第三章函数 第10节 一次函数
■知识点一：一次函数的定义
?形如y=__ _(k、b为常数，k_ _)的函数叫做一次函数。当b_ __时，函数y=_ __(k__≠0__)叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_ _次
⑵自变量X的系数为常数。
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■知识点二：一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而
y随x的增大而
■知识点三：用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■知识点四：两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标. 二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■知识点五：一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■知识点六：一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。21cnjy.com
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。2■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
1.（2018年山东省青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．
2.（2018年辽宁省抚顺）一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
解：∵﹣1＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；
又∵﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
◆变式训练
1.（2018年山东省德州）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2.（2018年山东省东营）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2018年湖南省郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
解：如图，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
sin∠2==，
∴CD=2．
cos∠2=cos30°==，
OD=2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
直线AC的表达式是y=﹣x+4，
故答案为：y=﹣x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
◆变式训练
1.(2018年山东省德州) 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
1.（2017年贵州省贵阳）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】把（2，8）代入y=﹣x+a和y=x+b，即可求出a、b，即可求出答案．
解：∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），
∴8=﹣2+a，8=2+b，
解得：a=10，b=6，
∴a﹣b=4，
故选B．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两直线相交，则交点坐标满足两直线的解析式．
2.（2017年浙江省台州）如图，直线 l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）
(1)求b，m的值
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线 l1,l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值
【考点】待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题
【分析】（1）把点P（1，b）分别代入l1和l2,得到b和m的值.
（2）将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标，根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.
解：（1）把点P（1，b）代入y=2x+1,得b=2+1=3，
把点P（1，3）代入y=mx+4,得m+4=3,
∴m=-1.
（2）直线x=a与直线l1的交点C为（a,2a+1）,与直线l2的交点D为（a,-a+4）.
∵CD=2,
∴|2a+1-（-a+4）|=2,
即|3a-3|=2,
∴3a-3=2或3a-3=-2,
∴a=或a=.
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
◆变式训练
1.（2017?大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为______________（用含m的代数式表示）．
2.（2018年四川省资阳）已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（ ）
A．x B． C．x D． 0
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：（2018年四川省南充直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）
A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m．
◆变式训练
（2018年湖南省娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2018年湖南省邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ．
【考点】一次函数与一元一次方程
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
◆变式训练
（2018年贵州省遵义）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2.（2018年甘肃省定西）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为 ．
一、 选择题
（2018年江苏省常州）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y=﹣2x B．y=2x C． D．
（2018年广西玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
（2017年山东滨州）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
（2018年辽宁省葫芦岛）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4
（2018年湖南省湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
（2018年广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2018年江苏省南通）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、 填空题
（2018年四川省甘孜州）一次函数y=kx﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
（2018年上海）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
三、 解答题
（2018年重庆（B卷））如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BDC的面积．
一、 选择题
（2018年江苏省宿迁）在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（?? ）。
A．5 B．4 C．3 D．2
（2018年湖北省荆州）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
（2018年内蒙古呼和浩特）若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣l上，则常数b=（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．1
（2018年河南省）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
（2018年浙江省丽水义乌金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱
D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
（2018年内蒙古赤峰）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A．B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
（2018年内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、 填空题
（2018年内蒙古呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为 ．
（2018年浙江省温州）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．
（2018年湖北省十堰）如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为 ．
（2018年黑龙江省大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为 ．
三、 解答题
（2018年上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
（2018年江苏省无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
（2018年江苏省宿迁）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L。设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）。
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.
