2018_2019学年高中数学全一册学案（打包31套）北师大版必修4

§1　周期现象
内容要求　1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．
知识点　周期现象
(1)概念：相同间隔重复出现的现象．
(2)特点：
①有一定的规律；
②不断重复出现．
【预习评价】　
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)
(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)
2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．
解析　观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.
答案　2
题型一　周期现象的判断
【例1】　判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．
(1)地球的自转；
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；
(3)钟表的秒针的转动；
(4)某段高速公路每天通过的车辆数．
解　(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．
(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．
(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．
规律方法　周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
【训练1】　判断下列现象是否为周期现象：
(1)每届奥运会的举办时间；
(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；
(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．
解　(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．
(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．
(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．
题型二　周期现象的应用
【例2】　一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
日期位置
序号x
1
59
80
117
126
白昼时间
y(时)
5.6
10.2
12.4
15.9
17.3
日期
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期位置
序号x
172
225
263
298
355
白昼时间
y(时)
19.4
15.9
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？
解　(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．
(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．
规律方法　收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
【训练2】　受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？
解　由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．
【例3】　2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？
解　按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．
【迁移1】　试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？
解　由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．
【迁移2】　从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？
解　因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．
【迁移3】　试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？
解　每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．
规律方法　应用周期性解决实际问题的两个要点
特别提醒　计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．
课堂达标
1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.
答案　B
2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　　)
A．五 B．六
C．日 D．一
解析　每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．
答案　C
3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．
解析　周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．
答案　直升机
4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．
解析　4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．
答案　10
5．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？
解　共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．
课堂小结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.
基础过关
1．下列是周期现象的为(　　)
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③
解析　①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．
答案　C
2．把化成小数，小数点后第20位是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析　＝0.4285，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.
答案　C
3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是(　　)
A．2020 B．2024
C．2026 D．2028
解析　C中2026不是4的倍数，选C.
答案　C
4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．
解析　周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．
答案　红
5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．
答案　2
6．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)
解　每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.
∴第7天后的那一天是星期一．
∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．
7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
解　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝
1 920(升)．
能力提升
8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　)
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
解析　由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.
答案　B
9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是(　　)
A．点A处 B．点B处
C．O、A之间 D．O、B之间
解析　钟摆的周期T＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．
答案　D
10．今天是星期六，再过100天后是星期________．
解析　100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．
答案　一
11．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________ s.
解析　质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．
答案　1.4
12．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多少时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，你距离地面是多少？
解　(1)是周期现象，周期12分钟/圈．
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．
(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．
(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．
13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？
解　通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.
§2　角的概念的推广
内容要求　1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．
知识点1　角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)
(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)
(4)终边和始边重合的角是零角(×)
(5)经过1小时时针转过30°(×)
知识点2　象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
【预习评价】
1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
2．第二象限的角比第一象限的角大吗？
提示　不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.
知识点3　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等(×)
(2)相等的角终边一定相同(√)
(3)终边相同的角有无数多个(√)
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)
题型一　角的概念的推广
【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数．
解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.
规律方法　1.理解角的概念的三个“明确”
2．表示角时的两个注意点
(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．
【训练1】　(1)图中角α＝________，β＝________；
(2)经过10 min，分针转了________．
解析　(1)α＝－(180°－30°)＝－150°
β＝30°＋180°＝210°.
(2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.
答案　(1)－150°　210°　(2)－60°
题型二　终边相同的角
【例2】　已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
规律方法　将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．
【训练2】　写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．
解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
【探究1】　在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
答案　C
【探究2】　写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．
解　根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．
所以表示为：
第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．
第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．
【探究3】　已知α为第二象限角，那么2α，分别是第几象限角？
解　∵α是第二象限角，
∴90＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，
180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z.
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋×360°＜＜90°＋×360°，k∈Z.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n×360°＜＜90°＋n×360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n×360°＜＜270°＋n×360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
【探究4】　已知α为第一象限角，求180°－是第几象限角．
解　∵α为第一象限角，
∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
∴k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
∴－45°－k·180°＜－＜－k·180°，k∈Z，
∴135°－k·180°＜180°－＜180°－k·180°，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，135°－n·360°＜180°－＜180°－n·360°，为第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，－45°－n·360°＜180°－＜－n·360°，为第四象限角．
∴180°－是第二或第四象限角．
规律方法　1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
2．α，2α，等角的终边位置的确定方法
不等式法：
(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围．
(2)利用不等式的性质，求出2α，等角的范围．
(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k×120°＜＜k×120°＋30°，k∈Z，可画出0°＜＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．
易错警示　由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.
课堂达标
1．－361°的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.
答案　D
2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
答案　D
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
答案　195°＋(－3)×360°
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
解析　∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
答案　－252°
5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α课堂小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜
－180°＋k×360°，k∈Z}.
基础过关
1．下列各组角中，终边相同的是(　　)
A．495°和－495° B．1 350°和90°
C．－220°和140° D．540°和－810°
解析　－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．
答案　C
2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　)
A．B?C?A B．B?A?C
C．D?(A∩C) D．C∩D＝B
解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.
角
集合表示
锐角
B＝{α|0°<α<90°}
0°～90°的角
D＝{α|0°≤α<90°}
小于90°的角
A＝{α|α<90°}
第一象限角
C＝{α|k·360°<α答案　D
3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
答案　C
4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．
解析　∵－3 000°＝－9×360°＋240°，
∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.
答案　240°
5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．
解析　因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．
答案　－160°，200°
6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与
－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.
解　与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；
令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；
令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
能力提升
8．以下命题正确的是(　　)
A．第二象限角比第一象限角大
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
解析　A不正确，如－210°<30°.
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴A?B，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，
∴C不正确．显然D不正确．
答案　B
9．集合M＝，P＝，则M、P之间的关系为(　　)
A．M＝P B．M?P
C．M?P D．M∩P＝?
解析　对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
答案　B
10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．
解析　∵α、β终边相同，
∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．
∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．
答案　x轴的非负半轴上
11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．
解析　∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．
答案　一或三
12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.
解　因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：
(1)α、β的终边关于原点对称；
(2)α、β的终边关于y轴对称．
解　(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．
两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．
§3　弧度制
内容要求　1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．
知识点1　弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)
(2)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的(√)
(3)1°的角比1 rad的角要大(×)
(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)
知识点2　角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
【预习评价】
请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0








π

2π
知识点3　扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
Α为弧度制
扇形的弧长
l＝
L＝|α|·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R＝|α|·R2
【预习评价】
1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为，则该扇形所对的弧长l＝________cm.
答案　
2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.
答案　2
知识点4　利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
【预习评价】
1.与30°终边相同的角为(　　)
A．2kπ＋(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．360°k＋(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z)
答案　B
2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．
答案　{α|α＝kπ，k∈Z}
题型一　角度与弧度的互化
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解　(1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
规律方法　角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·180°；n°＝n·rad.
(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
【训练1】　将下列各角度与弧度互化：
(1)π；(2)－π；(3)－157°30′.
解　(1)π＝×180°＝75°；
(2)－π＝－×180°＝－210°；
(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5× rad
＝－π rad.
题型二　用弧度制表示终边相同的角
【例2】　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
解　(1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤＜2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
【训练2】　用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断
2 015°是不是这个集合的元素．
解　因为150°＝.所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 015°＝215°＋5×360°＝＋10π，
又＜＜.所以2 015°＝∈S，即2 015°是这个集合的元素．
方向1　求弧长
【例3－1】　已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；
解　∵α＝120°＝π，r＝6，
∴的长l＝π×6＝4π.
方向2　求圆心角
【例3－2】　已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
解　设圆心角是θ，半径是r，
则?或(舍)．
故扇形圆心角为.
方向3　求面积的最值
【例3－3】　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
规律方法　灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
课堂达标
1．与120°角终边相同的角为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B.
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析　120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)，
∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．
答案　C
2．－化为角度应为(　　)
A．－345° B．－15°
C．－315° D．－375°
解析　－＝－×180°＝－345°.
答案　A
3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．
解析　由弧长公式l＝αR得α＝＝＝.
答案　
4．下列结论不正确的是________(只填序号)．
① rad＝60°；②10°＝ rad；③36°＝ rad；④ rad＝115°.
解析　 rad＝×180°＝112.5°，∴④错．
答案　④
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
基础过关
1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析　240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.
答案　A
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案　C
3．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵－π＜－3＜－，∴－3是第三象限角．
答案　C
4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．
答案　π
5．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析　由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案　
6．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°；(3)－20.
解　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
7．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)；(2)165°.
解　(1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，
S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
(2)165°＝×165 rad＝π rad.
∴l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)．
S＝l·r＝×π×10＝π(cm2)．
能力提升
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A.π B．－π
C.π D．－π
解析　显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
答案　B
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin 1cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析　∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△＝|α|R2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案　D
10．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
解析　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－π＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案　(－π，－π)∪(，2]
11．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________________.
解析　α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ
＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
答案　π或π
12．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
13．(选做题)如图所示，点A以逆时针方向做匀速圆周运动，
已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
解　经过2分钟，点A转过2θ的角，经过14分钟，点A转过14θ的角．
由已知π＜2θ＜得＜θ＜，且14θ＝2kπ，k∈Z，
∴θ＝，k∈Z.
即＜＜，＜k＜，k＝4或5.
k＝4时，θ＝；k＝5时，θ＝.
4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2　单位圆与周期性
内容要求 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．
知识点1　任意角的正弦、余弦函数
(1)单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
(2)正弦函数、余弦函数的定义
如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α.
(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．
【预习评价】
1．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为
(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
2．若角α的终边与单位圆相交于点(－，)，则cos α＝________.
答案　－
知识点2　正弦函数、余弦函数值的符号
【预习评价】
记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：
x
0






