人教B版数学选修1-2 2.2.1　综合法与分析法（22张）

2.2　直接证明与间接证明
2.2.1　综合法与分析法
1.了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法.
2.了解综合法、分析法的思考过程和特点.
3.能综合使用分析法、综合法解决问题.
4.正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系,培养辩证地认识问题、分析问题的意识.
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1.综合法
综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.
综合法用符号表示就是P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论).
归纳总结综合法的特点:
(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法.
(2)用综合法证明命题的思路是:“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向未知.
【做一做1-1】 综合法是(　　)
A.执果索因的逆推法 B.由因导果的顺推法
C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法
解析:由综合法的定义可知选项B正确.
答案:B


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【做一做1-2】 若a>0,b>0,且满足ab≥1+a+b,则a+b的最小值应为　　　　　.?
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2.分析法
分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
分析法用符号表示就是B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知).
名师点拨用分析法证明命题要注意以下三点:
(1)用分析法证明命题,从结论出发,执果索因,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.
(2)分析法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在其步骤的步步可逆.
(3)分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是易于表述,条理清晰,形式简捷.因而证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程.


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【做一做2-1】 分析法是(　　)
A.执果索因的逆推法
B.由因导果的顺推法
C.因果分别互推的两头凑法
D.逆命题的证明方法
答案:A
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【做一做2-2】 已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是(　　)
解析:因为a>b>c>0,所以a-b>0,a-c>0,b-c>0.
而a-c=(a-b)+(b-c),
答案:C
证明与推理之间的联系和区别有哪些?
剖析:(1)联系:证明过程其实就是推理的过程,就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理,也可以包含一系列的推理.所以证明就是推理,是一种特殊形式的推理.
(2)区别:①从结论上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的,论据相当于推理的前提.
②从作用上看,推理只解决形式问题,对于前提和结论的真实性是保证不了的.而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后其真实性是确信无疑的.
题型一
题型二
题型三
题型四
应用综合法证明命题
【例题1】 已知:a,b,c>0,
求证:a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c).
分析:从基本的不等式定理入手,再根据不等式的性质推导出要证明的结论.
证明:∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0,
∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b).
∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2.
∴a3+b3≥a2b+ab2.
同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2.
将三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.
∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
题型一
题型二
题型四
题型三
用分析法证明命题
【例题2】 如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.
分析:本题所给的已知条件中,垂直关系较多,但不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,即用分析法证明.
证明:要证AF⊥SC,只需证SC⊥平面AEF,
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC),
只需证AE⊥平面SBC,
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB),
只需证BC⊥平面SAB,
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).
而由SA⊥平面ABC,可知上式成立.
所以AF⊥SC.
题型一
题型二
题型四
题型三
反思在用分析法证明命题的过程中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,一直到推出结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析法与综合法的综合应用
【例题3】 在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.求证:
分析:已知条件是角的关系,求证的结论是边的关系,很难直接建立二者的关系,可结合正(余)弦定理进行证明.
证明:设∠C=α,则∠B=2α,∠A=4α,
且α+2α+4α=7α=π.
可证:bc+ac=ab,即ab-bc=ac.
下面我们考虑找出线段a-c,可在BC上取一点D,使AD=AB(如图).
由角的关系并注意到7α=π,可有DC=AD=AB=c,
故BD=a-c.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思本题将分析法与综合法交错使用,我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来,那样会更简洁,但必须在分析之后.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点:分析法是一种重要的证明方法,但不容易书写,因为它叙述起来较烦琐,易造成错误,所以在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性.另外,要注意前后是必要性关系,即应是“?”,而不是“?”.
错因分析:a题型一
题型二
题型三
题型四
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1以下命题正确的是(　　)
A.如果a+b>0,那么a和b中至少有一个大于0
B.如果ab=0,那么a2+b2一定也是0
C.如果ab=a,那么b=1
D.如果a2=b2,那么a=b
答案:A
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2已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则集合M∩N为(　　)
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
答案:D
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3已知a>0,b>0,则下列不等式中不恒成立的是(　　)
答案:D
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4若a∈R,则P=(4+a2)(9+a2)与Q=24a2的大小关系是　　　　　.?
解析:P-Q=(4+a2)(9+a2)-24a2=a4-11a2+36,
令a2=t,则f(t)=t2-11t+36.
因为Δ=112-4×36<0,
所以a4-11a2+36>0恒成立,
所以P>Q.
答案:P>Q
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解析:可结合下面的图形,利用向量的几何意义加以解决.






答案:等边