4.4 相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的________，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外________线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的________.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例________，即，这种线段分割叫作黄金分割. 一条线段的黄金分割点有________个.
注意： .
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成________.
二、相似
1、相似三角形：对应角________、对应边________的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的________．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形________；
（2）三边对应________或两边对应成比例且夹角________或两角对应________的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应________，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和________相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角________，对应边________，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________，周长比等于________，________等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形________相等，对应边________．
（2）相似多边形周长之比等于________，面积之比等于相似比的________．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于________，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似________．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的________等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若2x﹣5y=0，则
C. 若线段a：b=c：d,，则 D. 若线段a：b=c：d,则
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______ (结果用科学记数法表示)．
考点二：平行线分线段成比例定理
如图， ，直线 与分别相交于点和点，若， ,则的长是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、 ，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（ ）
A．(，n) B．(m，n) C．(m， ) D．(， )
一、单选题
1、（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（? ）
A、BC=3DE B、 =
C、△ADE～△ABC D、S△ADE= S△ABC
2．（2016?随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
3、（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
4、（2017?成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（?? ）
A、4：9 B、2：5 C、2：3 D、：
5、（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（?? ）
A、540元 B、1080元 C、1620元 D、1800元
6．（2018?内江）已知ΔABC与ΔA1B1C1相似，且相似比为1:3，则ΔABC与ΔA1B1C1的面积比
A．1:1 B．1:3 C．1:6 D．1:9
7．（2018?巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①OEOB=ODOC；②DEBC=12；③SΔDOESΔBOC=12；④SΔDOESΔDBE=13．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
二、填空题
9、（2016?常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是________km．
10．（2016?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．∠ACB的平分线，交斜边AB于点D，过点D作AC的垂线，垂足为点E，若CB=4，CA=6，则DE= ．
11、（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=________．
12、（2017?随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
13、（2017?包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE ．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
14．（2018?百色）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（12，1），则A′C′=_____．
15．（2018?阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．
16．（2018?黔西南）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
三、解答题
17、（2016·柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
18、（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
19．（2018?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
20．（2018?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠．
(1)如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；(不写作法和证明，保留作图痕迹)
(2)如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
一、单选题
1、（2017·济南三模）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（?? ）
A、点P B、点O C、点M D、点N
2、（2017·石家庄二模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
3、（2017·威海模拟）如图所示，在下列给出的条件中，不能够判定△ABC∽△ACD的是（?? ）
A、∠B=∠ACD B、∠ADC=∠ACB C、AC2=AD?AB D、=
4、（2017·北京一模）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（?? ）
A、7.2 cm B、5.4 cm C、3.6 cm D、0.6 cm
5、（2017·济宁一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（?? ）
A、两人都对 B、两人都不对 C、甲对，乙不对 D、甲不对，乙对
6．（2018?定西模拟）下面两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（2018?潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12，则点A的对应点A的坐标是（ ）
A．（2，12） B．（1，2）
C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）
8．（2018?北京联考）如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（ ）
A．1m B．43m C．3m D．103m
9．（2018?临沂模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF，使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB，BC，AC上，若BC=6，AB=10，则正方形DECF的边长为（ ）
A．187 B．247 C．43 D．53
10．（2018?太原一模）如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（ ）
A．38 B．34 C．12 D．32
二、填空题
11、（2017·揭阳一模）如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为________．
12、（2017·三门峡一模）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是________．
13、（2017·上海二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是________．
14．（2018?长沙模拟）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC=_____．
15．（2018?无锡一模）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=__．
16．（2018?太原三模）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45， cos53°≈35，tan53°≈43）．
三、解答题
17、（2017·扬州二模）如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40 +5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．
18、（2017·阳泉二模）阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：求∠ACE的度数，AC的长．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
19．（2018?苏州模拟）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)求证：FC=3EF．
?
20．（2018?六安模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2=BM?CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求1AM+1AN的值．
4.4 相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的比，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的比例中项.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例中项，即，这种线段分割叫作黄金分割. 一条线段的黄金分割点有两个.
注意： .
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
二、相似
1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等或两角对应相等的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若2x﹣5y=0，则
C. 若线段a：b=c：d,，则 D. 若线段a：b=c：d,则
【答案】D
【解析】解：
A. 若,则,∴,,∴，故此选项正确；
B. 若2x﹣5y=0，则 ，代入 ，故此选项正确；
C. ∵，∴ ，∴，故此选项正确；
D. 由，得不到故此选项错误；
故选D.
