4.5 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b ，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与________的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的________与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的________与________的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的________、________、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
________
cosa
________
tana]
1
________
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=________(90°—A)，cosA=________(90°—A)
tanA=________(90°—A)，cotA=________(90°—A)
（2）平方关系：________+________ =1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=________（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（2）余弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（3）正切值随着角度的________（或________）而________（或________）；；
（4）余切值随着角度的________（或________）而________（或________）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余________的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：________＋b2＝________；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：________＋________＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做俯角
/
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示________60°.
/
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的________叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的________叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越________.
/
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，那么sinA=_______________；
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
/
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：
2
sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
变式跟进2计算： ．
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（? ?? ）
A. sin30°＜cos16°＜cos43°? / B. cos43°＜sin30°＜cos16°
C. sin30°＜cos43°＜cos16° D. sin16°＜cos30°＜cos43°
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
/
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
考点四：解直角三角形
如图， ， ， ，求BD的长.
/
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5， ≈4.6）
/
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上， 地在地北偏东方向、在地北偏西方向． 地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（ ）．
/
A. B. C. D.
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4， ≈1.7）
/
一、选择题
1．（2016?绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
2．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯砍底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1:/，则大楼AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：/） （ ）
/
A．30.6米 B．32.1 米 C．37.9米 D．39.4米
3、（2017?益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、h?cosα
4、（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（?? ）
/
A、北偏东55° B、北偏西55° C、北偏东35° D、北偏西35°
5、（2017?百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
/
A、20（ /+1） B、20（ /﹣1） C、200 D、300
6．（2018?益阳）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为??的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
/
A．300????????米 B．300????????米 C．300????????米 D．
300
????????
米
7．（2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
/
A．
1
2
B．1 C．
3
3
D．
3
8．（2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
/
A．800sinα米 B．800tanα米 C．
800
????????
米 D．
800
????????
米
二、填空题
9．（2016?绥化）计算：
(
1
2
)
?3
?4??????
45
°
+|1?
12
|= ．
10．（2016?大连）如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．
/
11、（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= /，则AB=________．
/
12、（2017?无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
/
13、（2017?天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 /米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= /，则CE的长为________米．
/
14．（2018?青海）在△??????中，若|?????????
1
2
|+(?????????
1
2
)
2
=0，则∠??的度数是______．
15．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
/
16．（2018?荆州）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（
3
≈1.73，结果精确到0.1）．
/
三、解答题
17．（2016?邵阳）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O/射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
3
≈1.73）．
/
18、（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
/
19．（2018?巴彦淖尔）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）。
/
20．（2018?张家界）2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离????.
/ /
一、选择题
1、（2017·衡阳一模）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、h?sinα
2、（2017·泰安一模）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（?? ）
/
A、10 /海里 B、10 /海里 C、10 /海里 D、20 /海里
3、（2017·济南一模）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（?? ）
A、/ B、/
C、/ D、/
4、（2017·高邮一模）若锐角α的正弦值为0.58，则（?? ）
A、α=30° B、α=45° C、30°＜α＜45° D、45°＜α＜30°
5、（2017·迁安一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（?? ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） /
A、/ B、/ C、/ D、/
6．（2018?济南模拟）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
3
2
，则t=（ ）
/
A．0.5 B．1.5 C．4.5 D．2
7．（2018?北京二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱????高为??．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠??????约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即????的长）约为( )
/
A．??sin26.5° B．
??
tan26.5°
C．??cos26.5° D．
??
cos26.5°
8．（2018?天津二模）sin45°的值等于（ ）
A．
2
B．1 C．
3
2
D．
2
2
9．（2018?济南三模）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠??????=
45
°
，在B点测得D点的仰角为∠??????=
60
°
，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为( )米．
/
A．10√3，30 B．30，30√3 C．30√3?3，30 D．30√3?30，30√3
10．（2018?石家庄一模）如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（ ）
/
A．6千米 B．8千米 C．10千米 D．14千米
二、填空题
11、（2017·临沂二模）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= /，则对角线AC的长为________．
/
12、（2017·连云港四模）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）________?tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
/
13、（2017·天门二模）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于________．
/
14．（2018?无锡模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
3
，则sinA=________．
15．（2018?上海模拟）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为____米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）
/
16．（2018?葫芦岛一模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．
/
三、解答题
17、（2017·襄阳模拟）先化简再求值： /，其中x=tan60°﹣1．
18、（2017·杭州仿真）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
/
19．（2018?连云港模拟）计算：2sin30°﹣|1﹣
3
|+（
1
2
）﹣1
20．（2018?连云港模拟）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：
2
≈1.14，
3
≈1.73）
/
4.5 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b ，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana]
1
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：sin2A+cos2A =1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
/
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示北偏东60°.
