB，
∴∠BDC＝180°?∠ACB?∠DBC＝180°?72°?36°＝72°，
同理∠BEC＝72°，
∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，
∴∠EOB＝180°?∠BEC?∠EBD＝180°?72°?36°＝72°，
同理∠DOC＝72°，
∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，
即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，关键是能求出各个角的度数．
9．（2018?淄博模拟）将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（ ）
A．6 B．32 C．42 D．62
【答案】D
【解析】如图，作AH⊥CH，根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求得AB的长．
解：如图，作AH⊥CH，
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，
∴AC=2AH=6，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=62+62=62．
故选D．
【点评】本题考查了30°角直角三角形的性质及勾股定理，作出辅助线求出AC的长是解题的关键．
10．（2018?松滋模拟）一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子．
A．13cm B．410cm C．12cm D．153 cm
【答案】C
【解析】如图：由题意可知FH=4cm、EF=3cm、CH=16cm．
在Rt△EFH中，由勾股定理得
EH=EF2+FH2=32+42=5cm，
EL为筷子，即EL=13cm,
设HL=h，则在Rt△EHL中，HL=EL2?EH2=132?52=12cm．
故选C．
二、填空题
11、（2017·山西联考）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为________尺．
【答案】 4.2
【解析】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得： x2+42=（10﹣x）2 ，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故答案为：4.2．
【点评】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
12、（2017·盘锦一模）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为________．
【答案】3
【解析】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF= AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴AE=EC，
∴DE= BC=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
【点评】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF= AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．
13、（2017·哈尔滨一模）已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为________．
【答案】3或5
【解析】解：如图1所示，
过点A作AD⊥BC，
设DP=x，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BD= =4，
在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=82﹣42=48，
在Rt△APD中，
DP2=AP2﹣AD2=72﹣48=1，
∴DP=1，
∴BP=5；
当点P在AD的左侧时，如图2所示，
同理可得，BP=BD﹣PD=4﹣1=3，
综上所述，BP的长为3或5，
故答案为：3或5．
【点评】根据题意画出图形，利用勾股定理分类讨论可得结果．
14．（2018?曲靖三模）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，它的最小边的长是2cm，则它的最大边的长是_____cm．
【答案】4．
【解析】根据在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，三角形内角和等于180°可得∠A，∠B，∠C的度数，它的最小边的长是2cm，从而可以求得最大边的长．
解：∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
∵最小边的长是2cm，
∴a=2.
∴c=2a=4cm.
故答案为：4.
【点评】考查含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
15．（2018?南阳二模）如图，已知 OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是_________．
【答案】3
【解析】由 OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 即可求得DM的长．
解：∵OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE=12CP=1，
∴PE=CP2?CE2=3,
∴OP=2PE=23，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=12OP=3.
故答案为：3.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含 30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，属于中考常见题型，求出 OP 的长是解题关键．
16．（2018?绍兴模拟）如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD=∠CBE，当BD=1时，则AE的长为______．
【答案】2或4或92或94
【解析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可．
解：分四种情形：
①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ABD=∠BCE=60°，
∵∠BAD=∠CBE，
∴△ABD≌△BCE(ASA)，
∴BD=EC=1，
∴AE=AC?EC=2．
②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时.作EF//AB交BC的延长线于F．
∵∠CEF=∠CAB=60°，∠ECF=∠ACB=60°，
∴△ECF是等边三角形，设EC=CF=EF=x，
∵∠ABD=∠BFE=60°，∠BAD=∠FBE，
∴△ABD∽△BFE，
∴BDEF=ABBF，
∴1x=3x+3，
∴x=32，
∴AE=AC+CE=92
③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．
∵∠ABD=∠BCE=120°，AB=BC，∠BAD=∠FBE，
∴△ABD≌△BCE(ASA)，
∴EC=BD=1，
∴AE=AC+EC=4．
④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时.作EF//AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．
设EC=EF=CF=m，
由△ABD∽△BFE，可得BDEF=ABBF，
∴1x=33?x，
∴x=34，
∴AE=AC?EC=94，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或92或94．
故答案为2或4或92或94．
【点评】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题
17、（2017·嘉兴联考）如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
(1)求AB与BC的长；
(2)当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
(3)点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB＝3，BC＝4；（2）4；（3）9秒或9.5秒或6(秒或秒
【解析】（1）∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0? ∴x1＝3或x2＝4．则AB＝3，BC＝4.
（2）由题意得AB2+BP2=AP2 ， 则32+（t-3）2=10,
解得t1=4,t2=2（舍）.
即t=4时，AP=.
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形.
①当AP＝AB＝3时，P在CC，则 t=3+4+5-3=9(秒).