【点评】利用比例的性质进行判断即可.
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______ (结果用科学记数法表示)．
【答案】1.2×106
【解析】解：设这个多边形地块的实际面积是x，
∵30=0.003，
∴()2=，
∴x=1200000.
用科学记数法表示为：1.2×106
故答案为：1.2×106.
【点评】利用比例尺进行求解，要注意相似图形面积比等于相似比的平方.
考点二：平行线分线段成比例定理
如图， ，直线 与分别相交于点和点，若， ,则的长是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】A
【解析】解：∵，
∴=，
即=，
解得：EF= .
故选：A.
【点评】利用平行线分线段成比例定理进行求解.
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．
【答案】
【解析】解：∵AB∥EF，∴，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
【答案】6．
【解析】解：根据中位线的性质可得：DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.
【点评】本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．
【答案】1.5
【解析】解：如图所示，
∵∠DFE=60°，
∴∠1+∠2+60°=180°，
∴∠2=120°?∠1，
在等边△ABC中,∠A=∠C=60°，
∴∠A+∠1+∠3=180°,
∴∠3=180°?∠A?∠1=120°?∠1，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴AD:CF=DF:EF，
∵FD⊥DE,∠DFE=60°，
∴∠DEF=90°?60°=30°，
∴DF=EF，
又∵AF=1，AC=4，
∴CF=4?1=3，
∴=，
解得AD=1.5.
故答案为：1.5.
【点评】根据三角形的内角和定理列式求出∠2=∠3，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=∠C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根据相似三角形对应边成比例可得AD：CF=DF：EF，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出EF的长，然后代入数据进行计算即可得解．
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
【答案】或4.8
【解析】解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，
即，
解得t=4.8；
当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
【答案】
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴，即
解得DE==12.5，即DP=12.5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，综合运用相似三角形的判定和性质是解题的关键.
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．
【答案】
【解析】解∵以O为位似中心,把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍,得五边形，
则OD:OD1=1:2，
故答案为：1:2.
【点评】本题考查了位似变换.根据面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键.
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、 ，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（ ）
A．(，n) B．(m，n) C．(m， ) D．(， )
【答案】D
【解析】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A.?B的对应点分别为A′、B′点A. B.?A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：(4,6),B点坐标为：(6,2),A′点坐标为：(2,3),B′点坐标为：(3,1)，
∴线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：(， ).
故选C.
【点评】本题考查了位似变换的性质.利用图形关于原点进行位似变换的特点求对应点的坐标是解题的切入点.
一、单选题
1、（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（? ）
A、BC=3DE B、 =
C、△ADE～△ABC D、S△ADE= S△ABC
【答案】 D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴ = = ，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴ = ，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE～△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE= S△ABC ， D结论错误，
故选：D．
【点评】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（2016?随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【答案】B
【解析】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴DEAC=15，
∵DE∥AC，
∴BEBC=DEAC=15，
∴BEEC=14，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质.利用平等得出相似及成比例线段是解题的关键.
3、（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
【答案】A
【解析】解：A、两边都除以2y，得 = ，故A符合题意； B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得 = ，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】根据等式的性质，可得答案．
4、（2017?成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（?? ）
A、4：9 B、2：5 C、2：3 D、：
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3， ∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（ ）2= ，
故选：A．
【点评】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
5、（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（?? ）
A、540元 B、1080元 C、1620元 D、1800元
【答案】C
【解析】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50= 元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15× =1620元
故选C
【点评】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
6．（2018?内江）已知ΔABC与ΔA1B1C1相似，且相似比为1:3，则ΔABC与ΔA1B1C1的面积比
A．1:1 B．1:3 C．1:6 D．1:9
【答案】D
【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
7．（2018?巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①OEOB=ODOC；②DEBC=12；③SΔDOESΔBOC=12；④SΔDOESΔDBE=13．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且DEBC=12，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DEBC=12，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴OEOC=ODOB=DEBC=12，①错误；
SΔDOESΔBOC=DEBC2=14，③错误；
∵SΔDOESΔBOE=12OD?h12OB?h=ODOB=12，
∴SΔDOESΔBOE=13，④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．
8．（2018?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【答案】B
【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x15=1.50.5，
解得x=45（尺），
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
二、填空题
9、（2016?常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是________km．
【答案】2.8
【解析】解：设这条道路的实际长度为x，则： ，
解得x=280000cm=2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
【点评】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
10．（2016?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．∠ACB的平分线，交斜边AB于点D，过点D作AC的垂线，垂足为点E，若CB=4，CA=6，则DE= ．
【答案】
【解析】根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
解：∵DC是∠ACB的平分线， ∴∠BCD=∠ACD， ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， 设DE=CE=x，则AE=6﹣x，
∴=， 解得：x=， 即DE=
【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
11、（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=________．
【答案】4
【解析】解：∵AB∥CD， ∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【点评】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
12、（2017?随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【解析】解：当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE= = = ；
