一 圆周角定理
[学习目标]
1.探究并理解圆周角定理的证明过程.
2.通过圆周角定理的证明过程，体会分类讨论思想，并能对一些简单的数学问题进行分类讨论.
3.理解圆周角定理、圆心角定理及圆周角定理的两个推论，能用这些定理、推论解决相关的几何问题.
[知识链接]
1.“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确？
提示 不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.
2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？
提示 不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.
[预习导引]
1.圆周角定理
一半
2.圆心角定理
所对弧
∠AOB
3.圆周角定理的推论
推论1 同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______.
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____.
相等
也相等
直角
直径
规律方法 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.
规律方法 证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等，通常用圆周角定理或平行来转化.
规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征，并在此基础上对前面所学知识进行适当的综合.
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
3.关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的.
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”.
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等?弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.
答案 B
解析 根据圆周角定理，得∠BOC＝2∠BAC＝50°.
答案 B
答案 60° 75° 45°
二 圆内接四边形的性质与判定定理
[学习目标]
1.理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理解决相关的几何问题.
2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.
[知识链接]
1.判断下列各命题是否正确.
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆.
提示 (1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.
[预习导引]
1.性质定理1
互补
180°
180°
文字语言 圆的内接四边形的对角______
符号语言 若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝______，∠B＋∠D＝_____
图形语言
作用 证明两个角互补
2.性质定理2
它的内角的对角
∠ADC
文字语言 圆内接四边形的外角等于_________________
符号语言 四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝_____
图形语言
作用 证明两个角相等
3.圆内接四边形判定定理
互补
180°
180°
文字语言 如果一个四边形的对角______，那么这个四边形的四个顶点共圆
符号语言 在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝_____ (或∠A＋∠C＝_____)，那么A，B，C，D四点共圆
图形语言
作用 证明四点共圆
4.判定定理的推论
四个顶点共圆
A，B，C，D四点共圆
文字语言 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的______________
符号语言 在四边形ABCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC，则___________________
图形语言
作用 证明四点共圆
规律方法 1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.
2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.
规律方法 1.本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件.
2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.
规律方法 1.在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强.
2.此类问题考查知识较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立.
证明 由题意知四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BFE＝180°.又在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＝∠D，
∴E，F，C，D四点共圆.
1.对圆内接四边形的理解
(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}?{圆内接多边形}.
(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等.
2.判断四点共圆的基本方法
(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；
(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆.
1.下列说法正确的个数有( )
①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于圆；④矩形内接于圆；⑤正方形内接于圆.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确.
答案 B
2.四边形ABCD内接于圆O，∠A＝25°，则∠C等于( )
A.25° B.75° C.115° D.155°
解析 ∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠A＋∠C＝180°.又∠A＝25°，∴∠C＝180°－∠A＝155°.
答案 D
解析 ∵∠A＝50°，∠P＝30°，
∴∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.又∠QCD＝∠A＝50°，∴∠Q＝180°－80°－50°＝50°.
答案 50°
讲末复习
1.圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，其度数等于它所对的弧的度数的一半.
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
相交弦所成角定理：圆的两条相交弦所成角的度数等于它所夹的弧与它的对顶角所夹弧的度数和的一半.
2.圆内接四边形的性质与判定
(1)圆内接四边形的性质
定理1 圆内接四边形对角互补.
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内对角.
(2)圆内接四边形的判定
定理 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.
推论1 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆.
推论2 如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.
3.圆的切线的性质与判定
(1)圆的切线的性质
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
(2)圆的切线的判定
定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等.
推论 经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.
4.弦切角
(1)弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.
弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上，②一边是圆的切线，③一边是过切点的弦.三者缺一不可.
(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，其度数等于它所夹的弧的度数的一半.
推论 同弧(或等弧)上的弦切角相等；同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等.
5.圆幂定理
(1)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直
径所成的两条线段的比例中项.
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.
逆定理 从圆外一点引圆的割线，如果圆上一点与这点的连线是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项，那么这点与圆上点的连线是圆的切线.
题型一 分类讨论思想
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想.当我们面临的数学问题不能以统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后通过综合各类解而得到原问题的解答，这种解决问题的思想方法叫做分类讨论的思想方法.
