【高考精粹】高考二轮复习学案专题第五讲：圆周运动

2019届高三二轮复习专题复习
专题五 圆周运动(2课时）
01考纲解读
考点
要求
考点解读及预测
圆周运动的描述
Ⅰ
本专题知识考查主要有描述圆周运动的物理量及其关系；向心力的来源分析；水平面内和竖直面内的临界和极值问题。常结合牛顿第二定律分析、计算和应用考查。
本专题内容单独考查主要是以选择题的形式出现，还常常与牛顿运动定律、带电粒子的运动等知识结合起来进行考查，多以生活中的问题为背景，突出综合应用知识解决实际问题能力的考查。
创新区域：①注重思想方法的考查 ②圆周运动与实际问题相联系。
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
02知识梳理
1. 描述圆周运动的物理量及相互关系
定义、意义
公式、单位
线速度
①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切[来源:z.zs.tep.com]
①v＝＝
②单位：m/s
角速度
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期和转速
①周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T)
②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)，也叫频率(f)
①T＝；单位：s
②n的单位r/s、r/min
③f的单位：Hz
f＝
向心加速度
①描述速度方向变化快慢的物理量(an)
②方向指向圆心[来源:中|国教|育出|版网]
①an＝＝ω2r
②单位：m/s2
向心力
①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
②方向指向圆心
①Fn＝mω2r＝m＝mr
②单位：N
相互关系
①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
③Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv＝m4π2f2r
2.匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
3.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
4．非匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。
(2)合力的作用：
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。[来源:中|国网]
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
a．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
(3)受力特点：
①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当Fb．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mω2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
5．竖直平面内的圆周运动问题
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
[来源:中。教。网z。z。s。tep]
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球能运动即可得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线
取竖直向下为正方向
[来源:中,国教,育出,版网]
取竖直向下为正方向
03重点拓展
1.对公式v＝ωR和a＝＝ω2R的理解
(1)由v＝ωR知，R一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与R成反比．
(2)由a＝＝ω2R知，在v一定时，a与R成反比；在ω一定时，a与R成正比．
2．传动装置特点[来源:Zxxk.Com]
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．
(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．

在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小a＝rω2与半径r成正比。
(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝、a＝确定。
3.向心力
(1)向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
(2)向心力的确定
①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
(3)解决圆周运动问题的主要步骤
①审清题意，确定研究对象．
②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等．
③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源．
④据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
⑤求解、讨论．
4.竖直平面内圆周运动中的临界问题
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
04典例分析
考点一 描述匀速圆周运动的基本物理量及其关系
【典例1】某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是(　　)
A．分针的角速度与时针的角速度相等
B．分针的角速度是时针的角速度的60倍
C．分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍
D．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
【思路点拔】先计算出角速度的比值，再根据v＝ωR和a＝＝ω2R算出速度和加速度的比值
【解析】　分针的角速度ω1＝＝ rad/min，时针的角速度ω2＝＝ rad/min.
ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，
a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确．
【答案】　C
【规律方法】熟练掌握相关物理量的关系：①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
考点二 传动装置
【典例2】如图4－3－4所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)
[来源:zzstep.com]
图4－3－4
【思路点拔】分析传动过程中不变量，利用关系式计算比值
【解析】大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小相等，由v＝2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为：n1∶n小＝R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系为：n车＝n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为：n车∶n2＝r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为：n1∶n2＝2∶175。
【答案】 2∶175
【规律方法】解答传动装置问题时，关键是分析传动过程的不变量。
考点三 竖直面内圆周运动
【典例3】如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为图乙所示模型；竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点受轨道的磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
(1)判断质点运动过程中机械能是否守恒，并说明理由；
(2)若质点在A点的速度，求质点在该点对轨道的弹力；
(3)若磁性引力大小F可变，质点仍做完整圆周运动，求的最小值。
【解析】 (1)只有重力做功，机械能守恒。
(2)设轨道在A点对质点向上的弹力大小为FN
F＋mg－FN＝m
代入数据，得：FN＝F
由牛顿第三定律得：质点在A点对轨道弹力大小为F，方向竖直向下
(3)质点在B点不脱轨即可
当vA＝0时，到达B处速度最小
mg·2R＝mv－0
FB－mg－FN＝m
所以，FB＝5mg＋FN
当FN＝0时，磁性引力最小
故＝5
【规律方法】
考点四 综合应用
【典例4】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图14所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
图14
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；
(2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
【解析】　(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得
竖直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t
解得v1＝
在竖直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，则
v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R＝d
对小球在最低点由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.由牛顿第二定律得
FT－mg＝
解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1，则
竖直方向d－l＝gt12
水平方向x＝v3t1
解得x＝4
当l＝时，x有最大值，xmax＝d.
