【高考精粹】高考二轮复习学案专题第四讲：曲线运动（抛体）及应用

2019届高三二轮复习专题复习
专题一 曲线运动（抛体）的规律及应用(2课时）
01考纲解读
考点
要求
考点解读及预测
曲线运动的描述
Ⅰ
本专题知识是整个高中物理在轨迹为曲线方面的基础，高考对本部分考查的重点是应用分解思想解决实际问题；命题情景较为新颖，考察分运动的速度位移的求解，平抛运动的规律，斜抛运动初速度的分解，可转化为互相正交的两个直线运动的曲线运动问题......常结合牛顿第二定律分析、计算和应用考查，本专题内容单独考查主要是以选择题的形式出现，而单独命题的计算题较少，更多的是与牛顿运动定律、带电粒子的运动等知识结合起来进行考查.
平抛运动的特点及解题方法。
Ⅱ
抛体运动的规律及处理方法。
Ⅱ
02知识梳理
曲线运动
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.
（3）运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.
（4）合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.
平抛运动
（1）定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动.
（2）性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
（3）研究方法：运动的合成与分解
水平方向：匀速直线运动； 竖直方向：自由落体运动.
（4）基本规律(如图1)
位移关系：
速度关系：
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
(3)研究方法：运动的合成与分解
水平方向：匀速直线运动； 竖直方向：匀变速直线运动.
(4)基本规律(以斜上抛运动为例，如图3所示)
水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；
竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
03重点拓展
1．研究曲线运动的常规方法
（1）基本方法：运动的分解，公式vx=v0、x=v0t+at2、vy=gt。y=gt2是研究匀变速曲线运动的最基本的规律，
（2）特殊方法
①分解速度或者分解位移法：如已知合速度v和速度的偏向角θ则vx=v0=vcosθ，vy=vsinθ。位移亦然。
②小船渡河问题
船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.
三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船分析思路
．
③关联速度问题
模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等.
思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则.
解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图7所示.
④图象法：运动图象主要包括s－t图象和v－t图象，图象的最大优点就是直观，利用图象分析问题时，要注意以下几个方面：
a．图象与坐标轴交点的意义；
b．图象斜率的意义；
c．图象与坐标轴围成的面积的意义；
d．两图线交点的意义．
根据两种运动的特点要描述物体的运动轨迹以及速度位移变化情况。
2．平抛运动基本规律及推论
（1）飞行时间 由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关.
（2）水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
（3）落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关.
（4）速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图5所示.
（5）两个重要推论
a做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如下图所示，即xB＝.
推导：
→xB＝
b做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
04典例分析
考点一 曲线运动的曲线运动的条件和特征
【典例1】下列说法正确的是(　　)
A.做曲线运动的物体的速度一定变化
B.速度变化的运动一定是曲线运动
C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D.加速度变化的运动一定是曲线运动
【思路点拔】曲线运动的轨迹是曲线，速度的方向是不断变化的。
【答案】　A
【解析】　做曲线运动的物体，速度方向一定改变，选项A正确；速度大小改变而方向不变的运动是直线运动，选项B错误；平抛运动是加速度恒定的曲线运动，选项C错误；加速度大小改变，但加速度方向与速度方向始终相同，这种运动是直线运动，选项D错误.
【规律方法】 对曲线运动的分析，要紧抓以下几个方面：
1.条件
物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线.
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动.
(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲.
(4)能量特征：如果物体所受的合外力始终和物体的速度垂直，则合外力对物体不做功，物体的动能不变；若合外力不与物体的速度方向垂直，则合外力对物体做功，物体的动能发生变化.
考点二 合运动的合成与分解
【典例2】甲乙两运动(2015·新课标全国Ⅱ·16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图3所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(　　)
A.西偏北方向，1.9×103 m/s
B.东偏南方向，1.9×103 m/s
C.西偏北方向，2.7×103 m/s
D.东偏南方向，2.7×103 m/s
【思路点拨】分析运动过程，应用速度相等和时间关系、位移关系列方程，并结合运动学公式求解．
【解析】附加速度Δv与卫星飞经赤道上空时的速度v2及同步卫星的环绕速度v1的矢量关系如图所示.由余弦定理可知，Δv＝≈1.9×103 m/s，方向为东偏南方向，故B正确，A、C、D错误.