应用分类讨论的思想方法解题的一般步骤是：
(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；
(2)合理分类，统一标准，不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，分级进行；
(4)归纳总结，作出整个题目的结论.
解 符合条件的圆有两种情况：
规律方法 分析所给条件，正确把握C、D两点与直径AB的位置关系，从而确定分类的标准，以避免只考虑AC、AD在直径AB同侧或异侧一种情况.
跟踪演练1 已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，⊙O1的半径r1＝5，⊙O2的半径r2＝4，AB＝6，求O1O2的长.
解 ①若O1，O2在AB的异侧(如图(1)所示)，O1O2垂直平分AB，
题型二 化归思想
化归思想又称转化思想，是把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.在解决直线与圆的位置的有关问题时，常常需作辅助线，通过作辅助可将圆的问题化归为特殊三角形或四边形的问题，使问题得到解决.
(1)证明 ∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，
又∠BAD＝∠DAC，∠B＝∠CAE，
∴∠ADE＝∠DAE.∴AE＝DE.
又DE是半圆的直径，
∴∠DFE＝90°，∴AF＝DF.
规律方法 本题综合性较强，在(1)的证明中，把证明AF＝DF的问题转化为证明AE＝DE的问题，进而又转化为证明∠DAE＝∠ADE的问题；在(2)的解答中，通过作辅助线，把求sin∠AED的问题转化为求sin∠AEG的问题，进而转化为求AG，AE的问题；在(3)的解答中，把求S△ABC的问题转化为求BC与AG的问题，如此等等，每一步都体现着转化与化归的思想方法.
题型三 函数方程思想
在直线与圆的位置关系中，涉及很多数量关系，既有角的大小，也有线段的长度，在求它们的大小时，有时不太方便，这时我们可以利用相似三角形或有关定理建立以欲求量为未知数的函数或方程，通过求函数的最值或解方程求出所要求的量，这种函数方程的思想在直线与圆的位置关系中有广泛的应用.
例3 如图(1)所示，四边形ABCD是半径为1的半圆的内接等腰梯形，其下底是半圆的直径.写出该梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，当腰长为多少时，周长最长？并求出周长的最大值.
解 如图(2)所示，过点O作OE⊥DC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接OD.
设DE＝m，OE＝n，则DF＝n，AF＝AO－FO＝1－m，且腰长x>0.
规律方法 解本题的关键是建立周长y与腰长x之间的函数关系式.过点O作OE⊥DC，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，这样将四边形中的线段的长度计算问题转化为直角三角形中的边长的计算问题.
题型四 数形结合思想
数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，通过对图形的认识，数与形的转化，化抽象为具体，化难为易，使问题得到解决.
规律方法 将计算与具体图形相结合是解决问题的关键，通过分析图形的位置关系，得到数量关系.
跟踪演练4 两圆半径分别为4和2，如果它们有两条互相垂直的公切线，求它们的圆心距.
体验高考
答案 A
解析 由切割线定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，又因为CE∶ED＝2∶1，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.
答案 2
答案 8
答案 5
(1)证明 因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，
又BC⊥DE，
所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.
又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，
所以∠CBD＝∠DBA.
11.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
三 圆的切线的性质及判定定理
[学习目标]
1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.
2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.
[知识链接]
1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？
提示 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；
(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.
提示 (3)(4)正确.
2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？
[预习导引]
1.切线的性质定理
垂直于
⊥
文字语言 圆的切线_______经过切点的半径
符号语言 直线l与圆O相切于点A，则OA___l
图形语言
作用 证明两条直线垂直
2.性质定理推论1
切点
∈
文字语言 经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____
符号语言 直线l与圆O相切于点A，过点O作直线m⊥l，则A___m
图形语言
作用 证明点在直线上
3.性质定理推论2
圆心
∈
文字语言 经过切点且垂直于切线的直线必经过_____
符号语言 直线l与圆O相切于点A，过点A作直线m⊥l，则O___m
图形语言
作用 证明点在直线上
4.切线的判定定理
垂直于
⊥
文字语言 经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
符号语言 OA是圆O的半径，直线l___OA，且A∈l，则l是圆O的切线
图形语言
作用 证明直线与圆相切
规律方法 1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD、AC与AB之间关系的.
2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.
