第三章函数 第11节 一次函数的应用
一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■知识点一：用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．
■知识点二：利用一次函数的性质解决方案问题.
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
命题角度：
求一次函数的解析式，利用函数的性质求最大值或最小值
利用一次函数进行方案选择
■知识点三：利用一次函数解决分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
命题角度：
利用一次函数解决个税收取问题；
利用一次函数解决水、电、气等资源收费问题。
■知识点四：一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求解问题．
■考点1：用函数图象解决实际问题
◇典例：
（2018年浙江省杭州市临安）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．
（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由图可知，当x≥30时，图象是一次函数图象，设函数关系式为y=kx+b，使用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30小时以内的上网费用都是60元；
（3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75时，代入（1）中的函数关系计算出x的值即可．
解：（1）当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b，
则，
解得．
所以y=3x﹣30；
（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；
（3）由75=3x﹣30解得x=35，所以5月份上网35个小时．
【点评】本题考查识图能力，利用待定系数法求一次函数关系式．
◆变式训练
（2018年黑龙江省绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）图中E点的坐标是 ，题中m= km/h，甲在途中休息 h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题
◇典例
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）为了落实党的“精准扶贫”政策，A．B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A．B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【考点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）根据A．B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．
解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得
解得
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=4x+10040
由于函数是一次函数，k=4＞0
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元．
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y=y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=（4﹣a）x+10040
当0＜a≤4时，∵4﹣a≥0
∴当x=0时，运费最少；
当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0
∴当x=240时，运费最少．
所以：当0＜a≤4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少；
当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（3）需分类讨论．
◆变式训练
（2018年浙江省湖州）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
■考点3：利用一次函数解决分段函数问题
◇典例：
（2018年黑龙江省牡丹江）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为 米/分，点M的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
①因为乙从B地到C地一共需要3小时，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；
②3＜x＜6，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；
③计算甲到B地时，符合条件；
④计算乙走过C地，即乙在A．C之间时，列方程，注意此时甲用了（x﹣1）分．
解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），（1分）
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），（2分）
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；（5分）
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A．C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A．C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
此种情况不符合题意；
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
即x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
此种情况不符合题意，
当甲在A．C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．
◆变式训练
（2018年江苏省南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第t min时的速度为v m/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min时离家的距离为 m；
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象．
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：
（2018年河北省）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
【考点】一次函数的综合应用
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．
解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得
4=﹣m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
◆变式训练
（2018年辽宁省沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．
（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．
（2018年湖北省咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2018年湖南省邵阳）小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示：
月份
1
2
3
4
成绩（s）
15.6
15.4
15.2
15
体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（ ）（温馨提示；目前100m短跑世界记录为9秒58）
A．14.8s B．3.8s C．3s D．预测结果不可靠
（2018年辽宁省阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h．
（2018年浙江省杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．
（2018年浙江省绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，y cm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 ．
（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；
(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.
（2018年山东省日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？
（2018年黑龙江省牡丹江）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．
（2018年四川省绵阳）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
（2018年湖南省益阳）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（﹣2，﹣1），其中有两点同时在反比例函数y=的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求出k的值；
（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC+PD的最小值（不必说明理由）．
选择题
（2018年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2018年湖北省江汉油田）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
填空题
（2018年重庆（B卷））一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．
（2018年浙江省衢州 ）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是 千米．
（2018年辽宁省抚顺）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 ．
解答题
（2018年江苏省无锡）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？
（2018年天津）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
方式一的总费用（元）
150
175
…
方式二的总费用（元）
90
135
…
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
（2018年四川省广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年A型车每辆车的售价．
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A．B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？
（2018年广东省广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售，若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求x的范围．
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
（1）学校到景点的路程为 km，大客车途中停留了 min，a= ；
（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待 分钟，大客车才能到达景点入口．
（2018年浙江省绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
（2018年四川省南充）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．
（2018年浙江省绍兴）如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时．
（1）问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？
（2）若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t的函数关系式；
（3）一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处（不含B，C站），刚好遇到上行车，BP=x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．
（2018年浙江省衢州）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．
第三章函数 第11节 一次函数的应用
一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■知识点一：用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．www.21-cn-jy.com
■知识点二：利用一次函数的性质解决方案问题.