/
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越陡.
/
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，那么sinA=_______________；
【答案】
【解析】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，由勾股定理得
．
sinA==
【点评】利用勾股定理和正弦定义即可求解.
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
/
【答案】1
【解析】解：如图所示：
/
tan∠B .
故答案是：1.
【点评】构造直角三角形，利用正切定义进行求解.
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：
2
sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
【答案】
3
+1
【解析】解：原式=
2
?
2
2
+6×
3
3
﹣2×
3
2
=
3
+1．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.
变式跟进2计算： ．
【答案】
【解析】解：原式
．
【点评】将特殊角的三角函数值代入，同时注意零次幂和负整数指数幂的运算.
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（? ?? ）
A. sin30°＜cos16°＜cos43°? / B. cos43°＜sin30°＜cos16°
C. sin30°＜cos43°＜cos16° D. sin16°＜cos30°＜cos43°
【答案】C
【解析】由锐角三角函数值知sin30°=cos60°，在三角函数中，若0°＜A＜90°，则sinA随着∠A的增大而增大，cosA随着∠A的增大而减小，所以cos60°＜cos43°＜cos16°，即：sin30°＜cos43°＜cos16°.
故选：C.
【点评】此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为sinA，或者化为cosA，进而更加方便计算.
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
/
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【解析】如图，连接BE， / 根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB， ∵∠AEB=∠D+∠DBE， ∴∠AEB>∠D， ∴∠C>∠D， 根据锐角三角形函数的增减性，可得， sin∠C>sin∠D，故①正确； cos∠Ctan∠D，故③正确； 故选：D．
【点评】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB>∠D，所以∠C>∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
考点四：解直角三角形
如图， ， ， ，求BD的长.
/
【答案】
【解析】解：∵， ，AD＝20,
∴ ,
∴DC=16,AC= ,
又∵，
∴AB＝2AC＝24，
∴BC＝ ，
又∵BD＝BC－CD，
∴BD＝.
【点评】在Rt△ADC中求出CD的长度，在Rt△ABC中求出BC的长度，再根据BD＝BC－CD求值即可.
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5， ≈4.6）
/
【答案】A、C两点之间的距离约为92米．
【解析】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
/
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠CBD=30°，
∴BD=BC=×20=10（米），
∴CD=，
∴AD=AB+BD=80+10=90米，
在Rt△ACD中，AC=≈92（米），
答：A、C两点之间的距离约为92米．
【点评】首先过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，然后可得∠BCD=30°，再根据直角三角形的性质可得BD=10米，然后利用勾股定理计算出CD长，再次利用勾股定理计算出AC长即可．
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上， 地在地北偏东方向、在地北偏西方向． 地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（ ）．
/
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点作，
由题意可得，
，
， ，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
在中， ， ， ，
∴，
在中， ， ，
∴．
/
故选：D.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，结合实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.再解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的预交等知识转化为所需要的角.
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4， ≈1.7）
/
【答案】（1）1：2.4；（2）34.4米．
【解析】解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴AB的坡度i==1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF= ，
在Rt△CEF中，EF= ,
∵BF﹣EF=BE=8米，
∴CF﹣CF=8，
解得：CF≈29.35．
∴DC=CF+DF≈29.35+5≈34.4米．
/
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题，解直角三角形的应用—坡度和坡比问题，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
一、选择题
1．（2016?绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=/BC=/x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=/x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=/AD=/x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．设BC=x，解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=/BC=/x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=/x，
作EM⊥AD于M，则AM=/AD=/x，在Rt△AEM中，cos∠EAD=/
/
【点评】本题考查了解直角三角形.熟练应用三角函数是解题的关键.
