江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次（1月）模拟考试数学试题（WORD版）

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数 学 2019.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一?填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．
1．若集合A＝(－∞，1]，B＝{－1，1，2}，则A∩B＝ ▲ ．
2．设复数z＝a＋i(其中i为虚数单位)，若z＝2，则实数a的值为 ▲ ．
3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝ ▲ ．
4．从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是
偶数的概率为 ▲ ．
5．如图所示的流程图中，若输入x的值为－4，则输出c的值
为 ▲ ．
6．若双曲线－＝1的离心率为2，则实数m的值为 ▲ ．
7．已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，
f(x)＝ex＋1，则f(－ln2)的值为 ▲ ．
8．已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为 ▲ ．

9．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为 ▲ ．
10．设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为 ▲ ．
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω＞0．若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是 ▲ ．
12．若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为 ▲ ．
13．设函数f(x)＝x3－a2x(a＞0，x≥0)，O为坐标原点，A(3，－1)，C(a，0)，若对此函数图象上的任意一点B，都满足·≤·成立，则a的值为 ▲ ．
14．若数列{an}满足a1＝0，a4n－1－a4n－2＝a4n－2－a4n－3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有an＜m成立，则m的最小值为 ▲ ．
二?解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15． (本小题满分14分)
在ΔABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记ΔABC的面积为S，且2S＝·．
（1）求角A的大小；
（2）若c＝7，cosB＝，求a的值．



16．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）A1F//平面ADE．



17． (本小题满分14分)
盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若在凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6．
（1）求实数m的值；
（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)







18．(本小题满分16分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P、Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．
①若m＝0，求k1k2的值；
②若k1k2＝－，求实数m的值．








19． (本小题满分16分)
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．
设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．
（1）若函数f(x)在(0，1)上无极值点，求t的取值范围；
（2）求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；
（3）当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．







20． (本小题满分16分)
已知数列{an}，其中n∈N*．
（1）若{an}满足an＋1－an＝qn－1(q＞0，n∈N*)．
①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；
②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且ar，as，at成等差数列，求q的值．
（2）设数列{an}的前n项和为bn，数列{bn}的前n项和为cn，cn＝bn＋2－3，n∈N*，
若a1＝1，a2＝2，且|an＋12－anan＋2|≤k恒成立，求k的最小值．









盐城市、南京市2018届高三年级第二次模拟考试
数学附加题 2019.01
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题纸相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
直线l：2x－y＋3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．




B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为O原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C截得的弦长．




C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知正实数x，y，z，满足x＋y＋z＝3xy，求xy＋yz＋zx的最小值．







【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，点E是
棱PB的中点．
（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B－EC－D的余弦值．









23．(本小题满分10分)
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C
＝(an＋2－1)·2n－1成立．
（1）求a3的值；
（2）证明：数列{an}是等差数列．