π





2π
y＝sin x
0



1


0
－
－
－1
－
－
0
y＝cos x
1



0
－
－
－1
－
－
0


1
知识点3　周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，f(x＋T)＝f(x)都成立．那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期．
(2)y＝sin x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
y＝cos x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
【预习评价】
如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？
提示　不一定，如函数f(x)＝x2，存在非零常数T＝4，存在x＝－2，使得
f(－2＋4)＝f(－2)，但是函数f(x)＝x2不是周期函数.
题型一　三角函数定义的应用
【例1】　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析　因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案　－8
规律方法　利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
【训练1】　若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，则sin α＝________.
解析　如图，点P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限，且r＝－m，
故有sin α＝＝＝.
答案　
题型二　有关三角函数值的符号问题
【例2】　(1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
(2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解　(1)∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
(2)由sin αcos α＜0知有两种可能：
或
故α是第二象限角或第四象限角．
规律方法　正余弦函数符号的确定
(1)终边在坐标轴上的角：
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1.
(2)终边在各个象限内的角：
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正．
【训练2】　判断下列各式的符号．
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin 240°·sin 300°；
(3)cos·sin π；
(4)cos 4·cos 5.
解析　(1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.
(2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0.
(3)因为sin π＝0.所以cos·sin π＝0.
(4)因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角，
所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.
【例3】　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)时，f(x)＝2sin x，求f＋f的值．
解　∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f＋f
＝f＋f
＝f＋f
＝－f＋f
＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移1】　在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f(－)＋f()的值．
解　由f(x＋π)＝－f(x)知
f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)
∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
又∵f(x)是奇函数，
∴原式＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移2】　在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
解析　由f(x＋π)＝得f[(x＋π)＋π]＝＝f(x)，∴f(x＋2π)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.
答案　2π
【迁移3】　把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
解　∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(x－π)＝f(x＋π)．
令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)
∴函数f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
＝2sin＋2sin
＝＋.
规律方法　常见周期函数的形式
周期函数除常见的定义式f(x＋T)＝f(x)外，还有如下四种形式：
(1)f(x＋a)＝－f(x)．(2)f(x＋a)＝.
(3)f(x－a)＝－.(4)f(x－a)＝f(x＋a)．
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数．
课堂达标
1．若角α的终边过点，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　易知点在单位圆上，故cos α＝.
答案　A
2．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析　∵r＝，
cos α＝＝＝－.
∴b＝3.
答案　A
3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析　由题意知，角α的终边上一点的坐标为.
∴cos α＝＝.
又α的终边在第四象限．
∴α的最小值为.
答案　π
4．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是________．
解析　f()＝f(2π＋＋)＝f()＝1.
答案　1
5．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a，b)，若sin α＝－，求a、b的值，并说明α是第几象限角．
解　由正弦函数的定义可知b＝sin α＝－.
又a2＋b2＝1，∴a2＝1－b2＝，∴a＝±.
故a＝±，b＝－.
当a＝，b＝－时，点P在第四象限，此时角α是第四象限角；
当a＝－，b＝－时，点P在第三象限，此时角α是第三象限角．
课堂小结
1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
基础过关
1．若sin θcos θ>0，则θ在(　　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
答案　B
2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　)
A. B．±
C．－ D．－
解析　依题意得cos α＝＝x＜0，
由此解得x＝－.
答案　D
3．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin  B．y＝sin 2x
C．y＝cos  D．y＝cos(－4x)
解析　A选项中，f(x＋)＝sin＝sin(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
B选项，f(x＋)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋π)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
C选项，f(x＋)＝cos (x＋)＝cos(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
D选项，f(x＋)＝cos＝cos(－4x－2π)＝cos(－4x)＝f(x)，∴选D.
答案　D
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.
解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝
－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案　－2
5．下列说法中，正确的为________(填序号)．
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos α＝.
解析　三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝，故④也是不正确的．
答案　①②
6．确定下列三角函数值的符号：
(1)sin；(2)cos(－925°)．
解　(1)∵＝2π＋，且是第三象限角，
∴是第三象限角；∴sin＜0.
(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，
∴－925°是第二象限角．
∴cos(－925°)＜0.
7．已知角α的终边经过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(k∈Z)，求角α的正弦函数值及余弦函数值．
解　∵θ∈(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)，
∴cos θ＜0.又x＝－3cos θ，y＝4cos θ，
∴r＝＝＝－5cos θ.
∴sin α＝－，cos α＝.
能力提升
8．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　∵r＝，
∴cos α＝＝－，
∴m>0，∴＝，即m＝.
答案　B
9．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝－＝2.
答案　C
10．若α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 3α＝________.
解析　cos 3α＝cos 3＝cos(＋6kπ)＝cos＝0.
答案　0
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析　∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∵|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案　2
12．已知cos α<0，sin α>0，
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin，cos的符号．
解　(1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角．
即的终边落在第一象限或第三象限．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin>0，cos>0；
当是第三象限角时，sin<0，cos<0.
13．(选做题)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及
sin α的值．
解　(1)由＝－，
可知sin α＜0，
由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
4.3　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4．4　单位圆的对称性与诱导公式(一)
内容要求　1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.
3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．
知识点1　单位圆与正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期
2π
在[0,2π]上的单调性
在，上是增加的；在上是减少的
在[π，2π]上是增加的；在[0，π]上是减少的
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.(√)
(2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数．(×)
(3)函数y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]．(×)
(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√)
知识点2　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α.(1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.(1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α.(1.10)
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.(1.11)
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
【预习评价】
1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.
角
2kπ＋α
π－α
π＋α
－α
2π－α
所在象限
一
二
三
四
四
2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.
相关角
终边之间的对称关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
题型一　正弦函数、余弦函数的定义域问题
【例1】　求下列函数的定义域：
(1)y＝4－cos x；
(2)y＝.
解　(1)由y＝4－cos x知定义域为R.
(2)由题意知2sin x＋1≥0，即sin x≥－在一周期内满足上述条件的角为x∈，由此可以得到函数的定义域为(k∈Z)．
规律方法　利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式．
【训练1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数y＝ln sin x的定义域为________．
解析　(1)由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1,1]，故定义域为R.
(2)由题意知sin x＞0.又y＝sin x在[0,2π]内sin x＞0满足0＜x＜π，∴定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案　(1)R　(2)(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
题型二　正弦函数、余弦函数的值域问题
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝(sin x－2)2＋1；(2)y＝msin x＋n(m≠0)．
解　(1)设t＝sin x，则有y＝(t－2)2＋1，t∈[－1,1]，
∴当t＝－1时 ，y＝(t－2)2＋1取得最大值10；
当t＝1时，y＝(t－2)2＋1取得最小值2，
∴y＝(sin x－2)2＋1的值域为[2,10]．
(2)∵sin x∈[－1,1]，且m≠0，
∴当m＞0时，y＝msin x＋n的值域是[n－m，n＋m]；
当m＜0时，y＝msin x＋n的值域是[n＋m，n－m]．
综上可知，函数y＝msin x＋n(m≠0)的值域是[n－|m|，n＋|m|]．
规律方法　求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用．
【训练2】　求y＝cos x，x∈[，]的最大值．
解　结合单位圆知y＝cos x在上y∈.故最大值为0，即ymax＝cos ＝0.
方向1　给角求值问题
【例3－1】　求下列三角函数的值：
(1)sin；(2)cos 960°.
解　(1)sin＝－sinπ＝－sin
＝－sinπ＝－sin＝－sin＝－.
(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
方向2　给值求值问题
【例3－2】　已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．
解　sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
方向3　化简问题
【例3－3】　化简(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立).
解　原式＝
＝＝
＝＝－1.
规律方法　1.解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2．化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．
(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.
课堂达标
1．sin 585°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
答案　A
2．若sin x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵x∈，∴结合单位圆知sin x∈，即－≤2m＋3≤.
∴－≤m≤－.
答案　C
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．
解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
答案　
4．已知cos＝，则cos＝________.
解析　cos＝cos
＝－cos＝－.
答案　－
5．化简：.
解　原式＝
＝
＝＝1.
课堂小结
1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用．
2．明确各诱导公式的作用
(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．
3．诱导公式的记忆
诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
基础过关
1．cos 660°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°
＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)
＝cos 60°＝.
答案　B
2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.
∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．
答案　B
3．已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
答案　D
4．函数y＝2－sin x的最小正周期为________．
解析　因为2－sin(2π＋x)＝2－sin x，所以y＝2－sin x的最小正周期为2π.
答案　2π
5．f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 016)＝1，则f(2 017)＝________.
解析　∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝1，∴asin α＋bcos β＝－1.
f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋2＝－(asin α＋bcos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.
答案　3
6．化简下列各式．
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解　(1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)
＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝1.
7．(1)已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a、b的值；
(2)求y＝－2sin x，x∈[－π，π]的最大值与最小值．
解　(1)当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2.
(2)当x＝－时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝－2.
能力提升
8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于(　　)
A. B．±
C. D.
解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∵π＜α＜2π，∴α＝π.
故sin(2π＋α)＝sin α＝sin π＝－sin＝－ (α为第四象限角)．
答案　D
9．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(A＋B)＋cos C；③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是(　　)
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.
答案　B
10．下列三角函数，其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是________(只填序号)．
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin.
解析　对于①，当n＝2m时，sin＝sin＝－sin，∴①不同；
对于②，cos＝cos＝sin，∴②，③相同；
对于④，cos＝cos＝－sin.
∴④不同；
对于⑤，sin＝sin＝sin，
∴⑤相同．
答案　②③⑤
11．已知f(x)＝则f(－)＋f()＝________.
解析　f(－)＝sin(－π)＝sin ＝，
f()＝f()－1＝f(－)－2＝sin(－)－2＝－，
∴f(－)＋f()＝－＝－2.
答案　－2
12．化简：(k∈Z)．
解　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
13．(选做题)若≤x≤，求函数y＝sin2 x－sin x＋1的最大值和最小值．
解　令t＝sin x.
∵x∈，结合单位圆知t∈，
∴y＝t2－t＋1＝2＋，t∈，
又t＝?，
∴当t＝时，ymin＝－＋1＝；
当t＝1时，ymax＝1.
4.4　单位圆的对称性与诱导公式(二)
内容要求　1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．
知识点1　±α的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(＋α)＝cos α，cos(＋α)＝－sin α.(1.13)
sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α.(1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
【预习评价】
请你根据上述规律，完成下列等式．
sin(π－α)＝－cos_α，cos(π－α)＝－sin_α.
sin(π＋α)＝－cos_α，cos(π＋α)＝sin_α.
知识点2　诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
【预习评价】
(1)cos(α－)＝________.
(2)sin(α＋)＝________.
(3)cos(3π－α)＝________.
(4)sin(2π＋α)＝________.
答案　(1)sin α　(2)cos α　(3)－cos α　(4)sin α
题型一　条件求值
【例1】　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
解　∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.
规律方法　利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．
【训练1】　已知sin＝，求cos的值．
解　∵cos＝cos＝cos
＝sin＝.
题型二　利用诱导公式化简和证明
【例2】　求证：＋
＝.
证明　左边＝＋
＝＋
＝
＝＝右边，
所以原式得证．
规律方法　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
【训练2】　设sin(α＋)＝acos(α＋)，
求证：＝.
证明　∵sin(α＋)＝acos(α＋)．
∴左边＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原等式得证．
【例3】　已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解　由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，
即sin α＝－2cos α.
∴
＝
＝
＝－.
【迁移1】　若例3中的条件不变改为求的值，则结果如何？
解　原式＝
＝＝.
【迁移2】　若例3中的条件不变改为求的值．
解　由例题知，sin α＝－2cos α.
原式＝
＝＝＝－3.
【迁移3】　若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝
－”．求原式的值．
解　∵α＝－，
∴sin α＝sin(－)＝－sin(5×2π＋)＝－sin＝－，
cos α＝cos(－)＝cos(5×2π＋)＝cos＝，
∵＝
＝＝＝－13＋7.
规律方法　所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z)时，要注意讨论k为奇数或偶数.
课堂达标
1．若sin α＝，则cos(＋α)的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　∵sin α＝，∴cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案　C
2．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析　cos＝cos
＝－sin＝－.
答案　D
3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
答案　1
4．若sin(α＋)＝，则cos(α＋)＝________.
解析　cos(α＋)＝cos[＋(α＋)]
＝－sin(α＋)＝－.
答案　－
5．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；
(2)sin.
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
课堂小结
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用－α化为内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.
基础过关
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析　∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝，
∴cos(－α)＝cos(－α)＝－cos(－α)
＝－sin α＝－.
答案　A
2．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案　A
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－m.
答案　C
4．已知sin α＝，则cos(＋α)的值为________．
解析　cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案　－
5．化简：＝________.
解析　原式＝
＝＝sin θ.
答案　sin θ
6．已知角α终边经过点P(－4,3)，求
的值．
解　∵角α终边经过点P(－4,3)，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴
＝
＝－.
7．求证：＝.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
证明　∵左边＝
＝
＝＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
能力提升
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
答案　D
9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________.
解析　cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1°
cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2°
……
cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°
∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋
(cos 90°＋cos 180°)
＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1.
答案　－1
10．已知α为第二象限角，化简＝________.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析　原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案　－1
11．若k∈{4,5,6,7} ，且sin＝－sin α，
cos＝cos α，则k＝________.
解析　利用验证法，当k＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k＝5,6,7时，不符合条件．故k＝4.
答案　4
12．化简求值：
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)sin(2nπ－)·cos(nπ＋)(n∈Z)．
解　(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos ＋cos －
cos －cos ＝0.
(2)①当n为奇数时，
原式＝sin(－)·(－cos )
＝sin(π－)·cos(π＋)
＝－sin ·cos ＝－×＝－；
②当n为偶数时，
原式＝－sin ·cos 
＝－sin(π－)·cos(π＋)
＝sin ·cos 
＝.
13．(选做题)是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
5．1　正弦函数的图像
内容要求　1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．
知识点1　正弦线
如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.
我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式．(×)
(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)
知识点2　正弦函数图像的画法
(1)几何法
利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的过程如下：
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线．
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．
⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y＝
sin x，x∈[0,2π]的图像．
(2)“五点法”
在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．
【预习评价】
1．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
答案　[，]　1
2．利用五点法作函数y＝Asin x(A＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？
提示　依次是(0,0)，(，A)，(π，0)，(，－A)，(2π，0)．
题型一　“五点法”作函数的图像
【例1】　利用“五点法”作出y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解　按五个关键点列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
－1＋sin x
－1
0
－1
－2
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
规律方法　“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．
【训练1】　(1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像．
(2)用“五点法”画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．
解　(1)列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x
0
2
0
－2
0
描点作图：
(2)列表：
x
0



π
2x
0

π

2π
sin 2x
0
1
0
－1
0
描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：
方向1　解不等式
【例2－1】　利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sinx≥－的x的范围．
解　列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图像．
由图像可得sin x≥－的范围∪.
方向2　判断方程解的个数
【例2－2】　(1)方程|sin x|＝的根中，在[0,2]内的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　如图所示，在区间[0，π]内|sin x|＝的两个根为和，又因为2＜，所以在区间[0,2]内|sin x|＝只有一个根.
答案　A
(2)求方程lg x＝sin x的实数解的个数．
解　作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．
方向3　求参数的取值范围
【例2－3】　函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
解　y＝
作出图像分析(右图)，
∵f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．
∴1＜k＜3.
故实数k的取值范围是(1,3)．
规律方法　1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
2．一般地，函数y＝|f(x)|的图像可将函数y＝f(x)的图像作如下变换得到：在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方，x轴上方的部分保持不变.
课堂达标
1．函数y＝sin x (x∈R)图像的一条对称轴是(　　)
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
答案　D
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点(　　)
A．(，) B．(，1)
C．(π，0) D．(2π，0)
解析　易知(，)不是关键点．
答案　A
3．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
解析　画出y＝sin x的图像（图像略）可得．
答案　[，]
4．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
解析　如图所示，
x1＋x2＝2×＝3π.
答案　3π
5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sin x－1的图像．
解　(1)列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x－1
－1
1
－1
－3
－1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，(，1)，(π，－1)，(，－3)，(2π，－1)．
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
课堂小结
1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，，π，，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．
2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.
基础过关
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
答案　D
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像(　　)
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．
答案　B
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　由1＋sin x＝2，得sin x＝1，∵x∈[0,2π]，只有当x＝时，sin x＝1.
答案　B
4．函数y＝sin x，x∈的图像与函数y＝x的图像交点个数是________．
解析　在同一坐标系内画出图像．
答案　1
5．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
解析　所描五个点为(0,0)，(，1)，(π，0)，，(2π，0)，横坐标和为0＋＋π＋＋2π＝5π.
答案　5π
6．用五点法作函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π] 的图像．
解　列表如下：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
2＋sin x
2