当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE= = = ；
故答案为： 或 ．
【点评】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 = 或 = ，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
13、（2017?包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE ．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】解：①在△ACD和△ABE中，
∵ ，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正确；②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
∵ ，
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正确；③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形，
所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，
∴S△ACN=S△ABM ，
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ，
∴S△ACD=S△ABE ，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ，
所以④正确；
本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
【点评】①根据SAS证明△ACD≌△ABE；②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角相等，所以△ABC∽△AMN；③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；④根据三角形的中线将三角形面积平分得：S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ， 则S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ．
14．（2018?百色）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（12，1），则A′C′=_____．
【答案】13
【解析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
解:∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，点A（﹣1，0），点C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(?2?1)2+(0?2)2=32+22=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．
15．（2018?阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．
【答案】4．
【解析】根据矩形的性质可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段BF的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DFBF=DEBC，
∵点E为AD中点，
∴DE=12AD，
∴DE=12BC，
∴DFBF=12，
∴BF=2DF=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出△DEF∽△BCF是解题的关键．
16．（2018?黔西南）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
【答案】60
【解析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出ADDC=BDDF，构建方程求出x即可解决问题；
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴ADDC=BDDF，
∴10+x4=6x，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC=12?BC?AD=12×10×12=60．
故答案为60．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17、（2016·柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
【答案】
【解析】解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6，
∴ = = ，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB与△OCD的相似比
【点评】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出 = ，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．
18、（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF， ∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【点评】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
19．（2018?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．
【解析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
解：（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴DGCF=DEDC=12，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，EG=525，DH=DE?DGEG=5，
∴EH=2DH=25，
∴HM=DH?EHDE=2，
∴DM=CN=NK=DH2?HM2=1，
在Rt△DCK中，DK=CD2+CK2=102+22102+(23)2=226，
∴△PCD的周长的最小值为10+226．
【点评】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20．（2018?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠．
(1)如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；(不写作法和证明，保留作图痕迹)
(2)如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
【答案】(1)画图见解析；(2)DE=4910．
【解析】(1)由折叠后点B和点A重合，可知DE垂直平分AB，作线段AB的垂直平分线即可得出结论；
(2)连接BP，由菱形的性质可得出PE=BE，设CE=x，则BE=PE=4?x，由PE//AB可得出△PCE∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出x的值，进而可得出CE、BE、PE的值，在Rt△PCE和Rt△PCB中，利用勾股定理可求出PC、BP的值，由菱形的面积公式可得出BE?PC=12DE?BP，代入各值即可求出折痕DE的长．
解：(1)作直线AB的垂直平分线DE，如图1所示；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=5，
连接BP，如图2所示，
∵四边形PEBD是菱形，
∴PE=BE，
设CE=x，则BE=PE=4?x，
∵PE//AB，
∴△PCE∽△ACB，
∴CECB=PEAB，即x4=4?x5，
∴x=169，
∴CE=169，BE=PE=209，
在Rt△PCE中，PE=209，CE=169，
∴PC=PE2?CE2=43，
在Rt△PCB中，PC=43，BC=4，
∴BP=PC2+BC2=4310，
又∵S菱形PEBD=BE?PC=12DE?BP，
∴12×4310DE=209×43，
∴DE=4910．
【点评】本题考查了垂直平分线的画法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及菱形的面积，解题的关键是：(1)牢记线段垂直平分线的画法；(2)利用菱形的面积公式求出DE的值．
一、单选题
1、（2017·济南三模）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（?? ）
A、点P B、点O C、点M D、点N
【答案】A
【解析】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．
【点评】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
2、（2017·石家庄二模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ = ，A错误；
= ，B错误；
= ，
∴ = ，C正确；
= ，D错误，
故选：C．
【点评】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
3、（2017·威海模拟）如图所示，在下列给出的条件中，不能够判定△ABC∽△ACD的是（?? ）
A、∠B=∠ACD B、∠ADC=∠ACB C、AC2=AD?AB D、=
【答案】D
【解析】解：A、有两个角相等的三角形相似，故A不符合题意； B、有两个角相等的三角形相似，故B不符合题意；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形，故C不符合题意；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】根据相似三角形的判定，可得答案．
4、（2017·北京一模）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（?? ）
A、7.2 cm B、5.4 cm C、3.6 cm D、0.6 cm
【答案】B
【解析】解：∵OA=3OC，OB=3OD， ∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴ = = ，
∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．
故选B．
【点评】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
5、（2017·济宁一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（?? ）
A、两人都对 B、两人都不对 C、甲对，乙不对 D、甲不对，乙对
【答案】A
【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点评】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得 ，即新矩形与原矩形不相似．
6．（2018?定西模拟）下面两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【解析】根据相似多边形的定义解答即可.
