必修4 第二章 平面向量 单元测试卷（含答案）

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平面向量测试卷
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　　　　B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4)
2．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
3已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)
A．－a2 B．－a2 C．a2 D．a2
4．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
7．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝，则|b|＝(　　)
A．0 B．2 C．5 D．25
8.已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，设＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b B．a＋b C．a－b D．－a＋b
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b的夹角为(　　)
A．150° B．120° C．60° D．30°
10．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，E是CD上一点，且·＝1，则·的值为(　　)
A．3 B．2 C． D．
11．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为(　　)
A．(－3，0) B．(3，0) C．(2，0) D．(4，0)
12．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC．若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
14．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
15．已知向量⊥，||＝3，则·＝________．
16．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．













18．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．





19．(本小题满分12分)设i，j是平面直角坐标系中x轴和y轴正方向上的单位向量，＝4i－2j，＝7i＋4j，＝3i＋6j，求四边形ABCD的面积．













20．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．












21．(本小题满分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．







22．(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R)．
(1)求a·b关于k的解析式f(k)；
(2)若a∥b，求实数k的值；
(3)求向量a与b夹角的最大值．











答案：AADBCD CBBBBC 13．2 14．－3 15．9 16．　　－
17．　|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．
因为0°<θ<120°，
所以－所以<|c|<5，
所以|c|的取值范围为(，5)．
18．　(1)m＝8时，＝(8，3)，
设＝λ1＋λ2，
∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0)
＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，
∴解得
∴＝－3＋.
(2)若A，B，C三点能构成三角形，
则有与不共线，
又＝－＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)，
＝－＝(m，3)－(2，－1)＝(m－2，4)，
则有1×4－(m－2)×1≠0，
∴m≠6.
19．因为·＝(4i－2j)·(3i＋6j)＝3×4－2×6＝0，
所以⊥，
又因为＝7i＋4j＝4i－2j＋3i＋6j
＝＋，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又⊥，所以四边形ABCD为矩形．
所以S四边形ABCD＝||×||＝×＝30.
20．以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，
则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n，0)，
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组

解得或
21．　(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，
所以
由①得，cos α＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.
代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以α＝，β＝.
22．　(1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
由|a|＝|b|＝1，得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，所以a·b＝>0，则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝a·b
＝＝
＝.
当＝，即k＝1时，cos θ取最小值，又0≤θ≤π，
所以θ＝，即向量a与b夹角的最大值为.











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