（2018年重庆（B卷））如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BDC的面积．
（2018年江苏省淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．
第三章函数 第10节 一次函数
■知识点一：一次函数的定义
? 形如y=__y＝kx＋b_____(k、b为常数，k_≠0_____)的函数叫做一次函数。当b_=0____时，函数y=_kx___(k__≠0__)叫做正比例函数。?21教育名师原创作品
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_1__次
⑵自变量X的系数为常数。
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■知识点二：一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
■知识点三：用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■知识点四：两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b和y=k2x+b图象的交点坐标二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■知识点五：一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■知识点六：一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。【来源：21·世纪·教育·网】
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。www-2-1-cnjy-com
■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
1.（2018年山东省青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．
2.（2018年辽宁省抚顺）一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
解：∵﹣1＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；
又∵﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
◆变式训练
1.（2018年山东省德州）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【考点】二次函数的图像，一次函数的图象
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2.（2018年山东省东营）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题，坐标与图象变换，一次函数的性质
【分析】要使得MB﹣MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
解得
∴直线AB′为：y=﹣2x﹣3，
当y=0时，x=﹣
∴M坐标为（﹣，0）
故答案为：（﹣，0）
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2018年湖南省郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
解：如图，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
sin∠2==，
∴CD=2．
cos∠2=cos30°==，
OD=2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
直线AC的表达式是y=﹣x+4，
故答案为：y=﹣x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
◆变式训练
1.(2018年山东省德州) 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
【考点】待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
1.（2017年贵州省贵阳）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】把（2，8）代入y=﹣x+a和y=x+b，即可求出a、b，即可求出答案．
解：∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），
∴8=﹣2+a，8=2+b，
解得：a=10，b=6，
∴a﹣b=4，
故选B．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两直线相交，则交点坐标满足两直线的解析式．
2.（2017年浙江省台州）如图，直线 l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）
(1)求b，m的值
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线 l1,l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值
【考点】待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题
【分析】（1）把点P（1，b）分别代入l1和l2,得到b和m的值.
（2）将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标，根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.
解：（1）把点P（1，b）代入y=2x+1,得b=2+1=3，
把点P（1，3）代入y=mx+4,得m+4=3,
∴m=-1.
（2）直线x=a与直线l1的交点C为（a,2a+1）,与直线l2的交点D为（a,-a+4）.
∵CD=2,
∴|2a+1-（-a+4）|=2,
即|3a-3|=2,
∴3a-3=2或3a-3=-2,
∴a=或a=.
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
◆变式训练
1.（2017?大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为______________（用含m的代数式表示）．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y=2x+b经过点A时，得出b=m-6；当直线y=2x+b经过点B时，得出b=m-4；即可得出答案．
解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
∴线段AB∥y轴，
当直线y=2x+b经过点A时，6+b=m，则b=m-6；
当直线y=2x+b经过点B时，6+b=m+2，则b=m-4；
∴直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为m-6≤b≤m-4；
故答案为：m-6≤b≤m-4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
2.（2018年四川省资阳）已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（ ）
A．x B． C．x D． 0
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题
【分析】由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为．
解：把（，m）代入y1=kx+1，可得
m=k+1，
解得k=m﹣2，
∴y1=（m﹣2）x+1，
令y3=mx﹣2，则
当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1，
解得x＜；
当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx，
解得x＞，
∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：（2018年四川省南充直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）
A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m．
◆变式训练
（2018年湖南省娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．
化简，得
y=2x﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2018年湖南省邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ．
【考点】一次函数与一元一次方程
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
◆变式训练
（2018年贵州省遵义）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得到2k+3=0，解得k=﹣1.5，然后解不等式﹣1.5x+3＞0即可．
解：∵直线y=kx+3经过点P（2，0）
∴2k+3=0，解得k=﹣1.5，
∴直线解析式为y=﹣1.5x+3，
解不等式﹣1.5x+3＞0，得x＜2，
即关于x的不等式kx+3＞0的解集为x＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2.（2018年甘肃省定西）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
解：∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，
∴P（2，﹣4），
又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．
故答案为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
一、 选择题
（2018年江苏省常州）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y=﹣2x B．y=2x C． D．
【考点】待定系数法求正比例函数的解析式
【分析】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），再把点（2，﹣1）代入求出k的值即可．
解：设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1），
∴2=﹣k，解得k=﹣2，
∴这个正比例函数的表达式是y=﹣2x．
故选：A．
【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（2018年广西玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【考点】一次函数的定义
【分析】根据一次函数的定义，可得答案．
解：设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
y=﹣x+90°，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数,利用一次函数的定义是解题关键
（2017年山东滨州）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小．
解：∵k2+2k+4=（k+1）2+3＞0
∴﹣（k2+2k+4）＜0，
∴该函数是y随着x的增大而减少，
∵﹣7＞﹣8，
∴m＜n，
故选B
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断k2+2k+4与0的大小关系，本题属于中等题型．
（2018年辽宁省葫芦岛）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象进行解答．
（2018年湖南省湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
解：∵一次函数y=﹣x+b中k=﹣1＜0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
（2018年广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的性质，待定系数求一次函数的解析式
【分析】分别求出当点A与点M、N重合时直线AC的解析式，由AB⊥AC可得直线AB的解析式，从而求出b的值，最终可确定b的取值范围.
