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28.2解直角三角形（1）
学习目标：
1、在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
学习重点：
直角三角形的解法．
学习难点：
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
学习过程：
一、新知引入
（1）你还记得勾股定理的内容吗？直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
（2）30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值表你记得吗？
二、新知讲解
活动1 问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解析：问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
试一试解答：
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
试一试解答：
活动2 在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知一边一角）
（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？（已知两边）
（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知两角）
你发现了什么?
●归纳：
三、例题讲解
(应用1)例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
巩固练习：
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边 D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tan A的值为（ ）
A. B. C. D.2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos B=，则a：b=________
(应用2)已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
巩固练习：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，sin B=，则AB的长为（ ）
A.6 B.2 C. D.
在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，则c=________．
3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，
且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )
A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
（应用3）已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．．
●总结：
巩固练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos B= ，若BC=1，则AC=（ ）
A.1 B.2 C. D.
2.在△ABC中，a=1，b= ，∠A=30°，则∠B=__________°
3.将一副三角板如图所示放在一起，连接AD，则∠ADB 的正切值是___________．
4.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B= cos ∠DAC.
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin C=，BC=36，求AD的长．
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=5，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tan C的值．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
五、布置作业
教材77页1题，78页6题
当堂测评
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则a∶b∶c为( )
A．2∶∶ B．2∶∶3
C．2∶3∶ D．1∶2∶3
2．等腰三角形的底角为30°，底边长为2 ，则腰长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
3．如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
图3 图4
4．如图4，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB＝( )
A．asinα B．atanα C．acosα D.
5．如图5，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )
图5
A.m B.m C. m D．4 m
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，∠B＝45°，则①∠A＝45°；②b＝2；③b＝2 ；④c＝2；⑤c＝2 .上述说法正确的是________(请将正确的序号填在横线上)．
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝5，则∠A＝________，S△ABC＝________．
8.如图，已知等边和等边，，且的面积为，将绕点逆时针旋转后，则的面积为______．
.
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）c=20 , A=45° （2）a=6 , b=6
10.在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）sinB的值； （2）tanC的值．
11．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝50 m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1 m；参考数据：≈1.414，≈1.732)．
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28.2解直角三角形（1）
教学目标：
1、在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
教学过程：
一、新知引入
（1）你还记得勾股定理的内容吗？直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
（2）30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值表你记得吗？（教师展示ppt帮助学生回忆知识。）
二、新知讲解
活动1 问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解析：问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
试一试解答：
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
试一试解答：
活动2 在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知一边一角）
（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？（已知两边）
（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知两角）
你发现了什么?
●归纳：①在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边), 就可以求出其余三个元素.
②在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
③解直角三角形的依据:
三、例题讲解
(应用1)例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2.
巩固练习：
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）D
A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边 D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tan A的值为（ ）D
A. B. C. D.2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos B=，则a：b=________(答案：3：)
(应用2)已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.
∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
巩固练习：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，sin B=，则AB的长为（ ）A
A.6 B.2 C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，则c=________．（答案：）
3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，
且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )A
A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
（应用3）已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．．
●总结：通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用
巩固练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos B= ，若BC=1，则AC=（ ）D
A.1 B.2 C. D.
2.在△ABC中，a=1，b= ，∠A=30°，则∠B=__________°.60或120
3.将一副三角板如图所示放在一起，连接AD，则∠ADB 的正切值是___________．
4.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B= cos ∠DAC.
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin C=，BC=36，求AD的长．
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=5，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tan C的值．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
五、布置作业
教材77页1题，78页6题
当堂测评
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则a∶b∶c为( )
A．2∶∶ B．2∶∶3
C．2∶3∶ D．1∶2∶3
2．等腰三角形的底角为30°，底边长为2 ，则腰长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
3．如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
图3 图4
4．如图4，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB＝( )
A．asinα B．atanα C．acosα D.
5．如图5，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )
图5
A.m B.m C. m D．4 m
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，∠B＝45°，则①∠A＝45°；②b＝2；③b＝2 ；④c＝2；⑤c＝2 .上述说法正确的是________(请将正确的序号填在横线上)．
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝5，则∠A＝________，S△ABC＝________．
8.如图，已知等边和等边，，且的面积为，将绕点逆时针旋转后，则的面积为______．
.
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）c=20 , A=45° （2）a=6 , b=6
10.在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）sinB的值； （2）tanC的值．
11．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝50 m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1 m；参考数据：≈1.414，≈1.732)．
当堂测评答案
1．B 2.C
3．C 解析：∵AC＝6，AB＝9，又∵cosA＝＝，即＝，∴AD＝4.
4.B
5．A 解析：∵∠CAD＝30°，AD＝BE＝5 m，∴CD＝AD·tan∠CAD＝5tan30°＝(m)，∴CE＝CD＋DE＝m.
①②⑤
7.答案 30°
8.【答案】
【解析】解：
如图，在中，过点作垂直于交于，
则，，
，
设，则,
作垂直于交于，
,
所以，
,
（1）∠B=450,a=b=10(2)∠A=300∠B=600, C=12
11．解：设小明家到公路的距离AD的长度为x m.
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝x.
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴tan∠ACD＝，
即tan30°＝，解得x＝25(＋1)≈68.3.
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