2

2
描点作图，如图所示：
7．求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
解　由题意，x满足不等式组
即作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
能力提升
8．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．
答案　A
9．已知函数y＝2sin x的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．4π D．2π
解析　数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
答案　C
10．函数y＝的定义域是__________________．
解析　由logsin x≥0知0答案　(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
11．如果直线y＝a与函数y＝sin x，x∈的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是________．
答案　[－1,0)∪{1}
12．函数f(x)＝2sin x＋|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝m＋1有且仅有两个交点，求m的范围．
解　∵f(x)＝2sin x＋|sin x|
＝
作出图像分析，
由有且仅有两个交点，可得
0＜m＋1＜3或－1＜m＋1＜0，
即－1＜m＜2或－2＜m＜－1，
即m的范围为{m|－2＜m＜2且m≠－1}．
13．(选做题)判断方程x2－sin x＝0的根的个数．
解　设f(x)＝x2，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图像有两个交点，即方程x2－sin x＝0有两个根.
5.2　正弦函数的性质
内容要求　1.理解正弦函数y＝sin x，x∈R的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．
知识点1　正弦函数的性质
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0),2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(－x)为奇函数(√).
(2)函数y＝sin x，x∈[－，]的值域是[－，](×).
(3)函数y＝sin x在[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是单调递增的(√).
(4)函数y＝sin x在第一象限内是递增的(×).
题型一　与正弦函数有关的值域问题
【例1】　求下列函数的值域：
(1)y＝sin(2x－)，x∈[0，]；
(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2.
解　(1)∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，－≤2x－≤，令2x－＝t，则原式转化为y＝sin t，t∈[－，]．
由y＝sin t的图像知－≤y≤1，
∴原函数的值域为[－，1]．
(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2＝－2(sin x－)2＋.
∵－1≤sin x≤1，
∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，
ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y＝－2sin2x＋5sin x－2的值域是[－9,1]．
规律方法　1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
2．求值域时，注意：(1)利用sin x的有界性；(2)利用y＝sin x的单调性．
【训练1】　(1)函数y＝2sin x＋1的值域是(　　)
A．[1＋，3] B．[1＋，3]
C．[1－，1＋] D．[－1,3]
(2)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是________（填序号）．
①b－a的最小值为；
②b－a的最大值为；
③a不可能等于2kπ－(k∈Z)；
④b不可能等于2kπ－(k∈Z)．
解析　(1)画出函数y＝2sin x＋1(≤x≤)的图像如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝，最大值为3.
(2)由图像知，b－a的最大值为(如a＝－，b＝)；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)．若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图像可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1.所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)．
答案　(1)B　(2)①②③
题型二　正弦函数的周期性与奇偶性
【例2】　求下列函数的周期：
(1)y＝sinx；
(2)y＝|sin x|.
解　(1)∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期是4π.
(2)作出y＝|sin x|的图像，如图．
故周期为π.
规律方法　1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．
【训练2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin x；
(2)f(x)＝|sin x|＋1.
解　(1)∵x∈R，且关于原点对称，
又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
方向1　利用正弦函数的单调性比较大小
【例3－1】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)sin 1，sin 2，sin 3.
解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
0<π－3<1<π－2<且y＝sin x在上递增，
∴sin(π－3)方向2　求函数的单调区间
【例3－2】　求函数y＝－sin x＋3的单调区间．
解　∵y＝－sin x＋3与y＝sin x的增减性相反．
而y＝sin x的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．
∴函数y＝－sin x＋3的单调增区间是(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
方向3　求复合函数的单调区间
【例3－3】　求函数y＝logsin x的单调递增区间．
解　由sin x＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∵0<＜1，
∴函数y＝logsin x的递增区间即为u＝sin x＞0的递减区间．
∴2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝logsin x的递增区间即为
(k∈Z)．
规律方法　1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
2．求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.
课堂达标
1．函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)
A. B．[－π，0]
C. D.
解析　由≤x＋≤π，
解得≤x≤π.故选D.
答案　D
2．下列函数中是奇函数的是(　　)
A．y＝－|sin x| B．y＝sin(－|x|)
C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x|
解析　利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．
答案　D
3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________.
解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.
答案　1
4．函数y＝|sin x|的值域是________．
解析　作出函数y＝|sin x|的图像(图像略)可知．
答案　[0,1]
5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解　∵－1≤sin  x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课堂小结
1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
3．观察正弦曲线不难发现：
(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．
(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.
基础过关
1．函数y＝cos(x∈R)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．无法确定
解析　y＝cos＝－sin x.
答案　A
2．函数f(x)＝|sin x|的一个递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析　画出函数f(x)＝|sin x|的图像如图所示，由图像可知是函数f(x)＝
|sin x|的一个递增区间．
答案　C
3．设M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－2
解析　∵M＝－1，m＝－－1，
∴M＋m＝－2.
答案　D
4．函数y＝的定义域是________，单调递减区间是________．
解析　∵－2sin x≥0，sin x≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，
即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
∵y＝与y＝sin x的单调性相反，
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　(k∈Z)
5．设a＝cos 29°，b＝sin 144°，c＝sin 50°，则a，b，c的大小关系为________．
解析　a＝cos 29°＝sin 61°，b＝sin 144°＝sin 36°，c＝sin 50°，由正弦函数的单调性可知sin 36°＜sin 50°＜sin 61°，即b＜c＜a.
答案　b＜c＜a
6．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
解　(1)因为π<<<，且y＝sin x在上是减少的，
所以sin＞sin.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin π，
sin＝sin＝sin ，
因为＞π＞＞0，且y＝sin x在上是增加的，所以sinπ＞sin ，
即sin＞sin.
7．设|x|≤，求函数f(x)＝1－sin2 x＋sin x的最小值．
解　f(x)＝1－sin2x＋sin x
＝－2＋.
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
∴当sin x＝－时，f(x)min＝.
能力提升
8．下列不等式中成立的是(　　)
A．sin＜sin
B．sin＜sin
C．sin 3＞sin 2
D．sin π＞sin
解析　y＝sin x在上为增函数，而－＜－，故sin＜sin，故选A.
答案　A
9．设函数f(x)＝sin |x|，则f(x)(　　)
A．在区间上是减函数
B．是周期为2π的周期函数
C．在区间上为增函数
D．对称中心为(kπ，0)，k∈Z
解析　由图易知，f(x)在上是减函数．
答案　A
10．若方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根，则a的取值范围是________．
解析　在同一坐标系中作出函数y＝sin x，x∈的图像(图略)，易知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，
两图像有两个不同的交点，即方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根．
答案　(－1,1－]
11．函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，π]的值域是________．
解析　令t＝sin x，y＝f(t)，
∵x∈[，]，
∴≤sin x≤1，即≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－＝2(t＋)2－1，
∴1≤y≤，
∴函数f(x)的值域为[1，]．
答案　[1，]
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由解得
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由解得
13．(选做题)已知函数f(x)＝|sin x－a|，a∈R.
(1)试讨论函数f(x)的奇偶性．
(2)求当f(x)取得最大值时，自变量x的取值范围．
解　(1)当a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)当a＞0且sin x＝－1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；
当a＜0且sin x＝1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；
当a＝0且sin x＝±1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为.
§6　余弦函数的图像与性质
内容要求　1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点1　余弦函数的图像
余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线．
根据诱导公式sin＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)．
要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝
cos x，x∈[0,2π]的图像．
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以向左、向右无限伸展．(√)
(2)y＝cos x 的图像与y＝sin x的形状完全一样，只是位置不同(√)
(3)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点(√)
(4)y＝cos x的图像关于y轴对称(√)
知识点2　余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝－cos x的最小正周期为2π.(√)
(2)函数y＝－cos x在区间[0，]上是增函数．(√)
(3)函数y＝sin(x－)的图像关于x＝0对称．(√)
(4)函数y＝sin(－x)是奇函数．(×)
题型一　余弦函数的图像及应用
【例1】　画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
(1)y≥时x的集合；
(2)－≤y≤时x的集合．
解　用“五点法”作出y＝cos x的简图．

(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为.
(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－≤y≤时x的集合为：
或
.
规律方法　“五点法”画函数图像的三个步骤
【训练1】　(1)函数y＝cos 2x，x∈[0,2π]的简图是(　　)
解析　由2x＝0，，π，，2π可得五点，描图知，A为x∈[0，π]上的简图；D为x∈[0,2π]上的简图．
答案　D
(2)作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图像．
解　①列表：
x
0

π

2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x

1

1

②作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．
题型二　余弦函数的性质
【例2】　已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．
解　(1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．
(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，
∴y＝2＋cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2 kπ，2 kπ＋π]( k∈Z)．
(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.
规律方法　对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练2】　(1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
(2)比较cos与cos的大小．
解　(1)∵－＜0，
∴y＝1－cos x的单调性与y＝cos x的单调性相反．
∵y＝cos x的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴y＝1－cos x的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)cos＝cos＝cos.
cos＝cos.
又0＜＜＜π，
且函数y＝cos x在[0，π]上是减少的，
∴cos＞cos，即cos＜cos.
【例3】　函数y＝－cos2x＋cos x的值域为________．
解析　y＝－2＋.
因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
所以函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
答案　
【迁移1】　求本例中x∈时函数的值域．
解　∵y＝－2＋，
因为x∈，所以≤cos x≤1.
所以当cos x＝时ymax＝，
cos x＝1时ymin＝0，
∴原函数的值域为[0，]．
【迁移2】　求本例中x∈时函数的值域．
解　由x∈，所以0≤cos x≤1，
此时函数y＝－cos2x＋cos x的值域也为.
【迁移3】　若将本例改为已知函数y＝a－bcos x的值域为，求ab的值．
解　∵函数y＝a－bcos x的最大值是，最小值是－.
当b＞0时，由题意得：
∴
ab＝.
当b＜0时，由题意得：
∴
ab＝－.
综上所述，ab＝±.
规律方法　与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法
(1)利用sin x，cos x的有界性．
(2)利用sin x，cos x的单调性．
(3)化为sin x＝f(x)或cos x＝f(x)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数.
课堂达标
1．下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析　画出y＝sin|x|的图像(图略)，易知D选项不是周期函数．
答案　D
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
答案　B
3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是________．
解析　如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形．
答案　2π
4．使cos x＝有意义的实数m的取值范围是________．
解析　－1≤≤1；即≤1；|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
答案　{m|m≤0}
5．(1)已知函数y＝lg(2cos x＋1)，求它的定义域和值域；
(2)求函数y＝2－3的值域．
解　(1)2cos x＋1＞0，即cos x＞－.
∴定义域为.
令y＝lg t，t＝2cos x＋1，则0＜t≤3.
∴y≤lg 3，即值域为(－∞，lg 3]．
(2)设t＝cos x，则－1≤t≤1.
原函数可转化为：y＝2－3.
∴当t＝时，ymin＝－3；
当t＝－1时，ymax＝－.
∴值域为.
课堂小结
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
2．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
基础过关
1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为(　　)
解析　由题意得
y＝
显然只有D合适．
答案　D
2．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
解析　因为y＝cos x为偶函数并且在[－b，－a]上是增函数，所以y＝cos x在[a，b]上递减，故选C.
答案　C
3．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤π.
∴cos π≤cos≤cos ，
∴－≤y≤.故选B.
答案　B
4．函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是________．
解析　∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
5．比较大小：cosπ________cosπ.
解析　∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0＜＜＜，∴cos＞cos，
即cos＞cos.
答案　＞
6．比较下列各组数的大小．
(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.
解　(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°cos 221°.
(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，
∴cosπ7．求函数y＝的值域．
解　y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
能力提升
8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
答案　A
9．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
由正弦函数的单调性得sin 11°即sin 11°答案　C
10．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为__________________________．
解析　要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案　
11．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
解析　y＝2－，
∴当cos x＝1时，y最小值为0.
答案　0
12．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
解　(1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图像如图所示．
(2)由图像知函数的周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)求函数f(x)＝－cos2x＋cos x＋的最大值．
解　f(x)＝－cos2x＋cos x＋，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
7．1　正切函数的定义
7．2　正切函数的图像与性质
内容要求　1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．
知识点1　正切函数的定义
(1)任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．
(4)正切线：
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为(　　)
A．7 B．8
C．15 D.
解析　由正切函数的定义tan α＝＝，解之得x＝8.
答案　B
2．函数y＝tan 2x的定义域为________．
解析　由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．
解得x≠＋(k∈Z)．
答案　
知识点2　正切函数的图像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：
(2)正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示　正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．
知识点3　正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域

值域
R
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增加的
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数(×)
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√)
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数(×)
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)
题型一　正切函数的定义
【例1】　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．
解　r＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
规律方法　已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0






tan α
0

1

－
－1
－
【训练1】　若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.
解　∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tan α＝，角α的终边上必有一点P(2,1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
题型二　正切函数的图像及应用
【例2】　利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝的x的集合．
解　∵当x∈时，y＝tan x≤0，
当x∈时，y＝tan x＞0，
∴y＝|tan x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
规律方法　1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
【训练2】　(1)函数y＝的定义域为________．
解析　要使该函数有意义，则有
即x≠kπ－且x≠kπ＋.
答案　
(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
解　作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
方向1　比较大小
【例3－1】　比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．
解　∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan (2－π)即tan 2方向2　求解最值
【例3－2】　若x∈，求函数y＝tan2x＋2tan x＋2的最值及相应的x值．
解　令t＝tan x，∵x∈，
∴t∈[－，1]，
y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝1，
当t＝1，即x＝时，ymax＝5.
方向3　性质的综合应用
【例3－3】　已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a＞0，求f(x)在上的值域．
解　(1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a＞0时，f(x)在(k∈Z)上单调递减，
当a＜0时，f(x)在(k∈Z)上单调递增．
(4)当a＞0时，f(x)在上单调递减，故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
规律方法　1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
课堂达标
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是(　　)
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
解析　由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋.
答案　C
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为(　　)
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析　由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.
解之得kπ－＜x＜kπ＋，故选C.
答案　C
3．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析　由P点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案　四
4．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________.
解析　由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.
答案　－
5．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．
解　因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－＜θ＜，
∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.
∴满足题意的θ为或－.
课堂小结
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.
(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增加的.
基础过关
1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是(　　)
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析　若sin θ＞0，tan θ＜0，则θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，则θ在第三象限．
答案　B
2．若已知角α满足sin α＝，cos α＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由三角函数定义可知tan α＝.
答案　B
3．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
解析　由＝2π，故选C.
答案　C
4．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间是________________．
解析　由y＝2tan x与y＝cos x的图像知，同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
答案　(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
5．函数y＝tan x的值域是________．
解析　∵y＝tan x在区间上单调递增．
tan＝－tan ＝－1，tan＝，
∴y＝tan x在上的值域是.
答案　[－1，]
6．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解　由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
7．利用函数图像，解不等式－1≤tan x≤.
解　作出函数y＝tan x的图像，如图所示．观察图像可得：
在内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，
满足不等式的x的解集为
.
能力提升
8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图像的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图像的一个对称中心，故选C.
答案　C
9．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D.
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
答案　A
10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是____________．
解析　∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案　[－1,0)
11．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
答案　[－4,4]
12．若函数f(x)＝tan2x－atan x的最小值为－6.求实数a的值．
解　设t＝tan x，因为|x|≤，
所以t∈[－1,1]．
则原函数化为：y＝t2－at＝2－，
对称轴t＝.
①若－1≤≤1，则当t＝时，
ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)；
②若＜－1，即a＜－2时，
二次函数在[－1,1]上递增，
ymin＝2－＝1＋a＝－6，
所以a＝－7；
③若＞1，即a＞2时，二次函数在[－1,1]上递减．
ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7.
综上所述，a＝－7或a＝7.
13．(选做题)已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解　(1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．
7.3　正切函数的诱导公式
内容要求　1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)．
知识点1　正切函数的诱导公式
函数角
y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α
tan α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan α
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，符号看象限
－α
cot α
【预习评价】
1．下列诱导公式中错误的是(　　)
A．tan(π－α)＝－tan α
B．cos＝sin α
C．sin(π＋α)＝－sin α
D．cos(π－α)＝－cos α
答案　B
2．tan等于(　　)
A．－cot α B．cot α
C．tan α D．－tan α
答案　A
题型一　三角函数间关系的应用
【例1】　已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解　(1)因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.
∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
规律方法　三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．
【训练1】　已知α为第二象限角，且tan α－＝，
求的值．
解　由tan α－＝，
得4tan2α－15tan α－4＝0，
得tan α＝－或tan α＝4.
又α为第二象限的角，
所以tan α＝－.
故＝
＝＝.
题型二　利用诱导公式求值
【例2】　求以下各式的值：
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2).
解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝2＋.
规律方法　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
【训练2】　(1)tanπ＋tan的值为(　　)
A．－ B．0
C. D．－
(2)若f(x)＝tan x，则f(600°)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　(1)tan π＋tan
＝tan＋tan
＝tan－tan
＝－－＝－，故选D.
(2)f(600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝.
答案　(1)D　(2)C
方向1　化简
【例3－1】　(1)化简：
；
(2)若a＝，求a2＋a＋1的值．
解　(1)
＝
＝
＝＝1
(2)a＝
＝
＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
方向2　证明
【例3－2】　＝－tan α.
证明　左边＝
＝
＝
＝＝＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
方向3　化简并求值
【例3－3】　已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值;
(3)若α＝－120°，求f(α)的值．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解　(1)f(α)
＝
＝＝－cos α.
(2)因为tan(π－α)＝－2，
所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，
所以(2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
规律方法　1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
解析　tan 300°＋sin 450°
＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.
答案　B
2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是(　　)
A．α为锐角
B．α为不等于的任意角
C．α为任意角
D．α≠kπ＋(k∈Z)
解析　由正切函数的定义可知α≠kπ＋(k∈Z)．
答案　D
3．已知tan＝，则tan的值为________．
解析　tan＝tan
＝tan＝－tan
＝－.
答案　－
4．tan＋tan＋tan＋tan的值为________．
解析　原式＝tan＋tan＋tan＋tan
＝tan＋tan－tan－tan＝0.
答案　0
5．已知角α的终边经过点P(4，－3)，
(1)求sin α，cos α，tan α的值;
(2)求·的值．
解　(1)因为r＝＝5，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－.
(2)·
＝·＝－＝－＝－.
课堂小结
(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．
(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．
特别提醒　应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.
基础过关
1．tan的值为(　　)
A. B．－
C.  D．－
解析　tan＝tan＝tan＝.
答案　C
2．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是(　　)
A．－ B．－
C．± D．±
解析　∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝，tan(180°－α)＝－tan α＝－.
答案　A
3．已知tan(－80°)＝k，那么tan 100°的值是(　　)
A．－k B．k
C. D.
解析　tan(－80°)＝－tan 80°＝k，则tan 80°＝－k.
tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k.
答案　B
4．函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋2，且f(－3)＝5，则f(3)等于________．
解析　∵f(－3)＝asin(－6)＋btan(－3)＋2＝5，
∴－asin 6－btan 3＝3，即asin 6＋btan 3＝－3.
∴f(3)＝asin 6＋btan 3＋2＝－3＋2＝－1.
答案　－1
5．已知tan＝，则tan＝________.
解析　tan＝tan
＝－tan＝－.
答案　－
6．求下列各式的值：
(1)sincostan；
(2)sin(－1 200°)tan－cos 585°tan.
解　(1)原式＝sincostan
＝costan
＝cos＝
＝－×＝－.
(2)原式＝－sin(4×360°－240°)tan－cos(360°＋225°)
＝－sin(－240°)tan－cos 45°tan
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－sin 60°－
＝－.
7．已知角α的终边与单位圆交于点，
试求的值．
解　原式＝
＝－＝－tan2α.
∵角α的终边与单位圆交于点，
∴tan α＝－.∴原式＝－.
能力提升
8．已知tan(π－α)＝－，则的值是(　　)
A. B.
C. D．1
解析　由tan(π－α)＝－得tan α＝.
∴＝＝＝.
答案　B
9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析　原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)
＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]
＝－1.
答案　B
10．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝________.
解析　由tan(π－x)＝，知tan x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝－tan(π－x)
＝tan x＝－.
答案　－
11．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
解析　由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.
∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
答案　－2
12．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
13．(选做题)设tan＝a，求的值．
解　原式＝
＝
＝＝.
§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
内容要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．
知识点1　振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
(2)要得到函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．
【预习评价】　
(1)函数y＝－2sin的最大值为________最小值为________．
答案　2　－2
(2)函数y＝－cos x取得最大值时的x的集合为________．
答案　{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
知识点2　相位变换
(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．
(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
【预习评价】
(1)如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin的图像？
提示　向左平移个单位长度．
(2)如何由y＝sin的图像变换为y＝sin x的图像？
提示　向右平移个单位长度
知识点3　周期变换
(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．
(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
【预习评价】
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
答案　B
2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.
答案　±2
题型一　五点作图法
【例1】　用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解　(1)列表：
x