盐城市?南京市2019届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准 2019.01
说明:
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1． {－1，1} 2． ±1 3． 80 4． 5． 4 6． 6
7． －3 8． 16 9． 10． 1 11． [，) 12．
13． 14． 8
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
解：（1）由2S＝·，得bcsinA＝bccosA．因为cosA≠0，所以tanA＝1．
因为A∈(0，π)，所以A＝． ……………………6分
（2）ΔABC中，cosB＝，所以sinB＝＝，
所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝． ……………………10分
由正弦定理＝，得＝，
解得a＝5． ……………………14分
16．(本小题满分14分)
证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC． ……………………2分
因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1．
又因为AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1． …………………6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1． …………………8分
因为A1F平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F．
又因为A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1． …………………10分
在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F//AD．
又因为A1F平面ADE，AD平面ADE，所以A1F//平面ADE． …………………14分
17．(本小题满分14分)
解：（1）由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，
解得m＝12． …………………5分
（2）由已知函数求导，得f'(x)＝＋600＝(12－x)[＋]．
令f'(x)＝0，得x＝12． ……………………9分
列表得
x (4，12) 12 (12，22)
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 增 极大值 减
所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时． ……………………12分
答：（1）实数m的值为12；（2）空气质量指数最高的时刻为12时． ……………14分
18．(本小题满分16分)
解：（1）因为椭圆C的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×＝8，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1． …………………3分
（2）设P(x0，y0)，由于m＝0，则Q(－x0，－y0)，
由＋＝1，得y02＝3－， ……………………5分
所以k1k2＝·＝＝＝－． …………………8分
（3）由（1）得A(－2，0)．
方法一：设P(x1，y1)，设直线AP的方程为AP：y＝k1(x＋2)，
联立，消去y，得(3＋4k12)x2＋16kx＋16k－12＝0，
所以xA·x1＝， ……………………10分
所以x1＝， 代入y＝k1(x＋2)得y1＝，
所以P(，)． …………………12分
由k1k2＝－，得k2＝－，所以Q(，)． ……………………13分
设M(m，0)，由P，Q，M三点共线，得＝λ，
即×(－m)＝ ×(－m)，
化简得(m－1)(16k12＋4)＝0，所以m＝1． …………………16分
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，消去y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝ ………………10分
而k1k2＝·＝·＝＝－，
…………………13分
化简得＝－，即m2k2＋mk2－2k2＝0．
因为k2≠0，所以m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2(舍去)．
当m＝1时，△＞0，
所以，m＝1． …………………………16分
19． (本小题满分16分)
解：（1）由函数f(x)＝x3－tx2＋1，得f'(x)＝3x2－2tx．由f'(x)＝0，得x＝0，或x＝t．
因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以t≤0或t≥1，
解得t≤0或t≥．…………………………4分
（2）令f'(x)＝3x2－2tx＝p，即3x2－2tx－p＝0，△＝4t2＋12p．
当p＞－时，Δ＞0，此时3x2－2tx－p＝0存在不同的两个解x1，x2．…………………8分
设这两条切线方程为分别为y＝(3x12－2tx1)x－2x13＋tx12＋1和y＝(3x22－2tx2)x－2x23＋tx22＋1．
若两切线重合，则－2x13＋tx12＋1＝－2x23＋tx22＋1，
即2(x12＋x1x2＋x22)＝t(x1＋x2)，即2[(x1＋x2)2－x1x2]＝t(x1＋x2)．
而x1＋x2＝，化简得x1·x2＝，此时(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝0，
与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合．
综上，对任意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行． ………………10分
（3）当t＝3时f(x)＝x3－3x2＋1，f'(x)＝3x2－6x．
由（2）知x1＋x2＝2时，两切线平行．
设A(x1，x13－3x12＋1)，B(x2，x23－3x22＋1)，
不妨设x1＞x2，则x1＞1．
过点A的切线方程为y＝(3x12－6x1)x－2x13＋3x12＋1． ……………………11分
所以，两条平行线间的距离
d＝＝＝4，
化简得(x1－1)6＝1＋9[(x1－1)2－1]2， ………………13分
令(x1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，
即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0．
显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解．
因为x1－1＞0，所以x1有3解，
所以满足此条件的平行切线共有3组． ……………………16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）①由a4－a3＝4，a3－a2＝2，a2－a1＝1，a1＝1，累加得a4＝8． …………………3分
②因an＋1－an＝qn－1，所以n≥2时，an－an－1＝qn－2，…，a2－a1＝1．
(i)当q＝1时，an＝n－1＋a1 (n≥2)．又因为a1满足an＝n－1＋a1，所以an＝n－1＋a1 (n∈N*)．
因为2s＝r＋t，所以2as＝ar＋at，所以q＝1满足条件．
(ii)当q≠1且q＞0时，an＝＋a1 (n≥2)．
又因为a1满足an＝＋a1，所以an＝＋a1 (n∈N*)． ………………5分
因为2s＝r＋t，
若存在r，s，t满足条件，即2as＝ar＋at，化简得2qs＝qr＋qt，
则2＝qr－s＋qt－s≥2＝2，
此时r＝t＝s，这与r，s，t互不相等矛盾．
所以q≠1且q＞0不满足条件． ……………………7分
综上所述，符合条件q的值为1． ……………………8分
（2）由cn＝bn＋2－3，n∈N*，可知cn＋1＝bn＋3－3，两式作差可得：bn＋3＝bn＋2＋bn＋1．
又因为a1＝1，a2＝2，所以b1＝1，b2＝3，
从而c1＝1，c2＝4，可得b3＝4，b4＝7，故b3＝b2＋b1，
所以bn＋2＝bn＋1＋bn对一切的n∈N*恒成立． …………………11分
对bn＋3＝bn＋2＋bn＋1，bn＋2＝bn＋1＋bn两式进行作差可得an＋3＝an＋2＋an＋1．
又由b3＝4，b4＝7，可知a3＝1，a4＝3，故an＋2＝an＋1＋an，(n≥2)．…………………13分
又由a－an＋1an＋3＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2＋an＋1)＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2an＋1)
＝－a＋anan＋2，n≥2，
所以|an＋22－an＋1an＋3|＝|an＋12－anan＋2|， ……………………15分
所以当n≥2时，|a－anan＋2|＝5，当n＝1时|a－anan＋2|＝3，
故k的最小值为5． …………………………16分