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.【版权所有：21教育】
命题角度：
求一次函数的解析式，利用函数的性质求最大值或最小值
利用一次函数进行方案选择
■知识点三：利用一次函数解决分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
命题角度：
利用一次函数解决个税收取问题；
利用一次函数解决水、电、气等资源收费问题。
■知识点四：一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求解问题．
■考点1：用函数图象解决实际问题
◇典例：
（2018年浙江省杭州市临安）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．
（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由图可知，当x≥30时，图象是一次函数图象，设函数关系式为y=kx+b，使用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30小时以内的上网费用都是60元；
（3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75时，代入（1）中的函数关系计算出x的值即可．
解：（1）当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b，
则，
解得．
所以y=3x﹣30；
（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；
（3）由75=3x﹣30解得x=35，所以5月份上网35个小时．
【点评】本题考查识图能力，利用待定系数法求一次函数关系式．
◆变式训练
（2018年黑龙江省绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）图中E点的坐标是 ，题中m= km/h，甲在途中休息 h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据速度和时间列方程：60×1+m=160，可得m=100，根据D的坐标可计算直线OD的解析式，从图中知E的横坐标为2，可得E的坐标，根据点E到D的时间差及速度可得休息的时间；
（2）利用待定系数法求直线CD的解析式；
（3）先计算第二次相遇的时间：y=360时代入y=80x可得x的值，再计算x=5时乙行驶的路程，可得路程差为40km，所以存在两种情况：两人相距20km，列方程可得结论．
解：（1）由图形得D（7，560），
设OD的解析式为：y=kx，
把D（7，560）代入得：7k=560，k=80，
∴OD：y=80x，
当x=2时，y=2×80=160，
∴E（2，160），
由题意得：60×1+m=160，m=100，
7﹣2﹣（560﹣160）÷100=1，
故答案为：（2，160），100，1；
（2）∵A（1，60），E（2，160），
∴直线AE：y=100x﹣40，
当x=4时，y=400﹣40=360，
∴B（4，360）
∴C（5，360），
∵D（7，560），
∴设CD的解析式为：y=kx+b，
把C（5，360），D（7，560）代入得：，解得：，（4分）
∴直线CD的解析式为：y=100x﹣140（5≤x≤7）；（5分）
（3）∵OD的解析式为：y=80x（0≤x≤7），
当x=5时，y=5×80=400，
400﹣360=40，
∴出发5h时两个相距40km，
把y=360代入y=80x得：x=4.5，
∴出发4.5h时两人第二次相遇，
①当4.5＜x＜5时，80x﹣360=20，
x=4.75，4.75﹣4.5=0.25（h），
②当x＞5时，80x﹣（100x﹣140）=20，
x=6，6﹣4.5=1.5（h），
答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题
◇典例
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）为了落实党的“精准扶贫”政策，A．B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A．B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【考点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）根据A．B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．
解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得
解得
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=4x+10040
由于函数是一次函数，k=4＞0
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元．
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y=y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=（4﹣a）x+10040
当0＜a≤4时，∵4﹣a≥0
∴当x=0时，运费最少；
当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0
∴当x=240时，运费最少．
所以：当0＜a≤4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少；
当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（3）需分类讨论．
◆变式训练
（2018年浙江省湖州）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80﹣x）吨，乙仓库运往A果园（110﹣x）吨，乙仓库运往B果园（x﹣10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格；
（2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x=80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
解：（1）填表如下：
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
80﹣x
x﹣10
2×20×（80﹣x）
2×20×（x﹣10）
故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；
（2）y=2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），
即y关于x的函数表达式为y=﹣20x+8300，
∵﹣20＜0，且10≤x≤80，
∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=﹣20×80+8300=6700．
故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
■考点3：利用一次函数解决分段函数问题
◇典例：
（2018年黑龙江省牡丹江）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为 米/分，点M的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
①因为乙从B地到C地一共需要3小时，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；
②3＜x＜6，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；
③计算甲到B地时，符合条件；
④计算乙走过C地，即乙在A．C之间时，列方程，注意此时甲用了（x﹣1）分．
解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），（1分）
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），（2分）
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；（5分）
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A．C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A．C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
此种情况不符合题意；
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