解：选项A，两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义；
选项B，两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义；
选项C，两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义；
选项D，两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似.
故选D．
【点评】本题主要考查了相似多边形，熟知相似多边形的概念是解题的关键.
7．（2018?潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12，则点A的对应点A的坐标是（ ）
A．（2，12） B．（1，2）
C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】利用位似的性质求出A点的对称点.
解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的12，
则点A的对应点A′的坐标为（2×12，4×12）或[2×（﹣12），4×（﹣12）]，
即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】位似与相似：①位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此位似是相似的特殊情况.利用位似,可以把一个图形放大或缩小.
8．（2018?北京联考）如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（ ）
A．1m B．43m C．3m D．103m
【答案】B
【解析】由∠AGE=∠CHE=90°，∠AEG=∠CEH可证明△AEG∽△CEH，根据相似三角形对应边成比例求出GH的长即BD的长即可.
解：由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，
∵AG⊥EH，CH⊥EH，
∴∠AGE=∠CHE=90°，
∵∠AEG=∠CEH，
∴△AEG∽△CEH，
∴ EGAG=EHCH=EG+GHCH ，即 24.5=2+GH7.5，
解得：GH=43，
则BD=GH=43m，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形.
9．（2018?临沂模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF，使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB，BC，AC上，若BC=6，AB=10，则正方形DECF的边长为（ ）
A．187 B．247 C．43 D．53
【答案】B
【解析】根据勾股定理求出第三边AC的长，再根据相似三角形的判定和性质来求角即可.
解：在Rt△ABC中
AC2+BC2=AB2
∴AC=AB2?BC2=100?36=8.
∵四边形DECF为正方形，
∴DE=CE,DE∥AC，
∴△DEB~△ACB.
∴DEAC=BECB,
设正方形的边长为x,则
x8=6?x6
解得：x=247
故选B
【点评】本题主要考查子平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键，注意方程思想的运用.
10．（2018?太原一模）如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（ ）
A．38 B．34 C．12 D．32
【答案】A
【解析】根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到AEAG=EJGF=36，ACAE=CIEF=13，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，
∴AG＝6，
∵△EFG是等边三角形，
∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，
∵AE＝EF＝3，
∴∠FAG＝∠AFE＝30°，
∴∠AFG＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AJE＝90°，JE∥FG，
∴△AJE∽△AFG，
∴AEAG=EJGF=36，
∴EJ＝13，
∵∠BCA＝∠DCE＝∠FEG＝60°，
∴∠BCD＝∠DEF＝60°，
∴∠ACI＝∠AEF＝120°，
∵∠IAC＝∠FAE，
∴△ACI∽△AEF，
∴ACAE=CIEF=13，
∴CI＝1，DI＝1，DJ＝12，
∴IJ＝32，
∴S△DIJ=12?DI?IJ＝12×12×32．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
二、填空题
11、（2017·揭阳一模）如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为________．
【答案】121
【解析】解：小菱形的对角线长为8，大菱形的对角线长为88，相似比为8：88=1：11， 设小菱形的面积为单位1，则大菱形的面积为112=121个单位．菱形的个数为121．
【点评】大小菱形相似，又面积比等于相似比的平方，利用大菱形的面积除以小菱形的面积就可以得到小菱形的个数．
12、（2017·三门峡一模）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是________．
【答案】
【解析】解：∵AB∥EF， ∴ = ，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴ = ，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴ = = = ．
故答案为 ．
【点评】先利用AB∥EF得到 = ，则可求出解得AE=12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出 的值．
13、（2017·上海二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是________．
【答案】
【解析】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD， ∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，
∴∠ABC=∠CAD，
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
∵BD=AD，AB=3，AC=2，
∴ ，
解得，AD= ，CD= ，
故答案为： ．
【点评】根据题意得到△ACD∽△BCA，然后根据题目中的数据即可求得AD的长．
14．（2018?长沙模拟）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC=_____．
【答案】6．
【解析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案．
解：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE=2AD，
∴BD=2AD，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴EC=2AE=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键．
15．（2018?无锡一模）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=__．
【答案】5：12
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题．
解：
作AE∥BC交DC于点E，交DF于点F，
设每个小正方形的边长为a，
则△DEF∽△DCN，
∴EFCN＝DFDN＝13，
∴EF=13a，
∵AF=2a，
∴AE=53a，
∵△AME∽△BMC，
∴AMBM＝AEBC＝53a4a＝512，
故答案为：5：12．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（2018?太原三模）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45， cos53°≈35，tan53°≈43）．
【答案】1.2．
【解析】过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出ABAO=CBDO，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.