2．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯砍底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1:/，则大楼AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：/） （ ）
/
A．30.6米 B．32.1 米 C．37.9米 D．39.4米
【答案】D
【解析】过点B作BF⊥CD，根据坡度可得：BF=6米，CF=6/米，则DF=CD+CF=（20+6/）米，过点E作EH⊥AB，则HF=DE=15米，根据俯角的度数可得：AH=（20+6/）米，则AB=AH+HF-BF=20+6/+15-6=29+6/≈39.4米.
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用.熟练应用三角函数是解题的关键.
3、（2017?益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、h?cosα
【答案】B
【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= /，
∴BC= /= /，
故选：B．
【点评】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD= /知BC= /= /．
4、（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（?? ）
/
A、北偏东55° B、北偏西55° C、北偏东35° D、北偏西35°
【答案】D
【解析】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【点评】根据已知条件即可得到结论．
5、（2017?百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
/
A、20（ /+1） B、20（ /﹣1） C、200 D、300
【答案】A
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
/
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD?tan∠ABD=200 /（米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 /（米）．
则平均速度是 /=20（ /+1）米/秒．
故选A．
【点评】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
6．（2018?益阳）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为??的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
/
A．300????????米 B．300????????米 C．300????????米 D．
300
????????
米
【答案】A
【解析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB?sinα=300sinα米．
故选A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
7．（2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
/
A．
1
2
B．1 C．
3
3
D．
3
【答案】B
【解析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=
5
，AC=
10
，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
/
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
8．（2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
/
A．800sinα米 B．800tanα米 C．
800
????????
米 D．
800
????????
米
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=
????
????
，即可解决问题.
解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=
????
????
，
∴AB=
????
????????
=
800
????????
，
故选D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
二、填空题
9．（2016?绥化）计算：
(
1
2
)
?3
?4??????
45
°
+|1?
12
|= ．
【答案】3+2
3
．
【解析】原式=8?4×1+2
3
?1=3+2
3
．故答案为：3+2
3
．
10．（2016?大连）如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．
/
【答案】11．
【解析】如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，PA=18，∠A=30°，可得PC=/PA=/×18=9；在Rt△PBC中，PC=9，∠B=55°，求得PB=/≈11，即此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
/
11、（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= /，则AB=________．
/
【答案】17
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= /，BC=15， ∴ /= /，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB= /= /=17．
故答案为：17．
【点评】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
12、（2017?无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
/
【答案】3
【解析】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示， 则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= /，O′D′= /，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= /，
∴O′E= /= /，
∴tanBO′E= /，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
/
【点评】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值．，本题得以解决
13、（2017?天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 /米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= /，则CE的长为________米．
/
【答案】8
【解析】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
/
∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= /，
∴AF=12× /=6 /，
∴DG=6 /．
∵在Rt△DGC中，CD=12 /，DG=6 /米，
∴GC= /=18．
∵在Rt△DEG中，tanE= /，
∴ /= /，
∴GE=26，
∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．
即CE的长为8米．
故答案为8．
【点评】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．
14．（2018?青海）在△??????中，若|?????????
1
2
|+(?????????
1
2
)
2
=0，则∠??的度数是______．
【答案】
90
°
【解析】先根据非负数的性质求出????????=
1
2
，????????=
1
2
，再由特殊角的三角函数值求出∠??与∠??的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵在△??????中，|?????????
1
2
|+(?????????
1
2
)
2
=0，
∴????????=
1
2
，????????=
1
2
，
∴∠??=
30
°
，∠??=
60
°
，
∴∠??=
180
°
?
30
°
?
60
°
=
90
°
，
故答案为：
90
°
．
【点评】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
15．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
/
【答案】2
【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
解：如图，连接BE，
/
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=
1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=
1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=
????
????
=2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
16．（2018?荆州）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（
3
≈1.73，结果精确到0.1）．
/
【答案】24.1
【解析】设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在Rt△ACE中，依据tanA=
????
????
，即可得到a的值．
解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=
????
????
，
∴tan30°=
33
??+33
，即33
3
=a+33，
解得a=33（
3
﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
/
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．
三、解答题
17．（2016?邵阳）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O/射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
3
≈1.73）．
/
【答案】该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．
【解析】根据sin75°=
????
????
=
????
40
，求出OC的长，根据tan30°=
????
????
，再求出BC的长，即可求解．
解：在直角三角形ACO中，sin75°=
????
????