．
【答案】B
考点三 绳端速度分解模型析
【典例3】如图8所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)
A.vsin α B.
C.vcos α D.
【思路点拨】把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图7所示.
【解析】将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v2)，如图所示.船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝vcos α，选项C正确.
【答案】C
考点四 杆端速度分解模型用
【典例4】某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处时，所经历的时间为多少？如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将(　　)
A.逐渐增大 B.先减小后增大 C.先增大后减小 D.逐渐减小
【解析】　设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点运动的线速度v＝ω·.将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点运动的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故A正确，B、C、D错误.
【答案】A
05强化训练
（一）选择题
1.教材P7第2题改编(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)

A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
2.(2015·广东理综·14)如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　　)
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
3.(多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D.猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
4.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)(　　)
图9
A. B. C. D.
5.两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a和b，小球a、b间用一细直棒相连，如图12所示.当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a、b实际速度大小之比.
6.(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图13所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)
A.初速度之比是∶∶
B.初速度之比是1∶∶
C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
7.(多选)如图17所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是(　　)
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球垂直击中斜面，则t＝
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
8.如图19所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是(　　)
A.只要v0足够大，小球可以击中B点
B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
9.如图20，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出.若初速度为va，将落在圆弧上的a点；若初速度为vb，将落在圆弧上的b点.已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则(　　)
图20
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
（二）计算题
10．4.小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：
(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
11．如图21所示，小球自楼梯顶的平台上以水平速度v0做平抛运动，所有阶梯的高度为0.20 m，宽度为0.40 m，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小球抛出后能直接打到第1级阶梯上v0的范围；
(2)求小球抛出后能直接打到第2级阶梯上v0的范围；
(3)若小球以10.4 m/s的速度水平抛出，则小球直接打到第几级阶梯上？
12.(2018·贵州兴义质检)某新式可调火炮，水平射出的炮弹可视为平抛运动.如图9，目标是一个剖面为90°的扇形山崖OAB，半径为R(R为已知)，重力加速度为g.
图9
(1)若以初速度v0(v0为已知)射出，恰好垂直打在圆弧的中点C，求炮弹到达C点所用的时间；
(2)若在同一高地P先后以不同速度射出两发炮弹，击中A点的炮弹运行的时间是击中B点的两倍，O、A、B、P在同一竖直平面内，求高地P离A的高度.
13.如图10所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.空气阻力不计，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图10
(1)小球水平抛出的速度v0的大小；
(2)小滑块的初速度v的大小.
参考答案
（一）选择题
1.教材P7第2题改编(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)

A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
【答案】BC
2.(2015·广东理综·14)如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　　)
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【答案】D
【解析】　以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对帆板的速度v相对＝v，方向为北偏东45°，D正确.
3.(多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D.猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【答案】BD
【解析】　猴子在竖直方向做初速度为8 m/s、加速度为4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确
4.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)(　　)
图9
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝ ①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cos α ②
由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A ③
联立①②③式解得vB＝，选项D正确.
5.两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a和b，小球a、b间用一细直棒相连，如图12所示.当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a、b实际速度大小之比.
【答案】tan θ
【解析】根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示.由图中几何关系可得，a、b沿棒方向的分速度分别为vacos θ和vbsin θ，根据“关联速度”的特点可知，两小球沿棒的分速度大小相等，即有vacos θ＝vbsin θ，解得：＝tan θ.
6.(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图13所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)
A.初速度之比是∶∶
B.初速度之比是1∶∶
C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【答案】AC
【解析】 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误.
7.(多选)如图17所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是(　　)
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球垂直击中斜面，则t＝
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
【答案】AB
【解析】小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误.