x－
0

π

2π
y
0
3
0
－3
0
(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．
(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3 sin的图像．
此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.
规律方法　五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：
(1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．
(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．
【训练1】　用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值.
x
－




2x＋
0

π

2π
y
0
2
0
－2
0
(2)描点．
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．
此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.
题型二　由图像求函数的解析式
【例2】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．
解　方法一　(逐一定参法)
由图像知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图像上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图像知A＝3.∵图像过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三　(图像变换法)
由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法　三角函数中系数的确定方法：
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．
【训练2】　如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．
解　由图像知A＝5.
由＝－π＝，
得T＝3π，
∴ω＝＝.∴y＝5sin(x＋φ)．
下面用两种方法求φ：
方法一　(单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
方法二　(最值点法)
将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，
得5sin(＋φ)＝5，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
∴函数式为y＝5sin(x＋)．
【例3】　如何由y＝sin x的图像得到y＝2cos的图像？
解　y＝2cos＝2cos 
＝2cos
＝2sin，
【迁移1】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解　因为y＝2cos
＝2cos
＝2cos，
所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移2】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解　因为y＝2cos＝2cos，所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移3】　从例3中得到的函数图像再得出y＝－2cos的图像应如何变换？
解　把y＝2cos的图像作关于x轴的对称图像即可．
规律方法　通常，由y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
(1)(相位变换)先把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ)的图像．
(2)(周期变换)把函数y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(ωx＋φ)的图像．
(3)(振幅变换)把函数y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
(4)把得到的y＝Asin(ωx＋φ)的图像向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．
也可以先周期变换再相位变换.
课堂达标
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
答案　A
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析　C1：y＝cos x，C2：y＝sin，
首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．
y＝cos x＝sin，即y＝sin
y＝sin＝sin2
y＝sin 2＝sin.
答案　D
3．把函数y＝sin的图像向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图像．
解析　y＝sin＝sin 2，所以将其向右移个单位得到y＝sin 2x的图像．
答案　右　
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析　由＝－＝，∴T＝π，
由T＝(ω＞0)得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.
∴点的坐标为(2，)．
答案　
5．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解　列表：
x－
0

π

2π
x
π

4π

7π
y＝sin
0

0
－
0
描点画图(如图所示)：
课堂小结
1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0)．
2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.
基础过关
1．最大值是，周期是，初相是的函数表达式可能是(　　)
A．y＝sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析　∵函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值为，周期为，初相为，∴A＝，ω＝3，φ＝.
答案　A
2．函数y＝2sin的相位和初相分别是(　　)
A．－2x＋， B．2x－，－
C．2x＋， D．2x＋，
解析　y＝2sin
＝2sin
＝2sin
∴相位和初相分别为2x＋，.
答案　C
3．将函数y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析　将y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像．
答案　A
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图像经过点，则这个函数的解析式是________．
解析　由已知得A＝3，T＝＝，故ω＝6.
∴y＝3sin(6x＋φ)．把代入，
得3sin φ＝－，sin φ＝－.
又π＜φ＜2π，∴φ＝.
∴y＝3sin.
答案　y＝3sin
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(x)=________．
解析　由图知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
答案　sin
6．怎样由函数y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像，试叙述这一过程．
解　由y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝sin的图像有两种变化途径：
①y＝sin xy＝sin
y＝sin.
②y＝sin x
y＝sin 2xy＝sin.
7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解　(1)因为函数图像的一个最高点为，
所以A＝，x＝为其中一条对称轴，
这个最高点到相邻最低点的图像与x轴交于点.
所以＝－＝.
又T＝＝π，所以ω＝2，
此时y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f＝，所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ.
又φ∈，所以φ＝，
所以y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
0




π
2x＋


π

2π

y
1

0
－
0
1
作图如下：
能力提升
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则f等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　∵T＝－＝，∴T＝.
∴＝，即ω＝3.
又∵3×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－.
∴f＝sin＝sin＝sin＝－.
答案　B
9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)
A. B.
C．0 D．－
解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图像，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以选B.
答案　B
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______（填序号）．
答案　①③
11．若y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是________．
解析　由最小值为－2可得A＝2，
由题意得T＝6π＝，故ω＝，
则y＝2sin，
又sin φ＝，|φ|＜，故φ＝，
所以y＝2sin.
答案　y＝2sin
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解　(1)由图可知A＝2，T＝－＝4π，则ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
即2sin＝2，可得φ＝2kπ＋，
又－＜φ＜，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x
＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos
＝sincos
＝(－1)×＝.
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式．
(2)将x＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像．写出函数y＝g(x)的解析式并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解　(1)由已知，易知A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，
解得T＝6π，所以ω＝.
把(0,1)代入解析式y＝2sin，
得2sin φ＝1.又|φ|＜，所以解得φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移，得g(x)＝2sin＝2sin.
列表：
x－
0