即x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
此种情况不符合题意，
当甲在A．C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．
◆变式训练
（2018年江苏省南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第t min时的速度为v m/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min时离家的距离为 m；
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可；
（2）当2＜t≤5时，离家的距离s=前面2min走的路程加上后面（t﹣2）min走过的路程列式即可；
（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．
解：（1）100×2=200（m）．
故小明出发第2min时离家的距离为200m；
（2）当2＜t≤5时，s=100×2+160（t﹣2）=160t﹣120．
故s与t之间的函数表达式为160t﹣120；
（3）s与t之间的函数关系式为，
如图所示：
故答案为：200．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：
（2018年河北省）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
【考点】一次函数的综合应用
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．
解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得
4=﹣m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
◆变式训练
（2018年辽宁省沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．
（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示△PMN即可．
解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b
∵直线l1过点F（0，10），E（20，0）
∴
解得
直线l1的表达式为y=﹣x+10
求直线l1与直线l2 交点，得
x=﹣x+10
解得x=8
y=×8=6
∴点P坐标为（8，6）
（2）①如图，当点D在直线上l2时
∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9
∴将直线l1与直线l2 交解析式变为
x=20﹣2y，x=y
∴y﹣（20﹣2y）=9
解得
y=
则点A的坐标为：（，）
则AF=
∵点A速度为每秒个单位
∴t=
如图，当点B在l2 直线上时
∵AB=6
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位
∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得
﹣x+10﹣x=6
解得x=
则点A坐标为（，）
则AF=
∵点A速度为每秒个单位
∴t=
故t值为或
②如图，
设直线AB交l2 于点H
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9
由①中方法可知：MN=
此时点P到MN距离为：
a+9﹣8=a+1
∵△PMN的面积等于18
∴
解得
a1=，a2=﹣（舍去）
∴AF=6﹣
则此时t为
当t=时，△PMN的面积等于18
【点评】本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．
（2018年湖北省咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（2018年湖南省邵阳）小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示：
月份
1
2
3
4
成绩（s）
15.6
15.4
15.2
15
体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（ ）（温馨提示；目前100m短跑世界记录为9秒58）
A．14.8s B．3.8s C．3s D．预测结果不可靠
【考点】一次函数的应用
【分析】由表格中的数据可知，每加1个月，成绩提高0.2秒，所以y与x之间是一次函数的关系，可设y=kx+b，利用已知点的坐标，即可求解．
解：（1）设y=kx+b依题意得（1分）
，
解答，
∴y=﹣0.2x+15.8．
当x=60时，y=﹣0.2×60+15.8=3.8．
因为目前100m短跑世界记录为9秒58，显然答案不符合实际意义，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（2018年辽宁省阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h．
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．
设乙的速度为xkm/h
2.5×（6+x）=36﹣12
解得x=3.6
故答案为：3.6
【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
（2018年浙江省杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．
【考点】一次函数的应用，列一元一次不等式组
【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，乙车9点出发，要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车列出不等式组，求解即可．
解：根据图象可得，甲车的速度为120÷3=40（千米/时）．
由题意，得，
解得60≤v≤80．
故答案为60≤v≤80．
【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，列一元一次不等式组解实际问题的应用，能够根据题意列出不等式组是解题的关键．
（2018年浙江省绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，y cm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是 ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式
【分析】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
解：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为8cm，
此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y=80ycm3，
∴80y=30×20×（8﹣x），
∴y=，
∵y≤15，
∴x≥6，
即：y=（6≤x＜8），
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同①的方法得，y=（0＜x≤），
故答案为：y=（0＜x≤）或y=（6≤x＜8）
【点评】此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．
（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；
(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.
【考点】相似三角形的应用，一次函数的性质 解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合， 当x=2时，y=-2+m=0，即m=2. ∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2） ∴OB=OA=2，AB=2 ， 设点O到直线AB的距离是d， 由S△OAB= ， 则4=2 d， ∴d= . (2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m), 则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°， 当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合， ∴m>0. ∵∠CPA=∠ABO=45°， ∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°， 即∠OPC=∠BAP， 则△PCD~△APB， ∴ ， 即 ， 解得m=12. 故答案为 ；12.