解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：
由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴ABAO=CBDO，
∵∠CAB=53°，tan53°=43,
∴tan∠CAB=CBAB=43,
∵AB=1.74m，
∴CB=2.32m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴1.74AO=2.323.05，
则AO=2.2875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.2m，
∴DG≈1.2m.
故答案为1.2.
【点评】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
三、解答题
17、（2017·扬州二模）如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40 +5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．
【答案】∠CAF=60°，点B到水地面的距离为（25+5）cm
【解析】解：CF=40 +5﹣5=40 （m）． 则sin∠CAF= = ，
则∠CAF=60°，
如图，
作BH⊥AF于点G，交DM于点H．
则BG∥CF，
∴△ABG∽△ACF．
，
即 ，
解得：BG=25，
点B到水地面的距离为（25+5）cm
【点评】先用三角函数求出∠CAF，再用相似三角形得出比例式求出BG，即可．
18、（2017·阳泉二模）阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：求∠ACE的度数，AC的长．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
【答案】答案见解析
【解析】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC，
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3，
∠ACE=75°，AC的长为3．
过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴ =2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 ．
∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 ．
∴BC= =2 ．
【点评】根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．
19．（2018?苏州模拟）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)求证：FC=3EF．
?
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质得到CDBC=FDAC，由D是BC边的中点，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到EAEC=EFEA=AFAC=12，即可得到结论．
解：(1)∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
(2)∵△ABC∽△FCD，
∴ CDBC=FDAC，
∵D是BC边的中点，
∴BC=2CD，
∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，
∴∠EAD=∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴EAEC=EFEA=AFAC=12，
∴EC=2EA=4EF，
∴FC=3EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2018?六安模拟）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI2=BM?CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求1AM+1AN的值．
【答案】（1）22；（2）见解析；（3）34。
【解析】（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x．由△BEI≌△BDI，可得ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，在Rt△AEI中，根据AE2+EI2=AI2，可得22+x2=22?x2,解方程即可； （2）如图2中，连接BI、CI．首先证明△AMI≌△ANI（ASA），再证明△BMI∽△INC，可得BMNI=NINC，推出NI2=BM?CN，由此即可解决问题； （3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG，NG=3AN,由AI∥NG，推出BMNI=NINC,，可得AMAM+AN=43AN,即可推出1AM+1AN=34.
解：（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x．
∵AB=AC=3，AI平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AD=AB2?BD2=32?12=22,
∵∠EBI=∠DBI，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI，
∴△BEI≌△BDI，
∴ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，
在Rt△AEI中，∵AE2+EI2=AI2，
∴22+x2=22?x2，
∴x=22，
∴ID=22．
（2）如图2中，连接BI、CI．
∵I是内心，
∴∠MAI=∠NAI，
∵AI⊥MN，
∴∠AIM=∠AIN=90°，
∵AI=AI，
∴△AMI≌△ANI（ASA），
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠BMI=∠CNI，
设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，
∴∠NIC=90°﹣α﹣β，
∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β，
∴∠MBI=90°﹣α﹣β，
∴∠MBI=∠NIC，
∴△BMI∽△INC，
∴BMNI=NINC,
∴NI2=BM?CN，
∵NI=MI，
∴MI2=BM?CN．
（3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．
∴∠ANG=∠AGN=30°，
∴AN=AG，NG=3AN，
∵AI∥NG，
∴AMMG=AIGN,
∴AMAM+AN=43AN,
∴1AM+1AN=34.
【点评】考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.