π

2π
x





2sin
0
2
0
－2
0
图像如图：
§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
内容要求　1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).
2.理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)．
知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；
递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
【预习评价】
(1)函数y＝2sin(2x＋)＋1的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.
答案　C
(2)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
解析　由题意T＝＝π，故选C.
答案　C
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
【例1】　求函数y＝sin，x∈的值域．
解　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.
∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
规律方法　求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
【训练1】　求函数y＝2sin的最大值和最小值．
解　∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
方向1　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期
【例2－1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝sin(x∈R)．
解　(1)T＝＝π.
(2)T＝＝4.
方向2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性
【例2－2】　(1)函数y＝sin的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．
(2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D．－
解析　(1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数y＝sin的图像的对称中心为(k∈Z)．
(2)由f(x)＝2sin为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.
∴当k＝0时φ＝.故选A.
答案　(1)x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
(2)A
方向3　函数y＝Asin(ωx＋φ) 单调性
【例2－3】　求函数y＝2sin的递增区间．
解　∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间就是函数
u＝2sin的递减区间．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为：
(k∈Z)．
规律方法　1.关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性
(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
2．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的四个步骤
(1)将ω化为正值．
(2)根据A的符号确定应代入y＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间．
(3)将ωx＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间．
(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间．
题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知
sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又∵f(x)在[0，]上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点
(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ω后再观察x的变化．
(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解出x的值．
(3)对于值域问题同样是将ωx＋φ看作整体，不同的是根据x的范围求ωx＋φ的范围，再依据图像求值域．
(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数．
【训练2】　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解　(1)∵x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，由此可得φ＝－.
(2)由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin的单调递增区间为
，k∈Z.
课堂达标
1．函数y＝2sin－1的图像的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析　3x－＝kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，
令k＝0，则x＝，把x＝代入y＝2sin－1，
得y＝－1，∴对称中心为.
答案　D
2．函数y＝3sin的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析　y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin的递减区间就是
y＝sin(3x－)的递增区间．
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)得－≤x≤＋(k∈Z)．
答案　C
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1 C. D.
解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案　A
4．函数f(x)＝3sin的图像为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
①图像C关于直线x＝对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
解析　由于2×－＝，故①正确．
由于2×－＝π，故②正确；由x∈得2x－∈，故函数f(x)为增函数，故③正确；将函数y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得函数y＝3sin2＝3sin的图像，故④不正确．
答案　①②③
5．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解　(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)．所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
课堂小结
1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.
基础过关
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案　A
2．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”横坐标是(　　)
A．－，， B．－，，
C．－，， D．－，，
解析　由题x＝－，－时y＝2sin≠0，故A、C、D错．
答案　B
3．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　f(x＋α)＝sin，
f(x＋3α)＝sin，
因为f(x＋α)＝f(x＋3α)且α∈(0，π)，
所以2x＋2α－＝2x＋6α－.
所以α＝.故选D.
答案　D
4．函数y＝sin，x∈的单调递增区间为________．
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵y＝sin x在上单调递增．
∴－≤x＋≤.
解得－π≤x≤.故填.
答案　[－π，]
5．函数y＝－2sin的图像与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．
解析　函数y＝－2sin的图像与x轴相交．
∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z)．
当k＝1时，交点离原点最近坐标为.
答案　
6．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
解　f(x)＝－2asin＋b，
∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈.
则当a＞0时，
∴a＝3，b＝1.
当a＜0时，
∴a＝－3，b＝－2.
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解　(1)∵图像最高点坐标为，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2.∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
能力提升
8．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数
(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析　由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.
答案　B
9．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析　函数f(x)＝cos的图像可由y＝cos x的图像向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
答案　D
10．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
解析　由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案　2
11．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．
解析　令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；
由k＝－1，得x＝－.
答案　x＝－
12．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的范围．
解　令
y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解．
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与对数函数y＝g(x)在同一坐标系中的图像如图所示．
(1)分别写出两个函数的解析式；
(2)方程f(x)＝g(x)共有多少个解？
解　(1)由图像知A＝2，φ＝0，T＝2，
故ω＝π，f(x)＝2sin πx.
设g(x)＝logax，由图像知loga4＝－1，
故a＝，g(x)＝logx.
(2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为－2.故当g(x)≥－2时，可能有交点，由logx≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；
当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；
当x＞16时，图像无交点．
综上可知，f(x)＝g(x)共有17个解．
§9　三角函数的简单应用
内容要求　1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1　利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．
【预习评价】　求下列函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(2)y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(3)y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝.
知识点2　三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【预习评价】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系？
提示　A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
题型一　已知解析式求周期最值
【例1】　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解　(1)当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
规律方法　由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．
【训练1】　单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)图略．
(2)当t＝0时，
s＝6sin＝6×＝3，即
单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.
题型二　已知模型求解析式
【例2】　如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
解　由图像可知A＝300，
又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π(－)＋φ＝0即φ＝，
∴I＝300sin.
规律方法　将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．
【训练2】　如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．
解析　设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，
周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，
则y＝2sin.
将点(0.1,2)代入，得φ＝.
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.
答案　y＝2sin
【例3】　据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为(　　)
A．4.2万元 B．5.6万元
C．7万元 D．8.4万元
解析　由题知A＝2，T＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝，φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7，
把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．
答案　D
【迁移1】　例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？
解　由f(x)＝2sin＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．
【迁移2】　例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？
解　由2sin＋7＜7得5＜x＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．
规律方法　三角函数的应用在生产生活中的求解框图
课堂达标
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)
A. B. C. D.
解析　T＝，所以，＝＝2π，则l＝.
答案　D
2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x··
解析　观察图像知，函数为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；令x＝，f＝0，A不合适，故选C.
答案　C
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
解析　t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式知单摆周期T＝＝π，频率为.
答案　
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析　由题意得　∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案　20.5
5．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin  t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
基础过关
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析　该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.
答案　C
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安 B．5安
C．5 安 D．10安
解析　由图像知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝，∴I＝10sin(100πt＋)，
当t＝秒时，I＝－5安．
答案　A
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为(　　)
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
解析　由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．
答案　B
4．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
解析　∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
答案　26,27,28
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析　将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案　10sin
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解　(1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得
cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
能力提升
8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析　由－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π.
答案　C
9.如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为(　　)
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
解析　最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝
－2cost＋2.5.
答案　C
10．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
解析　振幅A＝10，T＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过
200 cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10 cm.
答案　200,10
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin(·ω＋)＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以－<，
即ω<12，令k＝0，得ω＝.
答案　
12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解　(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．
第一章 三角函数
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．
2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．
善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．
3．三角函数的图像与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
，(k∈Z)
值域
[－1,1]
[－1,1]
(－∞，＋∞)
续表
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
无最大值、最小值
周期性
周期T＝2kπ(k∈Z)
周期T＝2kπ(k∈Z)
周期T＝kπ(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数
在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
对称性
轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)(k∈Z)
轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心(k∈Z)
中心对称图形，对称中心(k∈Z)
4.三角函数的图像与性质的应用
(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．
(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．
要点一　任意角的三角函数的定义
有关三角函数的概念主要有以下两个方面：
(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例1】　已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．
解　(1)当m＝0时，θ＝2kπ±，k∈Z；
当θ＝2kπ＋时，sin θ＝1，tan θ不存在；
当θ＝2kπ－时，sin θ＝－1，tan θ不存在．
(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
(3)当θ在第一、二象限时，
sin θ＝，tan θ＝.
(4)当θ在第三、四象限时，
sin θ＝－，tan θ＝－.
【训练1】　已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
解　由题意，得r＝，
所以sin θ＝＝m.
因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－；
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
要点二　诱导公式的应用
(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”．
(2)对于±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．
注意：
①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化．
②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．
③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．
【例2】　(1)若θ∈(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)，则＝(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β， a，b均为非零实数，若
f(2 016)＝－1，则f(2 017)等于________．
解析　(1)
＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，
∴sin θ－cos θ＞0，
故原式＝sin θ－cos θ.
(2)由诱导公式知f(2 016)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 017)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)
＝－(asin α＋bcos β)＝1.
答案　(1)A　(2)1
【训练2】　已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解　(1)∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cos α＝.故所求式子的值为.
要点三　三角函数的图像及变换
1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，π，2π.
2．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，应明确A、ω决定“变形”，φ、h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A、ω、φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
【例3】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图像如图．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？
解　(1)A＝3，＝＝5π，
故ω＝.
由f(x)＝3sin过得sin＝0.
又|φ|＜，故φ＝－，
故f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数(m＞0)，
知－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)．
∵m＞0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图像向左平移个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．
【训练3】　已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2cos
D．f(x)＝2sin
解析　由图像知周期T＝4π，则ω＝，排除B、D；由f(0)＝1，可排除A.
答案　C
要点四　三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
【例4】f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在
[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明　∵f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)的周期为2.
∴f(x)在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．
∴f(x)在[－1,0]上单调递减．
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．
∴f(x)在[0,1]上单调递增．①
∵α，β是锐角三角形的两个内角，
∴α＋β>，
∴α>－β，且α∈，－β∈.
又∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin α>sin＝cos β，即sin α>cos β.②
由①②，得f(sin α)>f(cos β)．
【训练4】　已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈时，
－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
要点五　三角函数的综合应用
(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；
(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；
(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；
(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．
【例5】　已知函数f(x)＝log.
(1)求它的定义域和值域、单调区间；
(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
解　令u(x)＝sin.
f(x)＝log
＝－＋logsin.
(1)要使f(x)有意义，则sin＞0，所以2kπ＜x－＜(2k＋1)π(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．
因为0＜sin≤1，所以0＜sin≤，
所以f(x)＝logu(x)≥－.
所以f(x)的值域为.
x－∈时，u(x)是增函数，所以f(x)＝logu(x)是减函数．
所以x∈时，函数是减函数．
同理可求得x∈(k∈Z)时，函数是增函数．
(2)因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
又f(x＋2π)＝－＋logsin
＝－＋logsin＝f(x)，
其中x∈(k∈Z)，所以f(x)是周期函数，且最小正周期是2π.
【训练5】　函数f(x)＝cos x＋2|cos x|在[0,2π]上与直线y＝m有且仅有2个交点，求m的取值范围．
解　f(x)
＝
如图：
由图可知：当m＝0或1＜m≤3时，直线y＝m与f(x)的图像有且仅有2个交点.
基础过关
1．sin(－60°)的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　sin(－60°)＝－sin 60°＝－.
答案　C
2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P(x,4)，且cos α＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　∵α是第二象限角，且终边经过点P(x,4)．
∴x＜0.
cos α＝＝，x＝－3.则P(－3,4)．
∴tan α＝＝－.
答案　D
3．已知2sin＝1，则cos(α＋π)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　∵2sin＝2cos α＝1，
∴cos α＝，cos(α＋π)＝－cos α＝－，故选B.
答案　B
4．已知扇形AOB的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．
解析　由2R＋l＝6，＝1，得R＝l＝2，
∴S＝×2×2＝2.
答案　2
5．函数y＝3sin在区间上的最大值是________，此时自变量x＝________.
解析　∵x∈，∴－≤2x－≤.令u＝2x－，又函数y＝sin u在上的最大值为1，
∴函数y＝3sin在区间上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x－＝，即x＝.
答案　1　
6．计算－cos 585°·tan.
解　原式＝＋cos 225°tan
＝－cos·＋(－cos 45°)·tan
＝－××＋×1＝－＝.
7．已知函数f(x)＝3sin－1，x∈R，求：
(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；
(2)函数y＝sin x的图像经过怎样的变换得到函数f(x)＝3sin－1的图像．
解　(1)函数f(x)的最小值是3×(－1)－1＝－4，
此时有x＋＝2kπ－，解得x＝4kπ－(k∈Z)，
即函数f(x)的最小值是－4，此时自变量x的取值集合是.
(2)步骤是：
①将函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
②将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数
y＝sin的图像；
③将函数y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数
y＝3sin的图像；
④将函数y＝3sin的图像向下平移1个单位长度，得函数y＝3sin－1的图像．
能力提升
8．若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝(　　)
A. B．－
C.或－ D.或
解析　由2x＋＝＋nπ.n∈Z，得x＝＋.
由题意得＝＋，k＝，
又－1≤k≤1.
∴k＝或k＝－.
答案　C
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析　由题意其中k1，k2∈Z，所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝>2π，
所以0<ω<1，所以ω＝，φ＝2k1π＋π，由|φ|<π得φ＝，故选A.
答案　A
10．已知tan θ＝2，则＝________.
解析　原式＝＝＝＝－2.
答案　－2
11．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图像关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.
其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．
解析　画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图像．
由图像知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故③④正确．
答案　③④
12．已知函数y＝sin，求：
(1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
解　由y＝sin可化为y＝－sin.
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤ x≤kπ＋，k∈Z.
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f＋f＋f＋…＋f的值．
解　(1)由图像可知A＝2，
周期T＝2＝π，
所以ω＝＝＝2，
则f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由图像过点，
得2sin＝2，
即sin＝1，
取＋φ＝得φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)由(1)可知f(x)的周期为π，
因为f＋f＋f＋f＝1－－1＋＝0，
所以f＋f＋f＋…＋f
＝0×503＋f＋f＋f
＝f＋f＋f＝1－－1
＝－.
§1　同角三角函数的基本关系
内容要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2 x＝1，＝tan x (重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(难点)．
知识点　同角三角函数的基本关系
【预习评价】
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C．  D. 
答案　A
2．已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
题型一　利用同角基本关系式求值
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
规律方法　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
【训练1】　已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值．
解　当m＝0时，cos α＝±1，tan α＝＝0；
当m＝±1时，α的终边在y轴上，cos α＝0，tan α无意义；
当α在第一、四象限时，cos α＞0，
∴cos α＝＝
∴tan α＝＝；
当α在第二、三象限时，cos α＜0，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝＝＝.
题型二　已知正切求值
【例2】　已知tan α＝2.求：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解　(1)原式＝＝＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝1.
规律方法　知切求弦常见的有两类：
1．求关于sin α、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题．
2．若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，将其代入，再转化为关于tan α的表达式后求值．
【训练2】　已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1.
求：(1)tan α；
(2).
解　（1）由条件得
＝1
?＝1
?4tan2α－3tan α－1＝0
?tan α＝－或tan α＝1.
(2)原式＝，
当tan α＝－时，原式＝；
当tan α＝1时，原式＝.
方向1　三角函数式的化简
【例3－1】　化简tan α，其中α是第二象限角．
解　因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α
＝tan α
＝tan α
＝·
＝·
＝－1.
方向2　三角恒等式的证明
【例3－2】　求证：＝.
证明　左边＝＝
＝＝＝右边，所以等式成立．
方向3　利用sin α±cos α与sin αcos α的关系解题
【例3－3】　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求sin A－cos A的值．
解　(1)∵sin A＋cos A＝，
两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)由(1)sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)(sin A－cos A)2
＝1－2sin Acos A
＝.
由(2)知sin A－cos A＞0，
∴sin A－cos A＝.
规律方法　1.三角函数式化简的三种常用技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式.
课堂达标
1．已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)
A. B.
C．± D．±
解析　∵sin α＝，α∈(0，π)，
∴cos α＝±＝±，
∴tan α＝＝±.
答案　D
2．已知tan α＝－，那么sin2α＋2sin αcos α－3cos2α的值是(　　)
A．－ B．－
C．3 D．－3
解析　sin2α＋2sin αcos α－3cos2α
＝
＝，
将tan α＝－代入上式得－3.
答案　D
3．若tan α＝2，且α∈，则sin＝________.
解析　∵tan α＝＝2，∴sin α＝2cos α，
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝.
∵α∈，∴cos α＝－.
∴sin＝cos α＝－.
答案　－
4．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.
解析　(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α
＝1－2sin αcos α＝.
则sin α－cos α＝±.
答案　±
5．已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值．
解　∵sin α＋cos α＝m，∴sin αcos α＝.
∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)
＝m(1－)＝(3－m2)．
课堂小结
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
基础过关
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
解析　由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．
答案　B
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)
A. B．±
C. D．－
解析　由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.
答案　C
3．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
答案　C
4．若α为第三象限角，则＋＝________.
解析　∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴原式＝＋
＝＋＝－1－2
＝－3.
答案　－3
5．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝______.
解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.
答案　－
6．已知sin θ＋cos θ＝－.
求：(1)＋的值；(2)tan θ的值．
解　(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－.
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，
即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
7．若cos α＝－且tan α＞0，求的值．
解　＝
＝＝
＝
＝sin α(1＋sin α)．
∵tan α＝＞0，cos α＝－＜0，
∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α(1＋sin α)
＝－·＝－.
能力提升
8．函数y＝－sin2x－3cos x的最小值是(　　)
A．－ B．－2
C. D．－
解析　y＝－(1－cos2x)－3cos x
＝cos2x－3cos x＋
＝2－2
当cos x＝1时，ymin＝2－2＝－.
答案　A
9．使＝成立的角α的范围是(　　)
A．2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z)
B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)
C．2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)
D．只能是第三或第四象限角
解析　∵＝＝＝，
∴sin α＜0.∴2kπ－π＜α＜2kπ，(k∈Z)．
答案　A
10．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝________.
解析　由sin2x＋cos2x＝1，即2＋2＝1.得m＝0或m＝8.又x∈，∴sin x＜0，cos x＞0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，此时
tan x＝－；当m＝8时，sin x＝，cos x＝－(舍去)，
综上知：tan x＝－.
答案　－
11．在△ABC中，sin A＝ ，则角A＝________.
解析　由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
答案　
12．求证：－＝.
证明　方法一
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．∴原式成立．
方法二　∵＝＝，
＝＝，
∴－＝.∴原式成立．
13．(选做题)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值;
(2)＋的值;
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　(1)由根与系数的关系可知，
Sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m，②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，代入②得m＝.
(2)＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)因为已求得m＝，
所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
2．1　两角差的余弦函数
2．2　两角和与差的正弦、余弦函数
内容要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)．
知识点1　两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3)
Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4)
【预习评价】
1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
2．cos 75°＝________.
答案　
知识点2　两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5)
Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6)
【预习评价】
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
2．已知sin α＝，0＜α＜，则cos α＝________，sin＝________.
答案　　
题型一　给角求值
【例1】　求值：(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.
解　(1)方法一　sin 15°＋cos 15°
＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×－×＋×＋×＝.
方法二　sin 15°＋cos 15°
＝
＝sin(15°＋45°)
＝sin 60°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29°
＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°
＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－.
规律方法　解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．
【训练1】　求下列式子的值：
(1)cos(－15°)；
(2)sin 795°；
(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°.
解　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)
＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝×＋×
＝.
(3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77°
∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°
＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－.
题型二　给值求值
已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求
sin(α＋β)的值．
解　∵＜α＜，∴－＜－α＜0.
∴sin＝－＝－.
又∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
规律方法　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
【训练2】　已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解　∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
∴sin(α－β)＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－.
∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
【探究1】　已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
解　∵A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
∴cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×(－)－×＝.
又∵＜A＜π，＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，
∴A＋B＝.
【探究2】　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．
解　∵α、β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
【探究3】　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求β的值．
解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝，
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
规律方法　1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.
课堂达标
1．sin 75°等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝.
答案　B
2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－.
答案　B
3．计算：sin 60°＋cos 60°＝________.
解析　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝.
答案　
4．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π.
答案　
5．已知锐角α、β满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β.
解　∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝.
又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴cos(α－β)＝.
从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
课堂小结
1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝
－sin α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
基础过关
1．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　cos＝
＝cos α＋sin α＝＋＝.
答案　A
2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
解析　原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos 2x，故选C.
答案　C
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α、β∈，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
答案　C
4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
答案　
5．已知α∈，tan α＝2，则cos＝________．
解析　由tan α＝2得sin α＝2 cos α，
又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因为cos＝cos αcos ＋sin αsin 
＝×＋×＝.
答案　
6．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
解　∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝，
∵β为锐角，∴β＝.
