浅谈化学解题中的数学思维
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浅谈化学解题中的数学思维
数学思想使近代科学的精髓，是将学生知识转化为能力的杠杆。在高中化学的学习中，以数学思维为基础，将化学问题抽象为数学问题，并利用数学工具，结合化学知识，通过计算和推理，解决化学问题，将会大大提高化学解题能力。
1．十字交叉法（利用二元一次方程组解题）
凡能列出一个二元一次方程组来求解的命题，均可用十字交叉法。例如：
对于，（即 ）
例1 天然硼元素的原子量约为10.8，测知它由两种同位素组成，则元素硼中的原子个数比为
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析：
则物质的量之比为：，故选D。
2．排列组合法（利用排列组合解题）
在分析化学组成、结构单元等问题时可以利用排列组合的知识将具体问题抽象化，可以简化解题过程。
例2 16O、18O、1H、2H、3H五种原子可形成多种过氧化氢分子，其种数最多有
A．12种 B．14种 C．16种 D．18种
解析：本题可用排列组合思维予以解决。
过氧化氢分子中，有2个氧原子，2个氢原子，共4个原子。构成过氧化氢分子的氧原子可从2种不同氧原子中任取1种，共有种取法；也可从2种不同氧原子中各取1种，共有种取法。构成过氧化氢分子的氢原子可从3种不同的氢原子中任取1种，共有种取法；也可从3种不同氢原子中任取2种，共有种取法。因此构成过氧化氢分子的种类有：
答案：D
3．极值法（利用极值思维解题）
例3 某碱金属及其氧化物（R2O）组成的混合物4g，与水充分反应后蒸干得固体5 g，则该碱金属可能是
A．锂 B．钠 C．钾 D．铷
解析：解此题可用极限思维。
极限1：当4 g物质全是碱金属R时
2R + 2H2O ＝2ROH + H2↑ △m
（2Ar）g 34 g
4 g 5 g－4 g
Ar = 68
极限2：当4 g物质全是碱金属氧化物R2O时
R2O + H2O ＝2ROH △m
（2Ar+16）g 18 g
4 g 5 g－4 g
Ar = 28
事实上，R相对原子质量介于28—68之间，符合题意的只有钾元素。
答案：C
4．数列法（利用数列、极值等解题）
例4 在沥青中含有稠环的芳烃，其中偶数个苯环结构的可视为同系物，如：
①求第25个分子的分子式；
②求含碳量的极限。
解析方法1：①经观察分析 A、B、C分子式分别为C10H8、C16H10、C22H12，碳原子数和氢原子数递增呈等差数列，由通项公式an = a1+(n – 1)d，求出该一系列有机物的通式；C原子数：公差为6，首项是10，an = a1+(n – 1)d = 10 + (n – 1)×6 = 6n + 4。
H原子数：公差是2，首项是8an = a1+(n – 1)d = 8 + (n – 1)×2 = 2n + 6。
所以通式为C6n+4H2n+6，第25个分子的分子式为C154H56。
②求含C量的极限
方法2：求含C量的极限
因为n趋于无穷大
5．不等式法（利用不等式解题）
例5 若A是相对分子质量为128的烃，则其分子式只可能是______。若A是易升华的片状晶体，则其结构简式为：______。
解析：设烃的分子式为CxHy，相对分子质量为M，则M=12x+y；y=M-12x。因为y/2（任何烃分子中的氢原子数大于2，只有乙炔分子中氢原子数等于2），因为y≤2x+2（任何烃分子中的氢原子均不能大于其碳原子数的两倍加2），得不等式2≤M-12x≤2x+2。
即A的分子式为C9H20或C10H8。
由题中所给的已知条件看，解题所得的两种物质，能升华的片状晶体只能是萘，则其分子式只能是C10H8，其结构简式为 。
6．图象法（利用函数图象法解题）
例6 在标准状况下，将100mLH2S和O2的混合气体点燃，反应后恢复到原状况，发现反应所得气体的体积V（总）随混合气体中O2所占的体积V（O2）的变化而不同，其关系如图7-3（气体的体积均在同温、同压下测定）。用含V（总）和V（O2）的函数式表示V（总）和V（O2）的关系。