要点二 圆的切线的判定
例2 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.
求证：DC是⊙O的切线.
规律方法 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：
(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；
(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.
规律方法 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.
1.圆的切线的判定方法有
(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
2.圆的切线的性质与判定的综合运用
在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：
(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线.
(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.
解析 ∵l与⊙O相切，∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形.
答案 C
2.已知AB是⊙O的切线，下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )
A.AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B.CD经过圆心O
C.CD是直线
D.AB与⊙O相切于点C，CD过圆心O
解析 由图①②③可知，根据选项A，B，C中的条件都不能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图④).
答案 D
3.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D＝46°，则∠A＝________.
答案 67°
四 弦切角的性质
[学习目标]
1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.
2.理解弦切角定理，并能应用定理证明相关的几何问题.
[知识链接]
1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？
提示 前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？
提示 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
3.如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？
提示 不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角.
[预习导引]
1.弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
2.弦切角定理
文字语言 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
符号语言 AB与⊙O相切于点A，AC与⊙O相交于点A，C，点D在⊙O上，但不在弦切角∠BAC所夹的弧上，则∠BAC＝∠ADC
图形语言
作用 证明两个角相等
规律方法 1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理.
2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.
答案 125°
规律方法 1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.
2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.
规律方法 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.
(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.
解析 ∠ADB是圆周角，∠AOB是圆心角，∠ABC是弦切角，∠BAO不是弦切角.
答案 C
解析 ∵∠NMP是弦切角，∴∠NMP＝∠PQM＝70°.
答案 B
3.已知AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________.
解析 ∵优弧与劣弧之比为3∶1，∴劣弧所对的圆心角为90°，所对的圆周角为45°，故由弦切角定理可知，弦切角∠BAC＝45°.
答案 45°
证明 ∵PE切⊙O于点E，
∴∠BEP＝∠A，
∵PC平分∠APE，∴∠3＝∠4，
又∵∠1＝∠3＋∠A，∠2＝∠4＋∠BEP，
∴∠1＝∠2，∴EC＝ED.
五 与圆有关的比例线段
[学习目标]
1.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线长定理.
2.能应用这些定理解决与圆有关的比例线段问题.
[知识链接]
提示 ∠ACB＝90°，由射影定理得：PC2＝PA·PB.
2.若CD与AB不垂直，会有怎样的结论？
提示 PC·PD＝PA·PB.
3.若从运动中变化的观点来看，将图①中的点P从⊙O内接移到⊙O上(如图②所示)，再移到⊙O外(如图③所示)，则相交弦PA，PB，PC，PD之间有怎样的关系？
提示 PA·PB＝PC·PD仍然成立.
[预习导引]
1.相交弦定理
文字语言 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
符号语言 ⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD
图形语言
作用 证明线段成比例
2.割线定理
文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
符号语言 从⊙O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PA·PB＝PC·PD
图形语言
作用 证明线段成比例
3.切割线定理
文字语言 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
符号语言 从⊙O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2＝PB·PC
图形语言
作用 证明线段成比例
4.切线长定理
文字语言 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
符号语言 PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB
图形语言
作用 证明角相等，线段相等
证明 连接PO.
∵P为弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB，∵PE⊥OA，
∴在Rt△APO中，AP2＝AE·AO，由相交弦定理得PD·PC＝PA·PB，∴PD·PC＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
规律方法 用相交弦定理解决此类问题的步骤：
(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；
(2)正确应用相交弦定理列出关系式；相交弦定理的运用多是与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合.
规律方法 利用切割线定理证明乘积式成立是一种重要的题型，是高考出题的热点之一，在解决此类问题时，要分清切线与割线以及相关图形的特点，结合三角形、四边形等图形的性质加以论证.
规律方法 解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连接切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线.
答案 10
1.相交弦定理的证明过程是利用分类讨论思想进行分析的，也可以理解为是由特殊到一般的过程进行分析的.
2.割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握.
3.要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样.
4.(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点.
(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例.
(3)对于定理中涉及到的线段，在相交弦定理和割线定理中，能实现知三求一，在切割线定理中能实现知二求一.
解析 ∵AE·EB＝DE·EC，∴2EB＝4×1.∴EB＝2.
答案 B
解析 ∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.
答案 B