（2018年山东省日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据OA段的速度，可得结论；
（2）当1.5≤x≤2.5时，设y=20x+b，利用待定系数法即可解决问题；
解：（1）在OA段，速度==20km/h，
故答案为20．
（2）当1.5≤x≤2.5时，设y=20x+b，把（1.5，10）代入得到，10=20×1.5+b，
解得b=﹣20，
∴y=20x﹣20，
当x=2.5时，解得y=30，
∴乙地离小红家30千米
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
（2018年黑龙江省牡丹江）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意列出不等式，进而解答即可；
（3）根据（2）中解集得出购买方案．
解：（1）根据题意得购进丙种图书（20﹣x﹣y）套，则有500x+400y+250（20﹣x﹣y）=7700，
所以解析式为：y=﹣x+18；
（2）根据题意得：，
解得：x，
又∵x≥1，
∴，
因为x，y，（20﹣x﹣y）为整数，
∴x=3，6，9，
即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，
②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，
③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，
（3）若按方案一：则有13a﹣4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），
若按方案二：则有8a﹣6a=20，解得a=10（符合题意），
若按方案三：则有3a﹣8a=20，解得a=﹣4（不是正整数，不符合题意），
所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．
【点评】本题考查一次函数的应用、不等式的应用、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（2018年四川省绵阳）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；
（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，所以列不等式，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．
解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
（2）设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10﹣m）辆，
根据题意可得：4m+1.5（10﹣m）≥33，
解得：m≥7.2，令m=8，
大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小
则安排方案有：大货车8辆，小货车1辆，
【点评】本题以运货安排车辆为背景考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
（2018年湖南省益阳）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（﹣2，﹣1），其中有两点同时在反比例函数y=的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求出k的值；
（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC+PD的最小值（不必说明理由）．
【考点】一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）确定A、B、C的坐标即可解决问题；
（2）理由待定系数法即可解决问题；
（3）作D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′的长；
解：（1）∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，1）
∴k=2．
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x+1
（3）∵C、D关于直线AB对称，
∴D（0，4）
作D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′==
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．
选择题
（2018年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选：B．
【点评】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
（2018年湖北省江汉油田）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选：B．
【点评】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
填空题
（2018年重庆（B卷））一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．
【考点】一次函数的运用
【分析】由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求小玲和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时小玲已经走了25分，还剩5分钟的总程．
解：由图象得：小玲步行速度：1200÷30=40（米/分），
由函数图象得出，妈妈在小玲10分后出发，15分时追上小玲，
设妈妈去时的速度为v米/分，
（15﹣10）v=15×40，
v=120，
则妈妈回家的时间：=10，
（30﹣15﹣10）×40=200．
故答案为：200．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
（2018年浙江省衢州 ）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是 千米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k|B的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．
解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴，
解得：，
∴y与t的函数关系式为y=﹣x+6，
当t=45时，y=﹣×45+6=1.5，
故答案为：1.5．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
（2018年辽宁省抚顺）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 ．
【考点】规律型：点的坐标，一次函数的应用
【分析】由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点O2018的纵坐标为21009，可得21009=x+1，同侧x=21010﹣2，可得点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．
解：由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…
观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，
下标为偶数的点在直线y=x+1上，
∵点O2018的纵坐标为21009，
∴21009=x+1，
∴x=21010﹣2，
∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．
故答案为（21010﹣2，21009）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，一次函数的应用，解题的关键是学会探究规律的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
解答题
（2018年江苏省无锡）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分；
（2）由（1）y≥22000即可．
解：（1）由题意：
当2 000≤x≤2 600时，y=10x﹣6（2600﹣x）=16x﹣15600；
当2 600＜x≤3 000时，y=2600×10=26000
（2）由题意得：
16x﹣15600≥22000
解得：x≥2350
∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．
【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．
（2018年天津）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
方式一的总费用（元）
150
175
…
方式二的总费用（元）
90
135
…
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【考点】一次函数的应用
【分析】（Ⅰ）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
（Ⅱ）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；
（Ⅲ）当时，作差比较即可得解.
解：（Ⅰ）200，，180，.
（Ⅱ）方式一：，解得.
方式二：，解得.
∵，
∴小明选择方式一游泳次数比较多.
（Ⅲ）设方式一与方式二的总费用的差为元.
则，即.
当时，即，得.
∴当时，小明选择这两种方式一样合算.
∵，
∴随的增大而减小.