【答案】　(1)　　(2)mg　(3)　d
05强化训练
（一）选择题
1.洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是(　　)
A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好[来源:学#科#网Z
2．火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10°。在此10s时间内，火车(　 　)
A．运动路程为600m　　　 B．加速度为零
C．角速度约为1rad/s　　　 D．转弯半径约为3.4km
如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点(　　)
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
　
北京时间2017年9月7日，全运会在天津举办，山东队28岁的张成龙以14.733分在男子单杠决赛中获得第一名。假设张成龙训练时做“单臂大回环”的高难度动作时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图7甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F－v2图象如图乙所示。g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．张成龙的质量为65 kg
B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9 m
C．当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，张成龙运动到最低点时，单臂最少要承受3 250 N的力
如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F．小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g．下列说法正确的是
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v1＝2、v2＝3、v3＝4水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是(　　)
A．三个小球离开轨道后均做平抛运动
B．小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2
C．小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1∶1
D．小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω2＞，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
如图所示，在2017年郑州航展上奥伦达开拓者飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作。现将其简化成如图乙所示的光滑球拍和小球，让小球在竖直面内始终不脱离球拍而做匀速圆周运动，且在运动到图乙中的A、B、C、D位置时球与球拍间无相对运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高，且此时球拍与水平面成θ角。设小球的质量为m，做圆周运动的半径为R，则(　　)
A.小球通过C点时向心力的大小等于小球通过A点时的向心力大小
B.小球在C点受到的球拍的弹力比在A点时大3mg
C.在B、D两处球拍的倾角与小球的运动速度v应满足tan θ＝
D.小球在B、D两点受到的球拍的弹力大小为FN＝mg＋
如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直的金属棒，在直棒上和圆环的BC部分分别套着两个相同的小环M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度ω做匀速转动，半圆环的半径为R，小圆环的质量均为m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g，小环可视为质点，则M、N两环做圆周运动的线速度之比为(　A　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
（二）计算题
11. 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
12. 半径为R的水平圆台可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图11所示。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，A与槽底间的动摩擦因数为μ0，质量为mB的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的，A、B间用一长为l(l图11
(1)当圆台做匀速转动，A物体与圆盘之间刚好没有摩擦力且A、B两物体相对圆台不动时，则A到圆心的距离x为多大？此时的转动角速度ω应为多大？
(2)当圆台做匀速转动，A、B两物体相对圆台不动且A物体与圆台有摩擦时，转动角速度ω和A到圆心的距离x应满足的条件。

参考答案
（一）选择题
1.洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是(　　)
A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好[来源:学#科#网Z
【解析】　水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B项错误；脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，A项正确；角速度增大，水滴所需向心力增大，脱水效果更好，C项正确；周边的衣物因圆周运动的半径R更大，在ω一定时，所需向心力比中心的衣物大，脱水效果更好，D项正确．
【答案】　B
2．火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10°。在此10s时间内，火车(　 　)
A．运动路程为600m　　　 B．加速度为零
C．角速度约为1rad/s　　　 D．转弯半径约为3.4km
【解析】 A对：由s＝vt知，s＝600m。B错：在弯道做圆周运动，火车加速度不为零。C错：由10s内转过10°知，角速度ω＝rad/s＝rad/s≈0.017rad/s。D对：由v＝rω知，r＝＝m≈3.4km。
【答案】　AD
如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
【解析】根据上述规律可知，此题中的A、B两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a＝＝Rω2＝可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由RA>RB，可知vA>vB，ωA<ωB，TA>TB，则选项A、B正确，C错误。由于A、B质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D错误。
【答案】　AB
小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点(　　)
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
　【解析】从释放到最低点过程中，由动能定理得mgl＝mv2－0，可得v＝，因lPmQ，故两球动能大小无法比较，选项B错误；在最低点对两球进行受力分析，根据牛顿第二定律及向心力公式可知T－mg＝m＝man，得T＝3mg，an＝2g，则TP>TQ，aP＝aQ，C正确，D错误．
【答案】C
北京时间2017年9月7日，全运会在天津举办，山东队28岁的张成龙以14.733分在男子单杠决赛中获得第一名。假设张成龙训练时做“单臂大回环”的高难度动作时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图7甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F－v2图象如图乙所示。g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．张成龙的质量为65 kg
B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9 m
C．当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上
D．在完成“单臂大回环”的过程中，张成龙运动到最低点时，单臂最少要承受3 250 N的力