解：当点A与点N重合时，MN⊥AB，
∴MN是直线AB的一部分，
∵N（3，1）
∴此时b=1；
当点A与点M重合时，设直线AC的解析式为y=k1x+m,
由于AC经过点A．C两点，故可得，解得：k1=,
设直线AB的解析式为y=k2x+b,
∵AB⊥AC,
∴,
∴k2=
故直线AB的解析式为y=x+b,
把（，1）代入y=x+b得，b=-.
∴b的取值范围是.
故选A．
【点睛】此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系.
（2018年江苏省南通）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得这两个函数的交点坐标，从而可以解答本题．
解：，
解得，，
∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点是（，），
故函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出两个函数的交点坐标，利用函数的思想解答．
二、 填空题
（2018年四川省甘孜州）一次函数y=kx﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，利用一次函数的性质可知：当一次函数的系数小于零时，一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，即可得到答案．
解：∵一次函数y=kx﹣2，y随x的增大而减小，
所以一次函数的系数k＜0，
故答案为：k＜0．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，正确记忆一次函数的性质是解题关键．
（2018年上海）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
解：∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键。
三、 解答题
（2018年重庆（B卷））如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BDC的面积．
【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积
【分析】（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x﹣4，求出B（0，﹣4）、C（4，﹣2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A．C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．
解：（1）把x=2代入y=x，得y=1，
∴A的坐标为（2，1）．
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=x﹣4，
∴x=0时，y=﹣4，
∴B（0，﹣4）．
将y=﹣2代入y=x﹣4，得x=4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（2，1）、C（4，﹣2），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=﹣x+4；
（2）∵y=﹣x+4，
∴x=0时，y=4，
∴D（0，4）．
∵B（0，﹣4），
∴BD=8，
∴△BDC的面积=×8×4=16．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．
一、 选择题
（2018年江苏省宿迁）在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（?? ）。
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】三角形的面积，一次函数图像与坐标轴交点问题
【分析】设直线l解析式为：y=kx+b，设l与x轴交于点A（- ，0），与y轴交于点B（0，b）,依题可得关于k和b的二元一次方程组，代入消元即可得出k的值，从而得出直线条数.
解：设直线l解析式为：y=kx+b，设l与x轴交于点A（- ，0），与y轴交于点B（0，b）,
∴
∴（2-k）2=8 ，
∴k2-12k+4=0或（k+2）2=0，
∴k= 或k=-2.
∴满足条件的直线有3条.
故答案为：C.
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质解。
（2018年湖北省荆州）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
【考点】一次函数的性质；一次函数图象与几何变换
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
解：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A．直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
（2018年内蒙古呼和浩特）若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣l上，则常数b=（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．1
【考点】一次函数与二元一次方程
【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
解：因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣l上，
直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0
所以﹣b=﹣2b+2，
解得：b=2，
故选：B．
【点评】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．
（2018年河南省）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】菱形性质，一次函数图象性质
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．
解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD=a
∴
∴DE=2
当点F从D到B时，用s
∴BD=
Rt△DBE中，
BE=
∵ABCD是菱形
∴EC=a﹣1，DC=a
Rt△DEC中，
a2=22+（a﹣1）2
解得a=
故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
（2018年浙江省丽水义乌金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱
D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
【考点】函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】A．观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=35时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；
D、利用待定系数法求出：当x≥50时，yB与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=70时yB的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．
综上即可得出结论．
解：A．观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、设当x≥25时，yA=kx+b，
将（25，30）、（55，120）代入yA=kx+b，得：
，解得：，
∴yA=3x﹣45（x≥25），
当x=35时，yA=3x﹣45=60＞50，
∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；
D、设当x≥50时，yB=mx+n，
将（50，50）、（55，65）代入yB=mx+n，得：
，解得：，
∴yB=3x﹣100（x≥50），
当x=70时，yB=3x﹣100=110＜120，
∴结论D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
（2018年内蒙古赤峰）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A．B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（﹣1，0），直线AB的解析式为y=﹣x+3，
∴直线CH的解析式为y=x+，
由解得，
∴H（，），
∴CH==3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∴EH=3﹣1=2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
（2018年内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】两直线相交或平行问题
【分析】利用直线l1：y=﹣x+1，即可得到A（2，0）B（0，1），AB==3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD=AO=，CD=BO=，进而得到C（，），代入直线l2：y=kx，可得k=．
解：直线l1：y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，
即A（2，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB==3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2，
∵CD∥BO，
