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28.2解直角三角形（2）
学习目标：
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
学习重点：
将实际问题转化为解直角三角形问题．
学习难点：
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
学习过程：
新知引入
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
二、新知讲解
基本概念1：
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．
当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．
※注意：
(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则_______叫做仰角；视线为PB时，则_______叫做俯角．甲看乙的俯角______-乙看甲的仰角．
巩固练习:
1.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（ ）
A.CD=b sin33°+a B.CD=b cos33°+a
C.CD=b tan33°+a D.CD=+a
1题 2题 3题
如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=（ ）m．
A.100 B.50 C.100 D.100
3.如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A 地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC≈___________.米.（≈1.732，精确到0.1米）
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约__________ km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1)
解：
因此，这栋楼高约为_______ m.
小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？ 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．
【反思小结】利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：
巩固练习：
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____________米.
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.
3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
4.如图，某飞机于空中 探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
三、新知讲解
基本概念2：
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：____________60°，____________45°或____________ ,____________80°，_____________30°.
※注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……”，“南偏……”的形式，而一般不写成“西偏……”，“东偏……”的形式．解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)
解：
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约________n mile.
巩固练习：
1.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD = 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（ ）
A.2 km B.3km C.km D.3 km
2.小军从A地沿北偏西60°方向走10 m到B地，再从B地向正南方向走20 m到C地，此时小军离A（ ）
A.5m B.10 m C.15 m D.10m
2题 3题 4题
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．
A.40+40 B.80 C.40+20 D.80
4.如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=_________m（结果保留根号）.
5.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东50米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
6.甲、乙两条轮船同时从 港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿 着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
五、布置作业
教材78页，3、4题
当堂测评
1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A.的值越大，梯子越陡 B.的值越大，梯子越陡
C.的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关
2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南300的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（ ）
5 B. 6 C.8 D.10
3.如图，两建筑物水平距离为32米，从点A测得对点C的俯角为300，对点D的俯角为450，则建筑物CD的高约为（ ）
A.14米 B. 17 米 C.20米 D.22米
4.如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为α，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，则旗杆的高度为 （米）（用含α的式子表示）．
第4题 第5题 第7题
5．如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是______．
6.小美同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时小美同学离地________．
7.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，若海里，海里，则，两岛的距离等于________?海里．?（结果保留根号）
8.如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现在它的北偏东方向有一港口，货轮继续向北航行分钟后到达处，发现港口在它的北偏东方向上，若货轮急需到港口补充供给，请求出处与港口的距离的长度．（结果保留整数）
（参考数据：，，，）
9.如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟米的速度沿着仰角为的方向上升，分钟后上升到处，这时气球上的人发现在点的正西方向俯角为的处有一着火点，求气球的升空点与着火点之间的距离．（结果保留根号）
10.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．
求、之间的路程；
请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？
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28.2解直角三角形（2）
教学目标：
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
教学重点：
将实际问题转化为解直角三角形问题．
教学难点：
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
教学过程：
新知引入
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
二、新知讲解
基本概念1：
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．
当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．
※注意：
(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则_______叫做仰角；视线为PB时，则_______叫做俯角．甲看乙的俯角______-乙看甲的仰角．
答案：如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则∠APQ叫做仰角；视线为PB时，则∠BPQ叫做俯角．甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角．
巩固练习:
1.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（ ）C
A.CD=b sin33°+a B.CD=b cos33°+a
C.CD=b tan33°+a D.CD=+a
1题 2题 3题
如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=（ ）m．D
A.100 B.50 C.100 D.100
3.如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A 地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC≈___________.米.（≈1.732，精确到0.1米）(答案：115.5)
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα＝＝≈0.95.
∴α≈18°，
∴的长为×6 400≈2009.6(km)．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2009.6 km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1)
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)．
因此，这栋楼高约为277.1 m.
小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？ 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．
【反思小结】利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
巩固练习：
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____________米.(答案：100)
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.（答案：20）
3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
4.如图，某飞机于空中 探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
三、新知讲解
基本概念2：
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：____________60°，____________45°或____________ ,____________80°，_____________30°.
※注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……”，“南偏……”的形式，而一般不写成“西偏……”，“东偏……”的形式．解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)
＝80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
巩固练习：
1.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD = 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（ ）B
A.2 km B.3km C.km D.3 km
2.小军从A地沿北偏西60°方向走10 m到B地，再从B地向正南方向走20 m到C地，此时小军离A地（ ）D
A.5m B.10 m C.15 m D.10m
2题 3题 4题
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．A
A.40+40 B.80 C.40+20 D.80
4.如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=_________m（结果保留根号）.
5.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东50米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
6.甲、乙两条轮船同时从 港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿 着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
五、布置作业
教材78页，3、4题
当堂测评
1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A.的值越大，梯子越陡 B.的值越大，梯子越陡
C.的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关
2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南300的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（ ）
5 B. 6 C.8 D.10
3.如图，两建筑物水平距离为32米，从点A测得对点C的俯角为300，对点D的俯角为450，则建筑物CD的高约为（ ）
A.14米 B. 17 米 C.20米 D.22米
4.如图，某数学小组要测量校园内旗杆AB的高度，其中一名同学站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为α，此时该同学的眼睛到地面的高CD为1.5米，
则旗杆的高度为 （米）（用含α的式子表示）．
第4题 第5题 第7题
5．如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是______．
6.小美同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时小美同学离地________．
7.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，若海里，海里，则，两岛的距离等于________?海里．?（结果保留根号）
8.如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现在它的北偏东方向有一港口，货轮继续向北航行分钟后到达处，发现港口在它的北偏东方向上，若货轮急需到港口补充供给，请求出处与港口的距离的长度．（结果保留整数）
（参考数据：，，，）
9.如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟米的速度沿着仰角为的方向上升，分钟后上升到处，这时气球上的人发现在点的正西方向俯角为的处有一着火点，求气球的升空点与着火点之间的距离．（结果保留根号）
10.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．
求、之间的路程；
请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？
当堂测评答案
1-3:ADA
4. 1.5+tanα 5.（300+300）m
6.
7.
8.解：海里，
在中，，则，
在中，，即，于是，
解得，，
在中，，，则海里．
9.解：过点作于点，
由题意得，，，，
∴，
∵，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
即气球的升空点与着火点之间的距离为．
10.解：由题意知：米，，，
在直角三角形中，
∵，
∴米，
在直角三角形中，
∵，
∴米，
∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，
∴速度为米/秒，
∵千米/时米/秒，
而，
∴此车超过了每小时千米的限制速度
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