=
????
40
≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°=
????
????
=
38.8
????
≈
1.73
3
，解得BC≈67.3．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．
18、（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
/
【答案】不会，理由见解析
【解析】解：过A作AC⊥OB于点C，
在Rt△AOC中，∠AOC=40°,
∴sin40°=/,
又∵AO=1.2,
∴AC=OAsin40°=1.2×0.64=0.768（米）,
∵AC=0.768＜0.8,
∴车门不会碰到墙.
/
【点评】过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,AO=1.2,根据sin40°=/,得出AC的长度，再与0.8比较大小即可得出判断.
19．（2018?巴彦淖尔）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）。
/
【答案】1000
3
米
【解析】作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，连接CD，利用解直角三角形的知识求得AD的长即可．
解：作AD⊥BC，交BC的延长线为点D，连结CD，
∵∠α=60°，∠β=30°，
∴∠BAC=60°-30°=30°，
∵AE//BC，
∴∠B=∠β=30°=∠BAC，
∴AC=BC=2000，
∴AD=AC×cos30°=1000
3
米.
/
【点评】本题主要考查了解直角三角形——仰角、俯角的问题，理解仰角、俯角的定义、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
20．（2018?张家界）2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离????.
/ /
【答案】800
3
【解析】如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=
1
2
AD=700，DE=
3
AE=700
3
，则BE=300，所以DF=300，BF=700
3
，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
/
在Rt△ADE中，AE=
1
2
AD=
1
2
×1400=700，
DE=
3
AE=700
3
，
∴BE=AB-AE=1000-700=300，
∴DF=300，BF=700
3
，
在Rt△CDF中，CF=
3
3
DF=
3
3
×300=100
3
，
∴BC=700
3
+100
3
=800
3
．
答：选手飞行的水平距离BC为800
3
m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
一、选择题
1、（2017·衡阳一模）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、h?sinα
【答案】A
【解析】解：由已知得：sinα= /，
∴l= /，
故选：A．
【点评】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
2、（2017·泰安一模）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（?? ）
/
A、10 /海里 B、10 /海里 C、10 /海里 D、20 /海里
【答案】C
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
/
∵∠CBA=25°+50°=75°，
∴∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°．
在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20× /=10 /．
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC= /BD=10 /× /=10 /（海里）．
故选C．
【点评】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
3、（2017·济南一模）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（?? ）
A、/ B、/
C、/ D、/
【答案】D
【解析】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
【点评】根据方向角的定义，即可解答．
4、（2017·高邮一模）若锐角α的正弦值为0.58，则（?? ）
A、α=30° B、α=45° C、30°＜α＜45° D、45°＜α＜30°
【答案】C
【解析】解：∵锐角正弦函数为增函数，且 /＜sinα=0.58＜ /， ∴30°＜α＜45°，
故选C
【点评】由锐角三角函数为增函数，根据正弦值的范围确定出α的范围即可．
5、（2017·迁安一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（?? ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） /
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】 A
【解析】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
/
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE?sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故选：A．
【点评】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE?sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
6．（2018?济南模拟）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
3
2
，则t=（ ）
/
A．0.5 B．1.5 C．4.5 D．2
【答案】C
【解析】
解：过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα=
AB
OB
=
t
3
=
3
2
，
∴t=4.5．
故选：C．
7．（2018?北京二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱????高为??．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠??????约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即????的长）约为( )
/
A．??sin26.5° B．
??
tan26.5°
C．??cos26.5° D．
??
cos26.5°
【答案】B
【解析】分析:在Rt△??????中，根据tan∠??????=
????
????
,即可表示出????. B
解：在Rt△??????中，tan∠??????=
????
????
,
tan
26.5
°
=
??
????
,
∴????=
??
tan26.5°
. 故选B.
【点评】考查解直角三角形，熟练运算锐角三角函数是解题的关键.