【解析】 张成龙的胳膊既可以提供拉力，也可以提供支持力，可以理解为“杆模型”。对张成龙在最高点进行受力分析，当速度为零时，有F－mg＝0，结合图象解得质量m＝65 kg，选项A正确；当F＝0时，由向心力公式可得mg＝，结合图象可解得R＝0.9 m，故张成龙的重心到单杠的距离为0.9 m，选项B正确；当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的拉力作用，方向竖直向下，选项C错误；张成龙经过最低点时，单臂受力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝m，张成龙从最高点运动到最低点的过程中，由动能定理得2mgR＝mv－mv2，当v＝0时，F有最小值Fmin，故由以上两式得Fmin＝3 250 N，即张成龙的单臂最少要承受3 250 N的力，选项D正确。
【答案】　ABD
如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F．小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g．下列说法正确的是
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
【解析】由题意知，F为夹子与物块间的最大静摩擦力，但在实际运动过程中，夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大，故物块向右匀速运动时，绳中的张力等于Mg，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动， ，绳中的张力大于物块的重力Mg，当绳中的张力大于2F时，物块将从夹子中滑出，即，此时速度，故B错误；D正确；物块能上升的最大高度， ，所以C错误．
【答案】D
如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v1＝2、v2＝3、v3＝4水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是(　　)
A．三个小球离开轨道后均做平抛运动
B．小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2
C．小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1∶1
D．小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1
【解析】 设小球恰好通过最高点时的速度为v，此时由重力提供向心力，则mg＝m，
得v＝
设小球能通过最高点时在轨道最低点时最小速度为v′，由机械能守恒定律得2mgR＋mv2＝mv′2， 得v′＝
由于v1＝2＜v′，所以小球1不能到达轨道最高点，也就不能做平抛运动，故选项A错误；
小球2和小球3离开轨道后做平抛运动，由2R＝gt2得t＝2，则得：小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1。
设小球2和小球3通过最高点时的速度分别为v2′和v3′。
根据机械能守恒定律得：2mgR＋mv2′2＝mv；2mgR＋mv3′2＝mv；
解得v2′＝，v3′＝2
由平抛运动规律得：水平距离为x＝v0t，t相等，则小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2。
小球1做的不是平抛运动，则小球1和小球2做平抛运动的时间之比不是1∶1，故选项B、D正确，C错误。
【答案】　BD
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω2＞，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故选项A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，故选项B错误；当b绳拉力为零时，有：＝mlω2，解得ω2＝，当角速度ω2＞，b绳将出现弹力，故选项C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故选项D错误。
【答案】　AC
如图所示，在2017年郑州航展上奥伦达开拓者飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作。现将其简化成如图乙所示的光滑球拍和小球，让小球在竖直面内始终不脱离球拍而做匀速圆周运动，且在运动到图乙中的A、B、C、D位置时球与球拍间无相对运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高，且此时球拍与水平面成θ角。设小球的质量为m，做圆周运动的半径为R，则(　　)
A.小球通过C点时向心力的大小等于小球通过A点时的向心力大小
B.小球在C点受到的球拍的弹力比在A点时大3mg
C.在B、D两处球拍的倾角与小球的运动速度v应满足tan θ＝
D.小球在B、D两点受到的球拍的弹力大小为FN＝mg＋
【解析】小球在竖直面内始终不脱离球拍而做匀速圆周运动，小球通过C点时向心力大小与小球通过A点时的向心力大小相等，选项A正确；对小球在A、C两点时受力分析，由圆周运动的特点得FN1＋mg＝，FN2－mg＝，联立得FN2－FN1＝2mg，选项B错误；已知球拍与水平方向的夹角为θ，受力分析可知tan θ＝，选项C正确；对小球在B、D两点受力分析，可得小球受到的球拍的弹力大小为FN＝，选项D错误。
【答案】　AC
如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直的金属棒，在直棒上和圆环的BC部分分别套着两个相同的小环M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度ω做匀速转动，半圆环的半径为R，小圆环的质量均为m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g，小环可视为质点，则M、N两环做圆周运动的线速度之比为(　A　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
【解析】　M点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，所以：Fn＝mgtan45°＝mω·vM
所以：vM＝ ①
同理，N点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，设ON与竖直方向之间的夹角为θ，Fn′＝mgtanθ＝mωvN
所以：vN＝ ②
又：Fn′＝mω2r ③
r＝Rsinθ ④
联立②③④得：vN＝ ⑤
所以：＝
【答案】　A
（二）计算题
11. 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
【解析】(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg　①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg　②
由①②式得＝5　③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0　④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝　⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m　⑥
由机械能守恒有mg＝mv　⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
【答案】 (1)5　(2)能
12. 半径为R的水平圆台可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图11所示。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，A与槽底间的动摩擦因数为μ0，质量为mB的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的，A、B间用一长为l(l图11
(1)当圆台做匀速转动，A物体与圆盘之间刚好没有摩擦力且A、B两物体相对圆台不动时，则A到圆心的距离x为多大？此时的转动角速度ω应为多大？
(2)当圆台做匀速转动，A、B两物体相对圆台不动且A物体与圆台有摩擦时，转动角速度ω和A到圆心的距离x应满足的条件。
【解析】(1)设绳上张力为F，当相对于转盘静止且恰无摩擦力时，由牛顿第二定律得
对A：F＝mAω2x
对B：F＝mBω2(l－x)
解得：x＝l
此时ω可取任意值
(2)当l对A：F＋μ0mAg≥mAω2x
对B：F＝mBω2(l－x)
解得：ω≤
当0≤x<l时，A有沿半径向内滑动的趋势，受到的静摩擦力沿半径背向圆心，则由牛顿第二定律得
对A：F－μ0mAg≤mAω2x
对B：F＝mBω2(l－x)
解得：ω≤
【答案】　(1)l　ω可取任意值
(2)当l当0≤x<l时ω≤