解析：此题一看就很容易联想到H2S与O2的反应，然后根据H2S或O2过量的不同情况来列关系式。但如果从数学的角度来解此题会更简便。由化学方程式可知AB，BC段符合线性关系，所以可以利用数学上求分段函数的知识得出AB，BC两段的方程。
AB段的斜率为-3，BC段的斜率为3/2，由截距式和两点式可得AB，BC段的方程：
AB段：V(总)=100 – 3V(O2)，0＜V(O2)≤33.3。
BC段：V(总)=3V(O2)/2 – 50，33.3＜V(O2)≤100；即为V(总)和 V(O2)的关系。
7．守恒法（利用等量代换原理解题）
化学反应本质是原子的重组，故由质量守恒定律可推出元素在反应前后都保持：（1）原子的质量守怛；（2）元素原子或离子的物质的量守恒，即元素守恒或称物料守恒。
例7 38.4 g铜与适量的浓硝酸反应，铜全部作用后，共收集到气体22.4L（标准状况）。反应消耗的HNO3的物质的量可能是（ ）。
（A）1.0mol （B）1.6mol （C）2.2mol （D）2.4mol
解析：铜与浓HNO3反应成成NO2，反应一段时间后，HNO3浓度降低，剩余的铜与稀HNO3反应生成NO。反应后的产物是Cu(NO3)2、NO2、NO、H2O。运用元素物质的量守恒法，反应前后氮元素的物质的量不变，则
n(HNO3) = 2n [Cu(NO3)2] + n(NO2) + n(NO)
=
即参加反应的硝酸物质的量为2.2mol，故答案为(C)。
8．差量法（利用合比定理解题）
差量法的数学依据：
对于A + B = B + D
a b 有
c d
依分比定理：
又依更比定理：或（）
例8 把碳酸钠和碳酸氢钠的混合物146g加热到质量不再继续减少为止，剩下的残渣的质量是137g，计算原混合物中碳酸钠的质量。
分析：加热后质量的减少是由于碳酸氢钠受热分解放出二氧化碳和水蒸气，并转化为碳酸钠所引起的。
解：设混合物中含有碳酸钠质量为x
2NaHCO3＝Na2CO3 + CO2↑+ H2O △m
168g 106g 168g－106g
x 146g－137g
解得：x = 24.4g
因此，原混合物中含有碳酸钠质量为146－24.4 = 121.6g
9．奇偶数法（利用奇偶数性质解题）
例9 X、Y是短周期元素，二者能组成化合物X2Y3，已知X的原子序数为n，则Y的原子序数不可能的是
A．n+11 B．n – 6 C．n+3 D．n+4
分析：根据化学式X2Y3可知X价态为+3或+6、Y价态为– 2或 – 4，但若X为+6、Y为 – 4不能成立，所以根据X、Y是短周期元素可以判断出X为奇数族数的元素，Y为偶数族数的元素，族数差必为奇数。
答案：B、D
10．平均值法(利用平均值原理解题)
是一种将数学平均原理应用于化学计算的解题方法。它所依据的数学原理是：两个数X1和X2（X1 > X2）的算术平均值X一定介于二者之间，即 X1 > X > X2。所以，只要求出平均值X，就可以判断出取值范围
例10 30g某两种金属的混合物投入足量盐酸中，产生11.2L的氢气（标准状况）。组成该混合物的可能的金属组是
A．Fe Zn B．Sn Zn C．Mg Al D．Mg Cu
解析：因为要在标准状况下产生11.2L氢气，各需要纯金属：镁12g、铝9 g、铁28 g、锌32.5 g、锡59.4 g，而铜不反应。由此可见，组成混合物的两种金属，单独置换出11.2L氢气，一种质量要大于30g，另一种质量要小于30g，故答案为A、D。
在高中化学的学习中，还有很多这样的例子。如果我们能够在学习中合理地利用数学工具，加强学科之间的相互渗透，就能够拓宽我们的视野，活化我们的思维，就能够真正做到将知识转化为能力。
a1
a2
10B 10 0.2
10.8
11B 11 0.8
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浅谈化学解题中的数学思维