8．（2018?天津二模）sin45°的值等于（ ）
A．
2
B．1 C．
3
2
D．
2
2
【答案】D
【解析】根据特殊角的三角函数值得出即可．
解：sin45°=
2
2
，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
9．（2018?济南三模）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠??????=
45
°
，在B点测得D点的仰角为∠??????=
60
°
，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为( )米．
/
A．10√3，30 B．30，30√3 C．30√3?3，30 D．30√3?30，30√3
【答案】D
【解析】在????△??????中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则????//????，求得∠??????=
90
°
，在????△??????中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
解：延长AE交CD于F，则????//????，
/
∵????⊥????，????⊥????，
∴????⊥????，
∴∠??????=∠??????=∠??????=∠??????=
90
°
．
∴四边形ABCF为矩形，
∴????=????=30??，????=????．
∵∠??????=
45
°
，
∴∠??????=
45
°
，
∴????=????=30??，
在????△??????中，????=???????????∠??????=30
3
∴????=?????????=30
3
?30，
答：甲建筑物的高AB为(30
3
?30)??，乙建筑物的高DC为30
3
??.
故选：D．
【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
10．（2018?石家庄一模）如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（ ）
/
A．6千米 B．8千米 C．10千米 D．14千米
【答案】B
【解析】根据方位角的定义，结合平行线，可得∠ABG＝48°再结合∠CBE＝42°，可得∠ABC＝90°；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.
解：由分析可得∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°
∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°
∴A到BC的距离就是线段AB的长度.
∴AB＝8千米
【点评】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
二、填空题
11、（2017·临沂二模）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= /，则对角线AC的长为________．
/
【答案】24
【解析】解：连接BD，交AC与点O，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵AB=15，sin∠BAC= /，
∴sin∠BAC= /= /，
∴BO=9，
∴AB2=OB2+AO2 ，
∴AO= /= /=12，
∴AC=2AO=24，
故答案为24．
【点评】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
12、（2017·连云港四模）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）________?tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
/
【答案】＞
【解析】解：由正方形网格图可知，tanα= /，tanβ= /， 则tanα+tanβ= /+ /= /，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴α+β=45°，
∴tan（α+β）=1，
∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，
故答案为：＞．
【点评】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．
13、（2017·天门二模）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于________．
/
【答案】1：3
【解析】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放 ∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD
∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA
∴△AOB∽△COD
设BC=a
∴CD= /a
∴S△AOB：S△COD=1：3
故答案为1：3
【点评】结合图形可推出△AOB∽△COD，只要求出AB与CD的比就可知道它们的面积比，我们可以设BC为a，则AB=a，根据直角三角函数，可知DC= /a，即可得△AOB与△COD的面积之比
14．（2018?无锡模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
3
，则sinA=________．
【答案】
3
2
【解析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=
3
，
/
∴sinA=
BC
AB
=
3
2
.
故答案为：
3
2
.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的概念.
15．（2018?上海模拟）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为____米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）
/
【答案】6.2
【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2.
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
16．（2018?葫芦岛一模）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．
/
【答案】45
【解析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：作DF⊥AB于F，交BC于G．则四边形DEAF是矩形，
/
∴DE=AF=15m，
∵DF∥AE，
∴∠BGF=∠BCA=60°，
∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴GD=GB，
在Rt△DCE中，∵CD=2DE，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°，
∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°
∴△DGC≌△BGF，
∴BF=DC=30m，
∴AB=30+15=45（m），
故答案为45．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
三、解答题
17、（2017·襄阳模拟）先化简再求值： /，其中x=tan60°﹣1．
【答案】-/，/﹣1
【解析】解： /
= /? /
=﹣/，
当x=tan60°﹣1= /﹣1时，
原式=﹣ /=﹣ /= /﹣1．
【点评】首先利用分式的混合运算，将原分式化简，再代入求值即可．
18、（2017·杭州仿真）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
/
【答案】3.8m
【解析】解：∵AC//ME，∴∠CAB=∠AEM， 在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），
∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，
∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m
【点评】首先根据AC//ME，可得∠CAB=∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．
19．（2018?连云港模拟）计算：2sin30°﹣|1﹣
3
|+（
1
2
）﹣1
【答案】4﹣
3
【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的法则计算即可．
解：原式=2×
1
2
﹣（
3
﹣1）+2
=1﹣
3
+1+2
=4﹣
3
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2018?连云港模拟）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：
2
≈1.14，
3
≈1.73）
/
【答案】（1）桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【解析】第一问过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；第二问，过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD， CB的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.
解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，
/
∵BC=12km，∠B=30°，
∴/km，BH=/km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，
/
∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=/km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=/=6/≈4.1km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【点评】做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.