∴当时，有，小明选择方式二更合算；
当时，有，小明选择方式一更合算.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
（2018年四川省广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年A型车每辆车的售价．
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A．B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据销售利润=单辆利润×销售数量，即可得出y关于a的函数关系式，由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，
根据题意得：=，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原分式方程的解，
∴今年A型车每辆车售价为1600元．
（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，
根据题意得：y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）=﹣100a+27000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴45﹣a≤2a，解得：a≥15．
∵﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=15时，y取最大值，最大值=﹣100×15+27000=25500，此时45﹣a=30．
答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质求出最大利润．
（2018年广东省广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售，若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求x的范围．
【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式
【分析】（1）根据题意，分别得出方案一的费用是：0.9ax，方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=a+0.8ax，再将x=8代入即可得出方案一费用最少以及最少费用.
（2）设方案一，二的费用分别为W1， W2，根据题意，分别得出W1=0.9ax（x为正整数），，其中x为正整数,再由W1＞W2，分情况解不等式即可得出x的取值范围.
（1）解：∵x=8，
∴方案一的费用是：0.9ax=0.9a×8=7.2a，
方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=5a+0.8a（8-5）=7.4a
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a
∴方案一费用最少，
答：应选择方案一，最少费用是7.2a元.
（2）解：设方案一，二的费用分别为W1， W2，
由题意可得：W1=0.9ax（x为正整数），
当0≤x≤5时，W2=ax（x为正整数），
当x＞5时，W2=5a+（x-5）×0.8a=0.8ax+a（x为正整数），
∴，其中x为正整数,
由题意可得，W1＞W2，
∵当0≤x≤5时，W2=ax＞W1，不符合题意，
∴0.8ax+a＜0.9ax，
解得x＞10且x为正整数，
即该公司采用方案二购买更合算，x的取值范围为x＞10且x为正整数.
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)根据优惠方案,列式计算;(2)找准不等量关系,正确列出一元一次不等式
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．
【考点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；
（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；
（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案．
解：（1）设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，由题意，得
，
解得，
甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨；
（2）由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库云原料（300﹣m）吨到工厂，
总运费W=（120﹣a）m+100（300﹣m）=（20﹣a）m+30000；
（3）①当10≤a＜20时，20﹣a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而增大，
②当a=20是，20﹣a=0，W随m的增大没变化；
③当20≤a≤30时，则20﹣a＜0，W随m的增大而减小．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论．
（2018年黑龙江省齐齐哈尔）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
（1）学校到景点的路程为 km，大客车途中停留了 min，a= ；
（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待 分钟，大客车才能到达景点入口．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；
（2）计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后，大客车行驶的路程，从而可得结论；
（3）先计算直线AF的解析式为：S=t﹣20，计算小轿车驶过景点入口6km时的时间为66分，再计算大客车到达终点的时间：t=+35=70，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6千米的速度与80作比较可得结论．
解：（1）由图形可得：学校到景点的路程为40km，大客车途中停留了5min，
小轿车的速度：=1（千米/分），
a=（35﹣20）×1=15，
故答案为：40，5，15；
（2）由（1）得：a=15，
得大客车的速度：=（千米/分），
小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：（60﹣35）×=（千米），
40﹣﹣15=（千米），
答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有千米；
（3）∵A（20，0），F（60，40），
设直线AF的解析式为：S=kt+b，
则，解得：，
∴直线AF的解析式为：S=t﹣20，
当S=46时，46=t﹣20，
t=66，
小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：=35，
小轿车司机折返时的速度：6÷（35+35﹣66）=（千米/分）=90千米/时＞80千米/时，
∴小轿车折返时已经超速；
（4）大客车的时间：=80min，
80﹣70=10min，
答：小轿车折返后到达景点入口，需等待10分钟，大客车才能到达景点入口．
故答案为：10．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，路程=速度×时间的关系式的运用，在解答中求出函数关系式及两车的速度是关键，并注意运用数形结合的思想．