数学思想使近代科学的精髓，是将学生知识转化为能力的杠杆。在高中化学的学习中，以数学思维为基础，将化学问题抽象为数学问题，并利用数学工具，结合化学知识，通过计算和推理，解决化学问题，将会大大提高化学解题能力。
1．十字交叉法（利用二元一次方程组解题）
凡能列出一个二元一次方程组来求解的命题，均可用十字交叉法。例如：
对于，（即 ）
例1 天然硼元素的原子量约为10.8，测知它由两种同位素组成，则元素硼中的原子个数比为
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析：
则物质的量之比为：，故选D。
2．排列组合法（利用排列组合解题）
在分析化学组成、结构单元等问题时可以利用排列组合的知识将具体问题抽象化，可以简化解题过程。
例2 16O、18O、1H、2H、3H五种原子可形成多种过氧化氢分子，其种数最多有
A．12种 B．14种 C．16种 D．18种
解析：本题可用排列组合思维予以解决。
过氧化氢分子中，有2个氧原子，2个氢原子，共4个原子。构成过氧化氢分子的氧原子可从2种不同氧原子中任取1种，共有种取法；也可从2种不同氧原子中各取1种，共有种取法。构成过氧化氢分子的氢原子可从3种不同的氢原子中任取1种，共有种取法；也可从3种不同氢原子中任取2种，共有种取法。因此构成过氧化氢分子的种类有：
答案：D
3．极值法（利用极值思维解题）
例3 某碱金属及其氧化物（R2O）组成的混合物4g，与水充分反应后蒸干得固体5 g，则该碱金属可能是
A．锂 B．钠 C．钾 D．铷
解析：解此题可用极限思维。
极限1：当4 g物质全是碱金属R时
2R + 2H2O ＝2ROH + H2↑ △m
（2Ar）g 34 g
4 g 5 g－4 g
Ar = 68
极限2：当4 g物质全是碱金属氧化物R2O时
R2O + H2O ＝2ROH △m
（2Ar+16）g 18 g
4 g 5 g－4 g
Ar = 28
事实上，R相对原子质量介于28—68之间，符合题意的只有钾元素。
答案：C
4．数列法（利用数列、极值等解题）
例4 在沥青中含有稠环的芳烃，其中偶数个苯环结构的可视为同系物，如：
①求第25个分子的分子式；
②求含碳量的极限。
解析方法1：①经观察分析 A、B、C分子式分别为C10H8、C16H10、C22H12，碳原子数和氢原子数递增呈等差数列，由通项公式an = a1+(n – 1)d，求出该一系列有机物的通式；C原子数：公差为6，首项是10，an = a1+(n – 1)d = 10 + (n – 1)×6 = 6n + 4。
H原子数：公差是2，首项是8an = a1+(n – 1)d = 8 + (n – 1)×2 = 2n + 6。
所以通式为C6n+4H2n+6，第25个分子的分子式为C154H56。
②求含C量的极限
方法2：求含C量的极限
因为n趋于无穷大
5．不等式法（利用不等式解题）
例5 若A是相对分子质量为128的烃，则其分子式只可能是______。若A是易升华的片状晶体，则其结构简式为：______。
解析：设烃的分子式为CxHy，相对分子质量为M，则M=12x+y；y=M-12x。因为y/2（任何烃分子中的氢原子数大于2，只有乙炔分子中氢原子数等于2），因为y≤2x+2（任何烃分子中的氢原子均不能大于其碳原子数的两倍加2），得不等式2≤M-12x≤2x+2。
即A的分子式为C9H20或C10H8。
由题中所给的已知条件看，解题所得的两种物质，能升华的片状晶体只能是萘，则其分子式只能是C10H8，其结构简式为 。
6．图象法（利用函数图象法解题）
例6 在标准状况下，将100mLH2S和O2的混合气体点燃，反应后恢复到原状况，发现反应所得气体的体积V（总）随混合气体中O2所占的体积V（O2）的变化而不同，其关系如图7-3（气体的体积均在同温、同压下测定）。用含V（总）和V（O2）的函数式表示V（总）和V（O2）的关系。