∴OD=AO=，CD=BO=，
即C（，），
把C（，）代入直线l2：y=kx，可得
=k，
即k=，
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
二、 填空题
（2018年内蒙古呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为 ．
【考点】概率公式，一次函数的性质
【分析】直接利用一次函数增减性结合k的取值范围进而得出答案．
解：当2k﹣1＞0时，
解得：k＞，则＜k≤3时，y随x增加而增加，
故﹣3≤k＜时，y随x增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式以及一次函数的性质，关键是掌握概率的计算方法．
（2018年浙江省温州）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质
【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4，0），利用三角函数得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD=∠COE=60°，所以∠EOF=30°，则EF=OE=1，然后根据三角形面积公式计算．
解：延长DE交OA于F，如图，
当x=0时，y=﹣x+4=4，则B（0，4），
当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则A（4，0），
在Rt△AOB中，tan∠OBA==，
∴∠OBA=60°，
∵C是OB的中点，
∴OC=CB=2，
∵四边形OEDC是菱形，
∴CD=BC=DE=CE=2，CD∥OE，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠COE=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=OE=1，
△OAE的面积=×4×1=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质．
（2018年湖北省十堰）如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】先把不等式x（kx+b）＜0化为或，然后利用函数图象分别解两个不等式组．
解：不等式x（kx+b）＜0化为或，
利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，
所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．
故答案为﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2018年黑龙江省大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
【考点】待定系数法得出直线解析式，一次函数图象与几何变换，切线的判定
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A．B，（如下图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m；
在Rt△OAB中，
AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD?AB=OA?OB，
∴OD?=×，
∵m＞0，解得OD=，
由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．
故答案为：m＜．
【点评】此题主要考查直线与圆的关系,关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答。
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为 ．
【考点】平面直角坐标系规律探究题，正比例函数的性质，含有300角的直角三角形
【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可
解：由已知可知
点A．A1、A2、A3……A2018各点在正比例函数y=的图象上
点B、B1、B2、B3……B2018各点在正比例函数y=的图象上
两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为：①
由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018 都有一个锐角为30°
∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1点纵坐标为9=32
当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33
当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34
依稀类推
点B2018的纵坐标为32019
故答案为：32019
【点评】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．
三、 解答题
（2018年上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【考点】一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．
解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为y=﹣x+60．
（2）当y=﹣x+60=8时，
解得x=520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【点评】考查了函数的图象和待定系数法求解析式，读懂题意图意，找到相应的等量关系是解决本题的关键．
（2018年江苏省无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；作图—复杂作图
【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
（1）解：如图△ABC即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣x+．
②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣x+4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2018年江苏省宿迁）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L。设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）。
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.
【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，根据实际问题列一次函数表达式
【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）.
（2）根据题意可得不等式：40- x≥40× ，解之即可得出答案.
（1）解：依题可得：y=40- x，即y=40- x（0≤x≤400）.答：y与x之间的函数表达式为：y=40- x（0≤x≤400）.
（2）解：依题可得：40- x≥40× ，∴- x≥-30，
∴x≤300.
答：该辆汽车最多行驶的路程为300.
（2018年重庆（B卷））如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BDC的面积．
【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积
【分析】（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x﹣4，求出B（0，﹣4）、C（4，﹣2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A．C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．
解：（1）把x=2代入y=x，得y=1，
∴A的坐标为（2，1）．
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=x﹣4，
∴x=0时，y=﹣4，
∴B（0，﹣4）．
将y=﹣2代入y=x﹣4，得x=4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（2，1）、C（4，﹣2），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=﹣x+4；
（2）∵y=﹣x+4，
∴x=0时，y=4，
∴D（0，4）．
∵B（0，﹣4），
∴BD=8，
∴△BDC的面积=×8×4=16．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．
（2018年江苏省淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A．C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
解：（1）当x=1时，y=3x=3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，
得：，
解得：．
（2）当y=0时，有﹣x+4=0，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m）（m＜0），
∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3，
解得：m=4，
∴点D的坐标为（0，4）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程．