7．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解　由cos α－cos β＝两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝.
能力提升
8．在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析　∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
答案　C
9．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．1＋ D．2＋
解析　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<.
∴f(x)max＝2.
答案　B
10．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝________.
解析　因sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，
故有或
所以cos α＝sin β＝0，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.
答案　0
11．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin(α＋)＝_____.
解析　∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3sin(α＋)＝－1，
∴sin(α＋)＝.
答案　
12．(1)已知sin α＝，cos β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
(2)若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
解　(1)∵sin α＝，cos β＝－，α、β为第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
sin β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋(－)×＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×(－)－(－)×＝.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－，
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
13．(选做题)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f(0)的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．
解　(1)f(0)＝2sin＝－1.
(2)由f(3α＋)＝得2sin α＝，即sin α＝，
由f(3β＋2π)＝得2sin＝，从而cos β＝.
∵α，β∈，
∴cos α＝＝，sin β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
2.3　两角和与差的正切函数
内容要求　能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．
知识点　两角和与差的正切公式
【预习评价】
1．tan 105°＝(　　)
A．－2－ B．－1－
C. D．－2＋
答案　A
2.＝________.
答案　
题型一　化简求值
【例1】　求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
解　(1)原式＝＝tan(60°＋15°)
＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝
＝＝2＋；
(2)∵tan 45°＝＝1，
∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
规律方法　在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．
【训练1】　(1)；
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.
解　(1)∵tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝2－.
∴＝＝＝＝－.
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°·tan 50°
＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°·tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°＝.
【探究1】　若tan＝，则tan α＝________．
解析　tan α＝tan＝
＝＝.
答案　
【探究2】　已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
解　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝.又∵θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝－.
又∵tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝
＝＝－2.
【探究3】　已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解　(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
【探究4】　已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，且tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，求tan C.
解　因为tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，所以tan A＋tan B＝－，
tan A tan B＝－，
所以tan(A＋B)＝＝＝－2，
又A＋B＋C＝π.
所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
规律方法　“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．
题型三　给值求角
【例2】　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解　因为tan β＝－，tan(α－β)＝，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝，
所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
所以α∈，β∈，α－β∈(－π，0)．
又tan(α－β)＝＞0，所以α－β∈，
2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，
故2α－β＝－.
规律方法　在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．
【训练2】　已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－＜α＜，－＜β＜，求α＋β的值．
解　∵tan α＋tan β＝－3＜0，tan α·tan β＝4＞0，
∴tan α＜0，tan β＜0，
∵－＜α＜，－＜β＜，
∴－＜α＜0，－＜β＜0.
∴－π＜α＋β＜0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
课堂达标
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)
A. B．－
C．3 D．－3
解析　tan(α－β)＝＝＝.
答案　A
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．不确定
解析　(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
答案　B
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.
解析　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵0答案　
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝，那么tan C的值等于________．
解析　tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－.
答案　－
5．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．
∴α＋β＝.
课堂小结
1．公式Tα±β的适用范围
由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式Tα±β的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.
基础过关
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　)
A. B．7
C．－ D．－7
解析　已知α∈，sin α＝，则tan α＝－，tan(α＋)＝＝.故选A.
答案　A
2.＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－.
答案　D
3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(2α－β)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝.
答案　D
4．已知tan(α＋β)＝，tan α＝－2，则tan β＝________.
解析　∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝＝7.
答案　7
5．已知α∈，tan＝－7，则sin α＝________.
解析　由tan＝＝－7，
∴tan α＝－＜0，又α∈，
∴α∈，∴sin α＝.
答案　
6．求下列各式的值．
(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
解　(1)原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°
＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
7．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解　(1)∵tan＝，
∴＝.∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝－.
能力提升
8．若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于(　　)
A.a B.(1－a)
C.(a－1) D.(a＋1)
解析　∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a)．
答案　B
9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)
A．1 B．2
C．tan 10° D.tan 20°
解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)＝×＝1.
答案　A
10．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
解析　＝
＝＝＝－.
答案　－
11．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
解析　∵tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
答案　1
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解　(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝，cos β＝，
因α为锐角，故sin α＞0.
从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝，②tan·tan β＝2－，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解　解法一：由①得＋β＝.
∴tan＝＝.
将②代入得tan＋tan β＝3－.
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则与α为锐角矛盾．
∴tan β＝1，tan ＝2－，
∴β＝，
代入①得α＝，
满足tan＝2－.
解法二：由①得＝－β，代入②得：
tan·tan β＝2－?·tan β＝2－?tan2β－(3－)tan β＋2－＝0，
tan β＝1或2－.
若tan β＝1，则β＝，α＝.
若tan β＝2－，代入②得tan＝1.不合题意．
故存在α＝，β＝，使①②同时成立．
§3　二倍角的三角函数(一)
内容要求　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)．
知识点1　二倍角公式
1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α.
2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
3．tan(α＋β)＝，令β＝α，得tan 2α＝.
【预习评价】
1．计算1－2sin215°的结果为(　　)
A. B.
C. D．1
答案　C
2．sin 105°cos 105°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
知识点2　二倍角公式的变形
1．公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan 2α.
2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式：
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
【预习评价】
1．已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos 2x＝2cos2x－1＝2·－1＝，故选D.
答案　D
2.的值是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
答案　B
题型一　化简求值
【例1】　求下列各式的值．
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)－.
解　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝4.
规律方法　在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用．
【训练1】　求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)＋.
解　(1)cos 72°cos 36°＝＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
【例2】　(1)已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
(2)已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　(1)∵α∈，∴sin α＋cos α＞0.
∴sin α＋cos α＝＝＝.故选A.
(2)sin 2x＝cos＝1－2sin2＝1－＝.
答案　(1)A　(2)D
【迁移1】　若(1)中α∈，求sin α＋cos α的值．
解　因为α∈，
所以sin α＋cos α＜0
(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，
所以sin α＋cos α＝－.
【迁移2】　在(1)中的条件下求tan α的值．
解　因为sin 2α＝2sin αcos α
＝＝－，
故＝－，
解得tan α＝－或－，
因为α∈，tan α＞－1，
故tan α＝－.
规律方法　1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
2．当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sin·cos.类似这样的变换还有：cos 2x＝sin＝2sincos，
sin 2x＝cos＝2cos2－1.
题型三　三角函数式的化简或证明
【例3】　化简：(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝
＝
＝＝2.
(2)原式＝
＝
＝＝＝1.
规律方法　被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简．
【训练2】　化简下列各式：
(1)×；
(2)；
(3)－.
解　(1)原式＝×＝tan 2α.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝＝tan 2θ.
课堂达标
1．sin4－cos4等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
答案　B
2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
答案　A
3．若tan α＝2，则tan 2α＝________.
解析　tan 2α＝＝＝－.
答案　－
4．已知cos＝，则sin 2x＝________.
解析　sin 2x＝cos＝cos
＝cos 2[(x－)]＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
答案　－
5．求值：.
解　∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
课堂小结
1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－，α－等之间关系的应用．
3．式中出现，时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号.
基础过关
1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
解析　f(x)＝sin 2x∈.
答案　B
2．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　cos x＝，x∈(－，0)，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
答案　D
3．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝，选A.
答案　A
4．2sin222.5°－1＝________.
解析　原式＝－cos 45°＝－.
答案　－
5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
答案　
6．已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α的值．
解　∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈，
∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
7．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝.
能力提升
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝，0＜α＜π，
∴sin α＝.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
答案　A
9．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)
A．4 B.
C．4 D．8
解析　∵f(x)＝＋
＝
＝，
∴f＝＝8.
答案　D
10．已知tan ＝3，则＝______.
解析　＝
＝＝tan ＝3.
答案　3
11．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
解析　∵f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时，f(x)max＝2.
答案　2
12．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，求α.
解　∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)，∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．∴α＝.
13．(选做题)设函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．
(1)求f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的取值范围；
(2)若f＝，求cos x的值．
解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝2sin
∵T＝＝＝2π，
∴ω＝.
∴f(x)＝2sin，
当x∈时，x＋∈，f(x)∈［，2］.
(2)f＝2sin＝，
sin x＝，∴cos x＝±＝±.
§3　二倍角的三角函数(二)
内容要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．
知识点　半角公式
(1)S：sin ＝± ；
(2)C：cos ＝± ；
(3)T：tan ＝± (无理形式)＝＝(有理形式)．
【预习评价】
1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　B
2．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　B
题型一　应用半角公式求值
【例1】　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
解　sin ＝± ＝± ＝±，
cos ＝± ＝± ＝±，
tan ＝± ＝±＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin＝，cos＝－，tan＝－；
当为第四象限角时，
sin＝－，cos＝，tan＝－.
规律方法　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值．
【训练1】　已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
解　∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.
∵<<π.
∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝＝＝2.
题型二　利用半角公式化简
【例2】　化简.
解　∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴原式
＝
＝
＝cos2－sin2＝cos α.
规律方法　对于三角函数式的化简有下面的要求：
(1)能求出值的应求出值；
(2)使三角函数种数尽量少；
(3)使三角函数式中的项数尽量少；
(4)尽量使分母不含有三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
【训练2】　化简：，α∈.
解　∵α∈，∴cos α＞0，则由半角公式得＝cos α，∴原式＝.又∈，∴sin＞0，从而＝sin，
即原式＝sin.
方向1　三角恒等式的证明
【例3－1】　证明：··＝tan .
证明　左边＝··
＝·＝·
＝＝
＝tan ＝右边．
所以原等式成立．
方向2　三角恒等变形的综合应用
【例3－2】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解　f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　由(1)知f(x)＝sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)取得最小值－.
∴f(x)≥－得证．
方向3　三角函数的实际应用
【例3－3】　如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？求出这个最大面积．
解　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝(cos α－sin α)sin α
＝cos αsin α－sin2α
＝sin 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜.
∴当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
规律方法　1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．
2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.
课堂达标
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A. B．－
C．± D．±
解析　由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝＝.
答案　A
2．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析　∵f(x)＝2sin 
＝sin x－sin2＝sin x－
＝sin x＋cos x－
＝sin－.
∴f(x)max＝.
答案　A
3．计算：＝________.
解析　原式＝＝＝－4.
答案　－4
4．设5π＜θ＜6π，cos＝，则sin＝________.
解析　∵＜＜，∴sin＜0.
∴sin＝－＝－＝－.
答案　－
5．已知π<α<，化简＋
.
解　原式＝
＋，
∵π<α<，∴<<，
∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos .
课堂小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝).
基础过关
1．下列各式与tan α相等的是(　　)
A.  B.
C. D.
解析　＝＝＝tan α.
答案　D
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－  B. 
C．－  D. 
答案　C
3．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
答案　D
4．已知sin－cos＝－，且α∈(，3π)，则tan＝________.
解析　由条件知∈(，)，
∴tan＞0.由sin－cos＝－，
∴1－sin α＝.∴sin α＝，cos α＝－，tan＝＝2.
答案　2
5．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
解析　∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
答案　π
6．已知≤α＜π，且cos＝，求cos 2α及sin 2α的值．
解　因为≤α＜，
所以≤α＋＜，
又因为cos＝＞0，
所以＜α＋＜，
所以sin＝－
＝－.
因为sin＝(sin α＋cos α)，
cos＝(cos α－sin α)，
所以sin α＋cos α＝－，cos α－sin α＝.
因此cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.
sin 2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin2α＋cos2α)＝－1＝.
7．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
解　f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝ sin(x＋20°＋φ)
＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝.
所以f(x)max＝7.
能力提升
8．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0°，90°]上是递增的．
∴a答案　C
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
解析　∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
答案　A
10．若f(x)＝cos 2x－2a(1＋cos x)的最小值为－，则a＝________.
解析　f(x)＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－2a－1，令t＝cos x．则
－1≤t≤1，函数f(x)可转化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1，
当＞1，即a＞2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a＞2，舍去；
当＜－1，即a＜－2时，当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1≠－，不符合题意，舍去；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，
解得a＝－2±，
因为－2≤a≤2，所以a＝－2＋.
综上所述，a＝－2＋.
答案　－2＋
11．函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题序号是________．
解　f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
f(x)在[，π]上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，
y＝sin 2x向左平移个单位长度可得f(x)的图像，故③错．
当x∈时，2x＋∈，则f(x)∈[－1，]，故④错．
答案　①②
12．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．
又f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
13．(选做题)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋sin ωx＝2sin，
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
即sin＝.由x0∈，知＋∈，
所以cos＝＝.
故f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2
＝2×＝.
第三章 三角恒等变形
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．两角和与差的三角函数公式的理解
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．
“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
要点一　三角函数求值问题
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
【例1】　已知tan＝－，且＜α＜π，的值．
解　＝
＝2cos α.
∵tan＝＝－，
∴tan α＝－3，
∵α∈，cos α＝－，
∴＝2cos α
＝2×＝－.
【训练1】　已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin β＝sin(2α＋β)，4 tan＝1－tan2，求α＋β的值．
解　∵3sin β＝sin(2α＋β)，
即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.
即tan(α＋β)＝2tan α.
又∵4tan＝1－tan2，
∴tan α＝＝，
tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1.
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
要点二　三角函数的化简与证明
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明．
化简三角函数式的要求：
1．能求出值的应求出值；
2．使三角函数的种数尽量少；
3．使项数尽量少；
4．尽量使分母不含三角函数；
5．尽量使被开方数不含三角函数；
6．次数尽量低．
【例2】　求证：tanx－tan＝.
证明　∵左边＝tanx－tan＝－
＝
＝＝
＝右边．
∴tanx－tan＝.
【训练2】　求证：－＝32sin 10°.
证明　∵左边＝－
＝
＝
＝
＝＝＝
＝＝32sin 10°＝右边．
∴原式成立．
要点三　整体换元的思想在三角恒等变形中的应用
在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
【例3】　求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
解　设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋.
此时，由sin＝，sin＝1.
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
【训练3】　求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．
解　令sin x－cos x＝t，
则由t＝sin知t∈[－，]，
又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2.
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x
＝t＋1－t2
＝－2＋.
当t＝时，ymax＝；
当t＝－时，ymin＝－－1.
∴函数的值域为.
要点四　构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用
方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．
【例4】　已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan A＝2tan B;
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
(1)证明　∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴
??＝2.
∴tan A＝2tan B.
(2)解　∵∴tan(A＋B)＝－，
即＝－.
将tan A＝2tan B代入上式并整理得
2tan2B－4tan B－1＝0，
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.
∴tan A＝2tan B＝2＋.
设AB边上的高为CD，
则AB＝AD＋DB＝＋＝，
由AB＝3，得CD＝2＋.
∴AB边上的高等于2＋.
【训练4】　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则等于(　　)
A. B.
C. D．－
解析　由已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，
得sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin αcos β－cos αsin β＝－，
两式分别相加减得sin αcos β＝－，cos αsin β＝.
∴＝＝－.
答案　D
基础过关
1．cos 2 014°cos 1 586°－sin 2 014°sin 1 586°等于(　　)
A．0 B.
C. D．1
解析　原式＝cos(2 014°＋1 586°)＝cos 3 600°＝1.
答案　D
2．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sin θ＋cos θ＝sin，
所以所以1答案　A
3．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
解析　∵y＝2＝2sin，
∴T＝＝π，故选C.
答案　C
4．设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)的值是________．
解析　∵α＋＝(α＋β)－(β－)，
∴tan(α＋)＝＝＝.
答案　
5．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B＝________.
解析　tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－，
所以tan3B＝3，所以tan B＝，
又因为B为三角形的内角，所以B＝.
答案　
6．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解　(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝×＋×
＝－.
7．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
则f＝－2sin＝2.
(2)f(x)的最小正周期为π.
由正弦函数的性质得
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
能力提升
8．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图像的一个对称中心为(　　)
A. B.
C. D.
解析　y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin－，令2x＋＝kπ，(k∈Z)
x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，
∴函数图像的一个对称中心为.
答案　B
9．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t为实数，则|a－tb|的最小值是(　　)
A. B．1
C. D．1＋
解析　|a－tb|＝
＝
＝
＝
＝
＝＝，
|a－tb|的最小值为.
答案　A
10．若方程sin x＋cos x＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为________．
解析　a＝2(sin x＋cos x)＝2sin(x＋)，
∵x∈[0,2π]，∴x＋∈[，]，
∴2sin(x＋)∈[－2,2]，
由于sin x＋cos x＝a有两个不同实数解，
∴a∈(－2,1)∪(1,2)．
答案　(－2,1)∪(1,2)
11．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.
解析　依题设及三角函数的定义得：
cos β＝－，sin(α＋β)＝.
又∵0＜β＜π，∴＜β＜π，＜α＋β＜π，sin β＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－×＋×
＝.
答案　
12．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，
∴3sin x＋cos x＝0，即sin＝0.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，
∴x＋＝π，∴x＝.
(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin.
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－2≤f(x)≤3，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
13．(选做题)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间．
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为x∈，
所以2x－∈，sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，
即m∈[0,1]．
§1　从位移、速度、力到向量
内容要求　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景.2.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
知识点1　向量的概念
数学中，我们把既有大小，又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．
注意　①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．
②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
【预习评价】
已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.
知识点2　向量的表示方法
(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示向量的方向．
(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用，，，…来表示．
【预习评价】
两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？
提示　两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向．有向线段表示向量，但有向线段不是向量．
知识点3　与向量有关的概念
名称
定义
记法
零向量
长度为零的向量称为零向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量
向量a与b相等，记作a＝b
共线向量(平行向量)
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行
a与b平行或共线，记作a∥b
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的两个要素是大小与方向．(√)
(2)长度相等的向量是相等向量．(×)
(3)方向相同的向量是共线向量．(√)
题型一　向量的有关概念
【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a≠b，则a一定不与b共线；
(2)若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
(3)在平行四边形ABCD中，一定有＝；
(4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；
解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故(1)不正确．(2)＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．(3)在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．(5)a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，(5)正确．
规律方法　对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．
【训练1】　下列说法正确的有________(填序号)．
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
解析　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．
答案　③
题型二　向量的表示
【例2】　一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
(1)试作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．
(2)根据题意，向量与方向相反，故向量∥.
又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝400(海里)．
规律方法　1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．
【训练2】　一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
解　(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．
【例3】　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示与，，相等的向量．
解　＝＝；＝＝；
＝＝＝.
【迁移1】　例3中与模相等的向量有多少？
解　由图知与的模相等的向量有23个．
【迁移2】　例3中与向量的长度相等方向相反的向量有哪些？
解　与向量长度相等方向相反的向量有，，，.
【迁移3】　例3中与向量共线的向量有哪些？
解　与向量共线的向量有，，，，，，，，.
规律方法　判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
课堂达标
1．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
答案　B
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B．||＝||
C.> D.<
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
答案　B
3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．
解析　因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．
答案　一条直线　两个点
4．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是________．
答案　与，与
5．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解　(1)＝＝，＝.(2)，，.
课堂小结
1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小．
2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．
3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
基础过关
1．下列条件中能得到a＝b的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量 D．a＝0且b＝0
答案　D
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案　D
3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与　　　　　　B.与
C.与　　　　　　D.与
解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.
答案　D
4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．
答案　零向量
5．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
解析　∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
答案　菱形
6．在平面直角坐标系中，画出下列向量．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.
解　
7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量；
解　(1)∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，
∴AB綊ED，AB綊DC，
∴＝，＝，∴＝.
故与向量相等的向量是，.
(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
能力提升
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；
③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析　a为任一非零向量，故|a|＞0.
答案　B
9．下列命题中不正确的命题个数为(　　)
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.
④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．
答案　C
10．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
答案　①③④
11．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.
答案　2
12.如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.求证：＝.
证明　∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.∵＝，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，
∴＝.
13.(选做题)如图，A，B，C三点的坐标依次是(－1，0)，(0,1)，(x，y)，其中x，y∈R.当x，y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?
解　由点A、B的坐标分别是(－1,0)，(0,1)得∠BAO＝45°.
①当点C的坐标满足x＝y＝0时，点C与点O重合，则有|OC|＝0，即||＝0，所以＝0，这时与共线(零向量与任一向量都共线)；
②当点C的坐标满足xy≠0，且x＝y，即点C在第一、三象限角平分线上时，有AB∥OC，这时与共线．综上可知，当x＝y时，与共线．
2．1　向量的加法
内容要求　1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．
知识点1　向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算．
(2)三角形法则：
①作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b；
②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量．
(3)平行四边形法则：
①作图：已知向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为a＋b＝；
②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．
【预习评价】
1．在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
答案　D
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
知识点2　向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
【预习评价】
1．下列等式不成立的是(　　)
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.＋＝2 D.＋＝
答案　C
2.＋＋等于________．
答案　
题型一　向量加法法则的应用
【例1】　(1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.
规律方法　用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
【训练1】　已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.
解　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
题型二　向量加法及其运算律
【例2】　化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
规律方法　向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：
①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；
②向量的和仍是向量；
③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
【训练2】　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案　(1)　(2)　(3)　(4)0
方向1　向量加法在平面几何中的应用
【例3－1】　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明　＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝.
∴AB＝CD且AB∥DC.
∴四边形ABCD为平行四边形．
方向2　向量加法在物理中的应用
【例3－2】　在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解　要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝| v 1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