（2018年浙江省绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1=40（升），故加满油时油箱的油量是40+30=70升．
（2）设y=kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k=﹣0.1，b=70，求出解析式，当y=5 时，可得x=650．
解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1=40（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30=70升．
（2）设y=kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k=﹣0.1，b=70
∴y=﹣0.1x+70，
当y=5 时，x=650
即已行驶的路程的为650千米．
【点评】该题是根据题意和函数图象来解决问题，考查学生的审题识图能力和待定系数法求解析式以及根根解析式求值．
（2018年四川省南充）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．
【考点】分式方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．
解：（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为（x+100）元
根据题意得：
解得x=400
经检验，x=400为原方程的解
∴x+100=500
答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．
（2）①根据题意得：
∴m的取值范围为：16≤m≤25
②设销售这批丝绸的利润为y
根据题意得：
y=（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）?（50﹣m）
=（100﹣n）m+10000﹣50n
∵50≤n≤150
∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0
m=25时，
销售这批丝绸的最大利润w=25（100﹣n）+10000﹣50n=﹣75n+12500
（Ⅱ）当n=100时，100﹣n=0，
销售这批丝绸的最大利润w=5000
（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0
当m=16时，
销售这批丝绸的最大利润w=﹣66n+11600
【点评】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．
（2018年浙江省绍兴）如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时．
（1）问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？
（2）若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t的函数关系式；
（3）一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处（不含B，C站），刚好遇到上行车，BP=x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据时间=路程÷速度列式即可求解；
（2）由于t=时，第一班上行车与第一班下行车相遇，所以分0≤t≤与＜t≤两种情况讨论即可；
（3）由（2）可知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC中点对称，设乘客到达A站总时间为t分钟，分三种情况进行讨论：①x=2.5；②x＜2.5；③x＞2.5．
解：（1）第一班上行车到B站用时=小时，
第一班下行车到C站分别用时=小时；
（2）当0≤t≤时，s=15﹣60t，
当＜t≤时，s=60t﹣15；
（3）由（2）可知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC中点对称，设乘客到达A站总时间为t分钟，
①当x=2.5时，往B站用时30分钟，还需要再等下行车5分钟，
t=30+5+10=45，不合题意；
②当x＜2.5时，只能往B站乘下行车，他离B站x千米，则离他右边最近的下行车离C站也是x千米，这辆下行车离B站（5﹣x）千米，
如果能乘上右侧的第一辆下行车，则，解得：x≤，
∴0＜x≤，
∵18≤t＜20，
∴0＜x≤符合题意；
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x＞，
，解得：x≤，
∴，22≤t＜28，
∴符合题意；
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x＞，
，解得：x≤，
∴＜x≤，35≤t＜37，不合题意，
∴综上，得0＜x≤；
③当x＞2.5时，乘客需往C站乘坐下行车．离他左边最近的下行车离B站是（5﹣x）千米，离他右边最近的下行车离C站也是（5﹣x）千米．
如果乘上右侧第一辆下行车，则≤，解得：x≥5，不合题意．
∴x≥5，不合题意．
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x＜5，
≤，解得x≥4，
∴4≤x＜5，30＜t≤32，
∴4≤x＜5符合题意．
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x＜4，
≤，解得x≥3，
∴3≤x＜4，42＜t≤44，
∴3≤x＜4不合题意．
综上，得4≤x＜5．
综上所述，0＜x≤或4≤x＜5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，路程、速度与时间关系的应用，进行正确分类是解题的关键．
（2018年浙江省衢州）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．利用平行线分线段成比例定理，计算即可，再根据对称性求出P′；
②分两种情形分别求解即可解决问题：如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣m+6），构建方程求出点Q坐标即可解决问题；
解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．
∵DP∥OB，
∴=，
∴=，
∴PA=，
∴OP=6﹣=，
∴P（，0），根据对称性可知，当AP=AP′时，P′（，0），
∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．
②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．
∵直线OB的解析式为y=x，
∴直线PQ的解析式为y=x+，
由，解得，
∴Q（﹣4，8），
∴PQ==10，
∴PQ=OB，∵PQ∥OB，
∴四边形OBQP是平行四边形，
∵OB=OP，
∴四边形OBQP是菱形，此时点M与的Q重合，满足条件，t=0．
如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣m+6），
则有m2+（﹣m+6）2=102，
解得m=，
∴点Q 的横坐标为或，设点M的横坐标为a，
则有：=或=，
∴a=或，
又因为点P从点（﹣10，0）开始运动，
∴满足条件的t的值为或．
如图4中，当点Q与C重合时，M点的横坐标为6，此时t=16，
综上所述，满足条件的t的值为0或16或或．
【点评】本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，所以中考压轴题．