②当BP＝BA＝3时，当P在AC上时， t=(秒)，
当P在BC上时， t=3+3=6 (秒)，
③当BP=AP (即P为AC中点)时，?? ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).
可知当t为9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)时，△ABP是等腰三角形.
【点评】（1）运用因式分解法求；
（2）由勾股定理构造方程，解出t的值；
（3）分类讨论：①当AP＝AB＝3时，②当BP＝BA＝3时，③当BP=AP.
18．（2018?天津二模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上．
（I）计算△ABC的边AC的长为_____．
（II）点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB．当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____（不要求证明）．
【答案】5 作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小
【解析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．
解：（1）AC=12+22=5．
故答案为5．
（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．
故答案为：作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．
【点评】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（2018?哈尔滨调研）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，CE＝BD，连接CD，BE，BE与CD相交于点F．
（1）如图1，若△ACD为等边三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度数；
（2）如图2，若AC＝AD，求证：EF＝FB；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面积为4，求线段CD的长．
【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】（1）根据等边三角形的性质得到ADC=∠C=60°，根据三角形的外角的性质计算；
（2）作BG∥AC交CD的延长线于G，证明△CFE≌△GFB，根据全等三角形的性质证明；
（3）作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延长线于H，设EP=x，GH=a，根据全等三角形的性质得到BH=EP=x，根据三角形的面积公式计算．
解：（1）∵CE＝BD，CE＝DF，
∴BD＝DF，
∴∠DFB＝∠B，
∵△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴∠DFB＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝90°；
（2）证明：作BG∥AC交CD的延长线于G，
∴∠C＝∠G，
∵AC＝AD，
∴∠C＝∠ADC，
∴∠BDG＝∠G，
∴BD＝BG，
∵CE＝BD，
∴BD＝CE，
∵BG∥AC，
在△CFE和△GFB中，
∠CEF=∠GFB∠FCE=∠GCE=GB，
∴△CFE≌△GFB，
∴EF＝FB；
（3）解：作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延长线于H，
设EP＝x，GH＝a，
∵∠CFE＝45°，
∴FP＝EP＝x，
∵△CFE≌△GFB，
∴BH＝EP＝x，
则FH＝BH＝x，
∵BD＝BG，BH⊥CD，
∴DH＝GH＝a，
∴CF＝FG＝x+a，DF＝x﹣a，
∴CD＝CF+DF＝2x，
由题意得，
12×CD×BH＝4，即12×2x×x＝4，
解得，x＝2，
则CD＝2x＝4．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（2018?镇江押题）△ABC中，∠ACB＜90°，以AB为一边作等边△ABD，且点D与点C在直线AB同侧，平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧，且BE=BC，∠ABE=∠DBC，连接CD、AE，AC=5，BC=3．
（1）求证：CD=AE；
（2）点E关于直线AB的对称点为点F，判断△BFC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当线段CD最短时，请直接写出四边形AEBF的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）△BFC是等边三角形；（3）33
【解析】（1）根据SAS判定△ABE≌△DBC，即可得出CD=AE； （2）根据轴对称的性质以及全等三角形的性质，即可得出BF=BC，∠CBF=60°，进而判定△BCF是等边三角形； （3）根据AF+FC≥AC，即可得到AF+3≥5，即AF≥2，因而得到AF的最小值为2，即CD的最小值为2，此时AF+FC=AC，即点F在AC上，再过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG=30°，求得△ABF的面积，即可得到四边形AEBF的面积．
解：（1）如图，∵△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE；
（2）△BFC是等边三角形，
理由：如图，∵点E关于直线AB的对称点为点F，
∴AB垂直平分EF，
∴BF=BE，∠ABE=∠ABF，
又∵BC=BE，∠ABE=∠DBC，
∴BF=BC，∠ABF=DBC，
∵∠ABD=∠ABF+∠DBF=60°，
∴∠DBC+∠DBF=60°，
即∠CBF=60°，
∴△BCF是等边三角形；
（3）∵点E关于直线AB的对称点为点F，△ABE≌△DBC，
∴AF=AE，AE=DC，
∴AF=CD，
由（2）可得，等边三角形BCF中，FC=BC=3，
∵AF+FC≥AC，
∴AF+3≥5，即AF≥2，
∴AF的最小值为2，即CD的最小值为2，
此时AF+FC=AC，即点F在AC上，
如图所示，过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG=30°，
∴FG=BF=，
∴BG=FG=，
∴△ABF的面积=AF×BG=×2×=，
∴四边形AEBF的面积=2×△ABF的面积=3．
【点评】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、对称轴的性质、等边三角形的判定与性质以及四边形综合题，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质、对称轴的性质、等边三角形的判定与性质以及四边形综合题