方向3　向量加法在实际问题中的应用
【例3－3】　如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
规律方法　应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．
(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．
易错警示　利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.
课堂达标
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为(　　)
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
答案　B
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
解析　＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
答案　D
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.
答案　2
4．在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
解析　＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
答案　0
5.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明　∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，
即＋＝＋.
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
基础过关
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　)
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析　如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案　A
2．下列等式错误的是(　　)
A．a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
解析　＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案　B
3．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
答案　A
4．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
解析　(1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
答案　(1)　(2)
5．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
解析　∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
答案　8
6.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
解　(1)由题图知，四边形OABC为平行四边形，∴＋＝.
(2)由图知＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
(3)∵＝，
∴＋＝＋＝0.
7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.
能力提升
8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．2
解析　|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案　B
9．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析　a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.
答案　C
10．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
答案　0
11．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．
①|＋|＝||；②|＋|＝||；
③|＋|＝||；④||2＋||2＝||2.
解析　如图，
以、为邻边作平行四边形ABCD，
由于∠BAC＝90°，则ABCD为矩形．
|＋|＝||＝||，故①正确．
|＋|＝||＝||，故②正确．
|＋|＝|－|＝||＝||.
故③正确．又||2＋||2＝||2，故④正确．
答案　①②③④
12．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解　如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
13．(选做题)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明　由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知：＝，＝.
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
2.2　向量的减法
内容要求　1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量(难点)．
知识点1　相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝.(×)
(2)a－a＝0.(√)
(3)零向量的相反向量仍是零向量．(√)
知识点2　向量的减法
(1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
【预习评价】
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
答案　A
2.可以写成①＋；②－；③－；④－.
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案　D
题型一　向量减法法则的应用
【例1】　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
规律方法　利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.
【训练1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
题型二　向量减法的运算
【例2】　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
规律方法　化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．
(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．
(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．
特别提醒　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．
【训练2】　化简：
(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解　(1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
方向1　用已知向量表示未知向量
【例3－1】　已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解　方法一　如图所示：
＝＋
＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋c－b.
方法二　＝＋＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋0
＝＋(＋)
＝a＋(－b＋c)
＝a－b＋c.
方向2　求向量的模
【例3－2】　已知非零向量a、b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解　设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
方向3　判断形状
【例3－3】　设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．
解　由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，
即－＝－，
∴＝，于是AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，
∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
规律方法　1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.
课堂达标
1．化简－＋＋的结果等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
解析　由向量的加法、减法得，＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
答案　B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析　＝＝
＝＝2.
答案　2
4．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
答案　13
5．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
解　＝＋＝＋＋
＝＋－
＝c＋b－a.
课堂小结
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.
3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a.
基础过关
1．在平行四边形ABCD中，－等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　－＝＝.
答案　A
2．下列等式中，正确的个数为(　　)
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3 B．4
C．5 D．6
解析　根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.
答案　C
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析　∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．
答案　C
4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
解析　＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.
答案　2－
5．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
解析　当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为12－8＝4；这时|a－b|取得最大值，其值为12＋8＝20.
答案　4　20
6．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解　设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
7.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解　(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－b.
所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2，
所以|a－b＋c|＝2.
能力提升
8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析　＋＋＝＋＋
＝(＋＋)＝0.
答案　A
9．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　)
A.＝0 B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
解析　＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．
答案　C
10．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．
解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.
答案　
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解　在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
利用平行四边形法则，得＝a＋b，＝a－b.
由题意知：||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，
∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，在△CBF中，∠CBF＝∠DAB，
∴cos∠CBF＝，BF＝BC·cos∠CBF＝1×＝，
∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，∴|a＋b|＝.
12．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
13．(选做题)如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明　作圆的直径BD，
连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.
∴CH∥AD，AH∥CD，则四边形AHCD为平行四边形．
∴＝＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＋.
3．1　数乘向量
内容要求　1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．
知识点1　数乘向量的概念与运算律
(1)数乘向量：
①定义：λa是一个向量；
②长度：λ|a|；
③方向：
(2)数乘向量的运算律：
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；
③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若λa＝0则λ＝0.(×)
(2)若a、b是非零向量，λ，μ∈R.那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.(√)
(3)0·＝0.(×)
知识点2　向量共线的判定定理与性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
【预习评价】
1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示　不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？
提示　不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.
题型一　向量数乘的定义
【例1】　已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的倍；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
解　(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，
且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.
(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．
(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．
(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．
规律方法　对数乘向量的四点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．
【训练1】　已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个　 B．2个
C．3个 D．4个
解析　由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．
答案　D
题型二　向量的线性运算
【例2】　计算下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
解　(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c
＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0a＋0b＝0＋0＝0.
规律方法　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【训练2】　若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析　3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
答案　A
方向1　证明向量共线
【例3－1】　已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线．
证明　因为＝＋
＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b
＝4(a＋b)＝4，
所以根据平行向量基本定理，与共线．
又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线．
方向2　利用向量共线求参数值
【例3－2】　若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
解　由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b.
∵a与b不共线，
∴解得
故当t＝时，三向量的终点共线．
方向3　共线向量在平面几何中的应用
【例3－3】　如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
证明　＝－，＝－.
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴＝，＝，
∴＝(－)＝，
∴DE∥BC，且|DE|＝|BC|.
规律方法　应用向量共线定理时的注意点
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
课堂达标
1．下列各式中不表示向量的是(　　)
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
解析　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
答案　C
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
答案　C
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
答案　2
4．若＝2，＝λ，则λ＝________.
解析　∵＝＋＝2＋＝3，∴λ＝－3.
答案　－3
5．如图所示，已知＝，用，表示.
解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课堂小结
1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
基础过关
1．下列说法中正确的是(　　)
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析　显然b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案　D
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案　B
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.
答案　C
4．已知向量a＝e1＋3e2，b＝－e1－e2，则a与b的关系是________．
解析　∵a＝－2b，∴a∥b.
答案　a∥b
5．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析　据向量的加法、减法整理、运算可得x＝a－b＋c.
答案　a－b＋c
6.如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．
解　分别作向量、、，过点A、C作直线AC(如图)．
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
因为＝－
＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
＝－
＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
故有＝2.
因为∥，且有公共点A，
所以A、B、C三点共线．
7．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
证明　取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－
＝(＋)．
能力提升
8．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析　∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
答案　C
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析　∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
答案　D
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
答案　
11．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
解析　∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案　－1
12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．(选做题)过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
解　如图，设＝a，＝b，则＝＝＝(a＋b)．∴＝－＝a－b，
＝－＝xa－yb.
∵与共线，∴＝λ，
∴a－b＝xλa－yλb，
∴消去λ得＝，
即＋＝3.
3.2　平面向量基本定理
内容要求　1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．
知识点1　平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
【预习评价】
(1)0能不能作为基底？
提示　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．
(2)平面向量的基底唯一吗？
提示　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．
题型一　对向量基底的理解
【例1】　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案　②③
规律方法　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
【训练1】　设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析　由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得
所以
答案　　－
【例2】　设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
解析　由题得＝＋＝＋
＝＋－＝－＋.故选A.
答案　A
【迁移1】　在例题中将“＝3”改为“＝”试用、表示.
解　＝＋＝＋
＝＋－＝2－.
【迁移2】　在例题中将“＝3”改为“＝－3”试用，表示向量.
解　由题＝＋＝＋
＝－
＝－＋
＝＋.
规律方法　应用平面向量基本定理时的关注点
(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系．
(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．
(3)一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有
题型三　平面向量基本定理的应用
【例3】　如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.
解　(1)∵＝－＝c－a，
∴＝＝(c－a)，
∴＝(＋)
＝＋
＝－a＋(c－a)
＝c－a.
(2)设＝λ，
∴＝＋＝＋λ
＝a＋λ(c－a)
＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，
∴λ＝，
∴＝，
∴AF∶CF＝4∶1.
【训练2】　设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明　设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得
即
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解　设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴即
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴即
故所求λ、μ的值分别为3和1.
课堂达标
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案　B
2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案　B
3．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案　
4．已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.则用a、b表示向量＝________.
解析　如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，
＝＝(＋)
＝＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案　a＋b
5．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解　如图，＝－
＝－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b.
＝－＝－(＋)＝a＋b.
课堂小结
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
基础过关
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析　由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．
答案　B
2．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析　＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．
答案　A
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析　＝＋＋＝－8a－2b＝2 ，故为梯形．
答案　D
4．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填共线或不共线)．
解析　若a与e1共线，则存在实数λ使a＝λe1＝λ1e1＋λ2e2，则e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．
答案　不共线　不共线
5．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________．
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb得λ≠4.
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
6.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
解　＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c.
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解　(1)设c＝λa＋μb，
则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得
所以c＝a＋2b.
(4)4e1－3e2＝λa＋μb
＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得λ＝3，μ＝1.
能力提升
8．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A．3 B．4
C．－ D．－
解析　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，
所以解得故选B.
答案　B
9．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)
＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案　C
10．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．
解析　＋＋4＝＝A＋，所以4＝2，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.
答案　1∶2
11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析　易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.
答案　
12.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基底表示.
解　∵＝＋，＝＋，设＝m，
＝n，则＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，
∴?n＝，m＝，
∴＝a＋b.
13．(选做题)如图，在△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求及的值．
解　设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
§4　平面向量的坐标
内容要求　1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算(难点)．
知识点1　平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a＝(x，y)．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同；(√)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；(√)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量；(×)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(√)
2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？
提示　由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．
知识点2　平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【预习评价】
(1)若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－3,4) D．(3，－4)
(2)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a－b的坐标为(　　)
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案　(1)C　(2)C
知识点3　向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
【预习评价】
1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a∥b，则x＝________.
答案　4
2．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________．
解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立．
答案　－3
题型一　平面向量的坐标表示
【例1】　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D(，)，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
规律方法　(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
【训练1】　若已知A(1,2)，B(0，－1)，C(3，k)．
(1)求；
(2)若已知－＝(m，－2)，试求k、m.
解　(1)∵A(1,2)，B(0，－1)，
∴＝(－1，－3)．
(2)∵－＝(－1，－3)－(3，k＋1)
＝.
由已知＝(m，－2)，
∴m＝－，k＝－.
题型二　平面向量坐标的线性运算
【例2】　已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在函数y＝x的图像上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
∵＝＋λ
＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)
＝(3,1)＋λ(5,7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴
∴
∴点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝，
∴当λ＝时，点P在函数y＝x的图像上．
(2)∵点P在第三象限，
∴解得λ＜－1.
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
规律方法　1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
2．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．
【训练2】　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由．
解　(1)由＝＋t
＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则
所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解．
故四边形OABP不可能是平行四边形．
方向1　向量共线的判定
【例3－1】　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
且(－2)×4<0，∴与共线且方向相反．
方法二　∵＝－2，
∴与共线且方向相反．
方向2　利用向量共线求参数
【例3－2】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴
解得k＝λ＝－.
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b)＝－a＋b.
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
方向3　向量共线的综合应用
【例3－3】　如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
解　方法一　由题意知P，B，O三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)，
＝－＝(－2,6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
∴＝＝(3,3)，
∴P(3,3)即为所求．
方法二　设P(x，y)，则＝(x，y)，
且＝(4,4)，又与共线，∴x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，与共线，
则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，即P点坐标为(3,3)．
规律方法　1.由向量共线求参数的值的方法：
2．a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制.
课堂达标
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析　a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)．
答案　D
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(x2，x＋2)，若a，b共线，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．2
C．1或－2 D．－1或2
解析　由题意知，1·(x＋2)－x2·1＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.
答案　D
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
解析　由解得
答案　7
4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.
解析　∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵A、B、C三点共线，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝－2或k＝11.
答案　－2或11
5．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，求点C的坐标．
解　设点C(x，y)．∵A、B、C三点共线，
∴＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴(x＋1，y＋3)＝(2λ，4λ)，
∴∴C(2λ－1,4λ－3)．
把点C(2λ－1,4λ－3)代入x＋y－5＝0得
(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝.
∴C(2,3)．
课堂小结
1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：
有序实数对(x，y)向量点A(x，y)．
2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．
3．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
基础过关
1．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
答案　D
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
解析　∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.
答案　A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为
(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析　由解得
答案　D
4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析　∵＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.
答案　
5．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
解析　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
答案　3
6．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p.
解　p＝2a＋3b＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．
设p＝xa＋yb，则有
解得
∴p＝a＋b.
7．已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线．
证明　∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
能力提升
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于(　　)
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析　令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案　C
9．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析　设C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案　C
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是________．
解析　由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
因为＝λ＋μ，
所以(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以又因为∠AOC＝，OC＝2，
所以λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，
所以λ＋μ＝＋1.
答案　＋1
11．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
解析　由(1,2)?m＝(5,0)，
可得解得
所以(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案　(2,0)
12．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解　(1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
13．(选做题)已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
(1)解　由条件可得u(x，y)v(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)解　设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．
∴解得即c＝(3,4)．
(3)证明　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1,2y－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
§5　从力做的功到向量的数量积
内容要求　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．
知识点1　向量的夹角与投影
(1)夹角：
①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角；
②范围：0°≤θ≤180°；
③大小与向量共线、垂直的关系；
θ＝
(2)投影：
①定义：如图所示：＝a，＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．
②大小与夹角的关系：
夹角
0°
锐角
90°
钝角
180°
射影
|b|
正值
0
负值
－|b|
【预习评价】
等边△ABC中，与的夹角是多少？与，与的夹角又分别是多少？
提示　与的夹角就是△ABC的一个内角(∠ABC)，因此与的夹角是.
与首尾相接，由∠BAC＝知它的补角为π，因此与的夹角是π.
与有共同的终点C，若延长AC，BC，则可知所得的角的大小与∠ACB的大小相等，均是，因此与的夹角是.
知识点2　向量的数量积
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
(4)性质：
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；
②a⊥b?a·b＝0(其中a，b为非零向量)；
③|a|＝；
④cos θ＝(|a||b|≠0)；
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.
(5)运算律：
交换律：a·b＝b·a.
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【预习评价】
1．已知三角形ABC中，·＜0，则三角形ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析　∵·＝||·||·cos B＜0，
∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角．
∴＜B＜π.
答案　A
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解析　|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.
答案　2
题型一　数量积的基本概念
【例1】　下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．
其中正确的是________（填序号）．
解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错；
对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；
对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
对于⑦，当a与b的夹角为0°时，
也有a·b>0，因此⑦错；
对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．
综上可知①②⑥正确．
答案　①②⑥
规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
【训练1】　给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案　④
题型二　数量积的运算
【例2】　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
解　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°.
∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18.
规律方法　(1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．
(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.
【训练2】　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(a＋b)·(a＋b)；
(4)(a－2b)·(3a＋b)．
解　(1)a·b＝|a|·|b|·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－7.
(3)(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|·cos θ＋|b|2＝13.
(4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2＝25.
方向1　求向量的模
【例3－1】　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
解　由已知a·b＝|a||b|cos θ
＝4×2×cos 120°＝－4，
a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2
＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2
＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
方向2　求向量的夹角
【例3－2】　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a与b的夹角为120°.
方向3　数量积的综合应用
【例3－3】　设两个向量e1，e满足|e1＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
化简，得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.
当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，
则∴故实数t的取值范围是∪.
规律方法　1.求向量夹角时要注意：
(1)当已知a·b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系；
(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解．
(3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．
2．对于a2＝|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.
课堂达标
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析　因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．
答案　B
2．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝－.
又∵ θ∈[0°，180°]，
∴ θ＝135°.
答案　C
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
解析　a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝.
答案　
4．已知向量a在向量b方向上的射影是，|b|＝3，则a·b的值为________．
解析　a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×＝2.
答案　2
5．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
解　要想(ka－b)⊥(a＋2b)，
则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴52k＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
解得k＝，即当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．向量数量积的性质及作用：
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|.此性质可用来证明向量共线．
(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(4)cos θ＝，此性质可求a与b的夹角.
基础过关
1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.
答案　C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
答案　A
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析　由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.
答案　C
4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
解析　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案　－8或5
5．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
解析　由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.
答案　
6．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解　由向量垂直得