南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2019.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
解：设直线l上一点(x，y)，经矩阵M变换后得到点(x'，y')，
所以＝，即，因变换后的直线还是直线l，将点(x'，y')代入直线l的方程，
于是2ax－(x＋dy)＋3＝0，即(2a－1)x－dy＋3＝0，
所以解得 …………………6分
所以矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)＝0，
解得λ＝a或λ＝d，所以矩阵的M的特征值为与1． …………………10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2－2x＝0，
所以圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径r＝1． ……………………3分
又消去参数t，得直线l方程为x＋y－2＝0， ……………………6分
所以圆心到直线l的距离d＝＝，
所以直线l被圆C截得的弦长为2＝． ………………10分
C．选修4—5：不等式选讲
解：因为x＋y＋z＝3xyz，所以＋＋＝3．…………………………2分
又因为(xy＋yz＋zx)(＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9，…………………………6分
所以xy＋yz＋zx≥3．
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
所以xy＋yz＋zx的最小值为3． …………………………10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）因PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因PA＝AB＝，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，………2分
因为E是棱PB的中点，所以E(，0，)，
所以＝(，1，－)，＝(0，1，－)，
所以cos＜，＞＝＝，
所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为． ……………………6分
（2）由（1）得＝(，1，－)，＝(0，1，0)，＝(，0，0)，
设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，所以
令x1＝1，则z1＝1，所以面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)，
设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以
令z2＝，则y2＝1，所以面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，)，
所以cos＜n1，n2＞＝＝．由图可知二面角B－EC－D为钝角，
所以二面角B－EC－D的余弦值为－． …………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）在a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1中，
令n＝1，则a1C＋a2C＝a3－1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5．……………………3分
（2）若a1，a2，a3，…，ak是等差数列，则公差为2，即ak＝2k－1．
①当n＝3时，由（1）知a1＝1，a2＝3，a3＝5，此时结论成立．……………………4分
②假设当n＝k(k≥3)时，结论成立，即a1，a2，a3，…，ak是等差数列，则公差为2．…5分
由a1C＋a2C＋a3C＋…＋akC＝(ak＋1－1)·2k－2，k≥3，
对该式倒序相加，得(a1＋ak)2k－1＝2(ak＋1－1)·2k－2，
所以ak＋1－ak＝a1＋1＝2，即ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1，
所以当n＝k＋1时，结论成立．
根据①?②，可知数列{an}是等差数列． …………………10分






是

输入

开始

否

结束





输出

第5题



C

第9题

A

B

P

E

F

第22题

B

A

C

P

E

D