8.如图19所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是(　　)
A.只要v0足够大，小球可以击中B点
B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【答案】D
【解析】小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确
9.如图20，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出.若初速度为va，将落在圆弧上的a点；若初速度为vb，将落在圆弧上的b点.已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则(　　)
图20
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【答案】D
【解析】小球水平抛出，其做平抛运动，由平抛运动规律知，若落到a点，则有
Rsin α＝vata
Rcos α＝gta2
得va＝·sin α
若落到b点，则有
Rsin β＝vbtb
Rcos β＝gtb2
得vb＝·sin β
则＝，故D正确.
（二）计算题
10．4.小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：
(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】　(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动.因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即
t＝＝ s＝50 s
小船沿水流方向的位移x水＝v水t＝2×50 m＝100 m
即船将在正对岸下游100 m处靠岸.
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos θ＝＝＝，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间
t＝＝ s＝ s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示.船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin β，故小船渡河的时间为t＝.当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间tmin＝50 s.
(4)因为v船＝3 m/s则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又＝＝，代入数据解得x′≈267 m.
11．如图21所示，小球自楼梯顶的平台上以水平速度v0做平抛运动，所有阶梯的高度为0.20 m，宽度为0.40 m，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小球抛出后能直接打到第1级阶梯上v0的范围；
(2)求小球抛出后能直接打到第2级阶梯上v0的范围；
(3)若小球以10.4 m/s的速度水平抛出，则小球直接打到第几级阶梯上？
【答案】　(1)0【解析】　(1)运动情况如图甲所示，根据题意及平抛运动规律有h＝，x＝v0t1，可得v0＝2 m/s，故直接打到第1级阶梯上v0的范围是0(2)运动情况如图乙所示，根据题意及平抛运动规律有2h＝，2x＝v0t2，可得v0＝2 m/s，故直接打到第2级阶梯上v0的范围是2 m/s(3)同理推知，直接打到第3级阶梯上v0的范围是2 m/s直接打到第n级阶梯上v0的范围是2 m/s设能直接打到第n级阶梯上，有2<10.4≤2
解得27.04≤n<28.04，故能直接打到第28级阶梯上.
12.(2018·贵州兴义质检)某新式可调火炮，水平射出的炮弹可视为平抛运动.如图9，目标是一个剖面为90°的扇形山崖OAB，半径为R(R为已知)，重力加速度为g.
图9
(1)若以初速度v0(v0为已知)射出，恰好垂直打在圆弧的中点C，求炮弹到达C点所用的时间；
(2)若在同一高地P先后以不同速度射出两发炮弹，击中A点的炮弹运行的时间是击中B点的两倍，O、A、B、P在同一竖直平面内，求高地P离A的高度.
【答案】　(1)　(2)R
【解析】　(1)设炮弹的质量为m，炮弹做平抛运动，其恰好垂直打在圆弧的中点C时，如图，由几何关系可知，其水平分速度和竖直分速度相等，即vy＝vx＝v0
又vy＝gt
得t＝
(2)设高地P离A的高度为h，则有
h＝g(2t0)2
h－R＝gt02
解得h＝R
13.如图10所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.空气阻力不计，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图10
(1)小球水平抛出的速度v0的大小；
(2)小滑块的初速度v的大小.
【答案】　(1)3 m/s　(2)5.35 m/s
【解析】　(1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则小滑块的位移为s＝ m＝1.5 m
小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－at2
解得v＝5.35 m/s.
甲车滑行距离：s＝＝12.5 m
由于x＝12．5 m＜15 m，所以甲车能避免闯红灯。
(2)设甲、乙两车行驶过程中至少应保持距离x0，在乙车刹车t2时间两车速度相等，乙车紧急刹车的加速度为a2＝ 速度相等：v0－a1(t2＋t0)＝v0－a2t2 解得：t2＝2.0 s
乙车发生的位移：x乙＝v0t0＋v0t2－＝15 m
甲车发生的位移：x甲＝v0(t0＋t2)－ a1(t0＋t2)2＝12.5 m
x0＝x乙－x甲＝(15－12．5)m＝2.5 m