即
化简得
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
7．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
解　(2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos θ.
＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.
能力提升
8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π]
C．[，π] D．[，π]
解析　因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
答案　B
9．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析　|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
所以
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，
所以|b|sin θ＝1，即|b|＝.
即θ确定，|b|唯一确定．
答案　B
10．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析　b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.
答案　2
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析　因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋.因为·＝1，所以·＝·(＋)＝2－2＋·＝1，即1－2＋||cos 60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.
答案　
12．已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
解　∵e1，e2为单位向量且夹角为，
∴e1·e2＝1×1×cos＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.∴a与b的夹角为.
13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝1，∠DAB＝60°.求：
(1)·；
(2)与夹角θ的余弦值．
解　(1)·＝||||cos∠DAB＝2×＝1.
(2)＝＋，＝－，
∴·＝2－2＝4－1＝3，
2＝2＋2＋2·＝1＋4＋2＝7，
||＝，
2＝2＋2－2·＝4＋1－2＝3，
||＝3.
cos θ＝＝＝.
§6　平面向量数量积的坐标表示
内容要求　1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).
2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．
知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示：
【预习评价】
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是(　　)
A．34 B．27
C．－43 D．－6
解析　a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.
答案　D
2．设向量＝(1,0)，＝(1,1)，则向量，的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析　cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，]，∴θ＝.
答案　C
知识点2　直线的方向向量
(1)定义：与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝(1，k)．
【预习评价】
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　)
A．(2，－3) B．(2,3)
C．(－3,2) D．(3,2)
答案　D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为________．
答案　x－3y＋5＝0
题型一　平面向量数量积的坐标运算
【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)．
∵a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，
解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
规律方法　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
【训练1】　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
解　(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．
题型二　平面向量的夹角问题
【例2】　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解　(1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，
则＝t(2,1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，
∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
规律方法　利用数量积求两向量夹角的步骤
【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解　(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝＝＝.
(2)由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
【例3】　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．
解　∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，
∴|a－2b|＝＝.
【迁移1】　若c＝3a－(a·b)b，求|c|.
解　a·b＝x1x2＋y1y2＝2，
∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，
∴|c|＝＝.
【迁移2】　若ka－b与a＋b共线，求k的值．
解　∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.
【迁移3】　若ka－b的模等于.求k的值．
解　∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)
∵ka－b的模等于.
∴＝，
化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3.
即当k＝1或k＝－3时满足条件．
规律方法　1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝求解．
2．形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为a2，a·b，b2的坐标运算；其二，先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算.
课堂达标
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角θ为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos θ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
答案　B
2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．
解析　由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.
答案　2
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影是________．
解析　a·b＝13，|b|＝，
|a|cos θ＝＝＝.
答案　
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析　∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－6b，
∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8.
答案　8
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos θ＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
课堂小结
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.
基础过关
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析　a·b＝－5×6＋6×5＝0，
∴a⊥b.
答案　A
2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.
答案　A
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析　a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
答案　B
4．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
解析　a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
答案　1
5．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
解析　由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
答案　(－4,8)
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
又|a－b|＝
＝，
∴|a－b|＝2或2.
7．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
解　设a与b的夹角为θ，
a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0且cos θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ＞0，且cos θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
能力提升
8.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||＝
(　　)
A. B．2
C．3 D．2
解析　以A为坐标原点，建立坐标系．则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)(x＞0)．
∴＝(2，－x)，＝(4，x)．
∵⊥，
∴2×4＋(－x)·x＝0，x＝2.
∴＝(2，－2)，||＝＝2.
答案　B
9．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析　设C的坐标为(x，y)，则
＝(x＋3，y－1)，＝(3,4)，＝(x，y－5)．
由∥，⊥，得
解得x＝－3，y＝.
答案　B
10．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为________．
解析　由题意知＝(2,2)，＝(－1,3)，设和的夹角为α，则向量在向量上的投影为||cos α＝＝＝.
答案　
11．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是____________________．
解析　∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，
即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.
∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，
当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，
∴a与b反向，即θ＝π.
故a与b的夹角为钝角时，
x<且x≠－.
答案　x<且x≠－
12．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
13．(选做题)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b夹角为60°，求k的值．
解　(1)因为|ka＋b|＝|a－kb|，
所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
因为|a|＝|b|＝1.
所以k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，
所以a·b＝.因为k2＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)因为a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝.
所以＝.所以k＝1.
§7　向量应用举例
内容要求　1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．
知识点1　点到直线的距离公式及直线的法向量
1．点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝＝.
【预习评价】
1．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．
答案　2
2．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是(　　)
A．(2,1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2，－1)
答案　D
知识点2　向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
【预习评价】
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(5,0) B．(－5,0)
C. D．－
答案　C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
答案　4
方向1　基底法解平面向量问题
【例1－1】　如右图，若D是△ABC内的一点，且2－2＝2－2，求证：AD⊥BC.
证明　设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.
∵＝－＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，
∴⊥.即AD⊥BC.
方向2　坐标法解决平面几何问题
【例1－2】　求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解　如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设、的夹角为θ，则cos θ＝＝＝
＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
方向3　向量在平面几何中的综合应用
【例1－3】　如图所示，△ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的直径，试判断P、Q在什么位置时·取得最大值．
解　根据题意可以求得：
＝－，＝＋＝－－，
∴·＝(－)(－－)
＝－·＋·－2＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos ∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·最大值为
||·||＝ra，即当与同向时，
·取得最大值bccos∠BAC－r2＋ar.
规律方法　用向量解平面几何问题的方法
(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．
(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．
题型二　向量在解析几何中的应用
【例2】　已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2，1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．
解　(1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，
∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．
∴直线l的斜率为2.
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.
(2)∵直线l1与l垂直，
∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)．
∴直线l1的斜率为－.
∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－(x－2)．
整理得x＋2y－2＝0.
故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.
规律方法　1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量可求得直线的斜率k＝－是求直线方程的关键．
2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题．
【训练1】　
如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y(0(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．
解　(1)＝＝－，则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x
＝－(1＋x)＋，
又∥，有x－y(1＋x)＝0，
即f(x)＝(0(2)由(1)得F(x)＝＋x＝x＋＋1(0则F(x1)－F(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝(x1－x2)，
由00，
得F(x1)－F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)．
∴F(x)在(0，1)上为减函数．
题型三　向量在解决物理问题中的应用
【例3】　在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解　设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b.
如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形．
过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点．
由已知，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°.
在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75.
又ED＝BC＝OA＝75(－)，
∴OE＝OD＋ED＝75.又BE＝CD＝75.
在Rt△OEB中，OB＝＝150，
sin∠BOE＝＝，∴||＝150，∠BOE＝30°.
故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°.
规律方法　1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
【训练2】　一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
解　依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒.
课堂达标
1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为
(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案　A
2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)(　　)
A. B.
C. D．－
解析　l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：
5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.
答案　D
3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是______________．
解析　设P(x，y)为圆上任一点，则
＝(x－1，y－2)，＝(x＋2，y－1)，
由·＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
化简得x2＋y2＋x－3y＝0.
答案　x2＋y2＋x－3y＝0
4．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析　＝－＝(3,6)＝，
∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
答案　30
5．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．
解　以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝
＝＝.
课堂小结
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．
2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．
(3)要将数学问题还原为物理问题．
基础过关
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析　l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
答案　D
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
解析　＝，又||＝||，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案　C
3．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．三条中线交点
B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点
D．三条角平分线交点
解析　∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，
∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴O是三条高线交点．
答案　B
4．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
解析　F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．
答案　(9,1)
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析　如图，作OD⊥AB于D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以
∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝1×1×(－)＝
－.
答案　－
6．过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
解　设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
7．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
解　如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos 45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
能力提升
8．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2 B.
C．－3 D．－
解析　如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.
答案　C
9．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析　∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
答案　B
10．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析　·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4?λ＝.
答案　
11.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析　∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
答案　2
12．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
解　(1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以||＝＝.
13.(选做题)如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解　(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝，
由|F1|≤2|G|，得cos θ≥.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.
第二章 平面向量
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．平面向量的基本概念
主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．
2．向量的线性运算
主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．
3．向量的坐标运算
主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．
4．平面向量的数量积
平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．
5．平面向量的应用
一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．
要点一　向量共线问题
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．
【例1】　设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．
解　方法一　假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
方法二　假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即∥，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
【训练1】　证明：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
证明　如图，
设＝a，＝b，＝3a－2b，
∵＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，
∴＝－2，∴，共线．
又，有共同起点A，∴A，B，C在同一条直线上．
∴起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)．
要点二　平面向量的线性运算
1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．
【例2】　如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解　(1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
【训练2】　计算：
(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
要点三　平面向量的坐标运算
1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．
【例3】　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求a·b；
(2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解　(1)a·b＝(3,2)·(－1,2)＝－3＋4＝1.
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，而a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)因为d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
所以
解得或
所以d＝或d＝.
【训练3】　已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标．
解　∵A(－1,2)，B(2,8)．
∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，
＝－＝＝(1,2)．
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)．
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
∴＝(－2，－4)．
要点四　向量的夹角及垂直问题
1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：
(1)cos θ＝，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．
(2)cos θ＝，求解的前提是：求出两个向量的坐标．
2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．
【例4】　已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
则|cos θ|＝＝＝.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
【训练4】　已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，
则tan α＜0，解得tan α＝－，故选A.
答案　A
要点五　向量的长度(模)与距离的问题
向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝，将它转化为实数问题，使问题得以解决．
【例5】　设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
解　方法一　∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2.
方法二　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3.
∴x1x2＋y1y2＝.
∴|3a＋b|＝
＝ ＝2.
【训练5】　设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.
解　f(x)＝1－sin2 x－|a|sin x－|b|
＝－2＋－|b|＋1.
∵0<|a|≤2，∴当sin x＝－时，－|b|＋1＝0；
当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4.
由得
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋4，
∴|a＋b|＝＝2.
基础过关
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　|a＋2b|＝
＝
＝＝.
答案　B
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　|a|cos θ＝＝＝－.
答案　D
3．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
解析　a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，a2＝b2，|a|＝|b|，cos θ＝＝＝.∴θ＝.
答案　B
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析　由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案　7
5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析　a－2b＝(，3)，
∵(a－2b)∥c，
∴3－3k＝0，∴k＝1.
答案　1
6．已知|a|＝，|b|＝1.
(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；
(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.
解　(1)|a－b|＝
＝＝1.
(2)∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝a·b－b2＝×1×cos θ－1＝0，
∴cos θ＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
7．已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解　(1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(4,2)，∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
能力提升
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　·(＋)
＝·2＝2||·||·cos 180°
＝2×××(－1)＝－.
答案　A
9．已知a＝，b＝，a∥b,0≤α＜2π，则角α等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析　因为a∥b，所以sin α＝cos α，
所以tan α＝，又0≤α＜2π，所以α＝或.
答案　D
10．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则在方向上的射影是________．
解析　由题意知，与所成的角为，
∴在方向上的射影是2×cos＝－.
答案　－
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析　由题意得：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，则k＋cos－2kcos－2＝0，化简得k＝.
答案　
12.在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如右图所示，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解　∵M为BC的中点．
∴＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝(a＋b)．
∵∥，∥，
根据向量共线的条件，存在实数λ和μ，使得＝λ＝λ(b－a)，＝μ＝μ(a＋b)，
∴＝＋＝a＋λ(b－a)
＝a＋b.
根据平面向量基本定理得
解方程得λ＝μ＝，故＝(b－a)．
13．(选做题)已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
解　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.