解析：此题一看就很容易联想到H2S与O2的反应，然后根据H2S或O2过量的不同情况来列关系式。但如果从数学的角度来解此题会更简便。由化学方程式可知AB，BC段符合线性关系，所以可以利用数学上求分段函数的知识得出AB，BC两段的方程。
AB段的斜率为-3，BC段的斜率为3/2，由截距式和两点式可得AB，BC段的方程：
AB段：V(总)=100 – 3V(O2)，0＜V(O2)≤33.3。
BC段：V(总)=3V(O2)/2 – 50，33.3＜V(O2)≤100；即为V(总)和 V(O2)的关系。
7．守恒法（利用等量代换原理解题）
化学反应本质是原子的重组，故由质量守恒定律可推出元素在反应前后都保持：（1）原子的质量守怛；（2）元素原子或离子的物质的量守恒，即元素守恒或称物料守恒。
例7 38.4 g铜与适量的浓硝酸反应，铜全部作用后，共收集到气体22.4L（标准状况）。反应消耗的HNO3的物质的量可能是（ ）。
（A）1.0mol （B）1.6mol （C）2.2mol （D）2.4mol
解析：铜与浓HNO3反应成成NO2，反应一段时间后，HNO3浓度降低，剩余的铜与稀HNO3反应生成NO。反应后的产物是Cu(NO3)2、NO2、NO、H2O。运用元素物质的量守恒法，反应前后氮元素的物质的量不变，则
n(HNO3) = 2n [Cu(NO3)2] + n(NO2) + n(NO)
=
即参加反应的硝酸物质的量为2.2mol，故答案为(C)。
8．差量法（利用合比定理解题）
差量法的数学依据：
对于A + B = B + D
a b 有
c d
依分比定理：
又依更比定理：或（）
例8 把碳酸钠和碳酸氢钠的混合物146g加热到质量不再继续减少为止，剩下的残渣的质量是137g，计算原混合物中碳酸钠的质量。
分析：加热后质量的减少是由于碳酸氢钠受热分解放出二氧化碳和水蒸气，并转化为碳酸钠所引起的。
解：设混合物中含有碳酸钠质量为x
2NaHCO3＝Na2CO3 + CO2↑+ H2O △m
168g 106g 168g－106g
x 146g－137g
解得：x = 24.4g
因此，原混合物中含有碳酸钠质量为146－24.4 = 121.6g
9．奇偶数法（利用奇偶数性质解题）
例9 X、Y是短周期元素，二者能组成化合物X2Y3，已知X的原子序数为n，则Y的原子序数不可能的是
A．n+11 B．n – 6 C．n+3 D．n+4
分析：根据化学式X2Y3可知X价态为+3或+6、Y价态为– 2或 – 4，但若X为+6、Y为 – 4不能成立，所以根据X、Y是短周期元素可以判断出X为奇数族数的元素，Y为偶数族数的元素，族数差必为奇数。
答案：B、D
10．平均值法(利用平均值原理解题)
是一种将数学平均原理应用于化学计算的解题方法。它所依据的数学原理是：两个数X1和X2（X1 > X2）的算术平均值X一定介于二者之间，即 X1 > X > X2。所以，只要求出平均值X，就可以判断出取值范围
例10 30g某两种金属的混合物投入足量盐酸中，产生11.2L的氢气（标准状况）。组成该混合物的可能的金属组是
A．Fe Zn B．Sn Zn C．Mg Al D．Mg Cu
解析：因为要在标准状况下产生11.2L氢气，各需要纯金属：镁12g、铝9 g、铁28 g、锌32.5 g、锡59.4 g，而铜不反应。由此可见，组成混合物的两种金属，单独置换出11.2L氢气，一种质量要大于30g，另一种质量要小于30g，故答案为A、D。
在高中化学的学习中，还有很多这样的例子。如果我们能够在学习中合理地利用数学工具，加强学科之间的相互渗透，就能够拓宽我们的视野，活化我们的思维，就能够真正做到将知识转化为能力。
a1
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10B 10 0.2
10.8
11B 11 0.8
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