2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
下列命题正确的是（　　）
A. 单位向量都相等B. 若
??
与
??
共线，
??
与
??
共线，则
??
与
??
共线C. 若|
??
+
??
|=|
??
?
??
|，则
??
?
??
=0D. 若
??
与
??
都是单位向量，则
??
?
??
=1
在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2-4x+3=0的两根，则a6的值是（　　）
A. ±
3
B. ??
3
C. ?
3
D. ±3
已知
??
=（5，4），
??
=（3，2），则与2
??
-3
??
平行的单位向量为（　　）
A. (
5
5
,
2
5
5
) B. (
5
5
,
2
5
5
)或(?
5
5
,?
2
5
5
)C. (
5
5
,?
2
5
5
)或(?
5
5
,
2
5
5
) D. (?
5
5
,?
2
5
5
)
已知等比数列{an}的公比为q，其前n项的和Sn，若集合M={S|S=
??→∞
??????
??
??
??
2??
，q≠-1}，则M等于（　　）
A. {0} B. {0,
1
2
,1} C. {1,
1
2
} D. {0,
1
2
}
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
计算：
??→∞
??????
3??+4
??
=______
行列式
??
1
??
1
??
1
??
2
??
2
??
2
??
3
??
3
??
3
中c2的代数余子式是______
已知向量
??
=（2，3），
??
=（-2，1），则
??
在
??
方向上的投影等于______．
用对角线法则计算行列式：
3
0
?2
2
1
3
?2
3
1
=______
数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0，数列{an}的递推公式是______
关于x、y的二元线性方程组
???????=2
2??+????=5
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
1
0
3
0
1
1
，则二阶行列式
2
??
??
?1
=______．
设
??
，
??
是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且
????
=4
??
+2
??
，
????
=3
??
+4
??
，则△ABC面积的值等于______．
用数学归纳法证明“1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2???1
＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数共______项．；
已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a1+a2=2，a3+a4=1，则
??→∞
??????
??
??
的值为______．
已知直角三角形ABC中，∠??=
??
2
，A（2，-2），B（m，3），C（3，7），那么m=______
??→∞
??????
（
1
??
2
+
4
??
2
+
7
??
2
+…+
3???2
??
2
）=______
设点A（2，2），B（4，1），在x轴上求一点P，使
????
?
????
最小，此时∠APB=______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）
数列{an}的通项公式是an=
2???
??+1
(??=1，2)
1
3
??
(??＞2)
，前n项和为Sn，计算（1）
??→∞
??????
??
??
；（2）
??→∞
??????
Sn．
已知线性方程组
2??+5??=8
5??+2??=10
．（1）写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；（2）运用矩阵变换求解方程组．
已知|
??
|=2，|
??
|=3，且向量
??
与
??
的夹角为
??
3
，求|3
??
-2
??
|．
已知
??
1
，
??
2
是平面内两个不共线的非零向量，
????
=2
??
1
+
??
2
，
????
=?
??
1
+??
??
2
，
????
=?2
??
1
+
??
2
，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知
??
1
=（2，1），
??
2
=（2，-2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且
??
??
=
1
2
??
2
+
11
2
??（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设
??
??
=
1
(2
??
??
?11)(2
??
??
?9)
，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞
??
2013
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（Ⅲ）设f（n）=
3
??
??
?13,(??=2??,??∈
??
?
)
??
??
,(??=2???1,??∈
??
?
)
是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C【解析】
解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不对；B选项对三个非零向量是正确的，若是零向量时，若与共线，与共线，则与共线不一定成立．当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C选项是正确的．若与都是单位向量，则?=1不一定成立，当两者垂直时，内积为零．故选：C．题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．本题考点是向量的共线与相等，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．
2.【答案】C【解析】
【分析】本题考查等比数列的性质，隔项同号是解决问题的关键，属中档题．?解方程可得a4和a8，可得a62=a4?a8，解之由a4，a6同号可得．【解答】解方程x2-4x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4?a8=3，故a6=，又a52=a4?a6＞0，即a4，a6同号，又a4＞0，故a6=故选：C．
3.【答案】B【解析】
解：∵=（5，4），=（3，2），∴2-3=（1，2），∴，则与2-3平行的单位向量为（2-3）=，化简得，．故选：B．先求出2-3的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识．
4.【答案】B【解析】
解：当q=1时，Sn=na1，S2n=2na1，∴=．当q≠1时，Sn=，∴==．∴S==，当q＞1时，S=0．当0＜|q|＜1时，S=1．当q＜-1时，S=0．综上可得：集合M={0，1，}．故选：B．当q=1时，Sn=na1，S2n=2na1，即可得出．当q≠1时，Sn=，可得=．对q分类讨论即可得出．本题考查了等比数列的性质及其前n项和公式、数列极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】3【解析】
解：=（3+）=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．
6.【答案】-
??
1
??
1
??
3
??
3
【解析】
解：行列式中c2的代数余子式是：（-1）2+3=-．故答案为：-．利用行列式的代数余子式的定义直接求解．本题考查行列式的代数余子式的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】-
5
5
【解析】
解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为||cos＜，＞==-．故答案为：-根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义，要求熟练应用公式．
8.【答案】-40【解析】
解：：=3×1×1+0×3×（-2）+（-2）×2×3-（-2）×1×（-2）-2×0×1-3×3×3=-40．故答案为：-40．利用行列式展开对角线法则直接求解．本题考查三阶行列式的展开式的求法，考查行列式展开对角线法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】an=
?2+
??
???1
,??≥2
8,??=1
【解析】
解：数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0，即有an+2-an+1=an+1-an=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{an}为首项为8的等差数列，则公差d===-2，则数列{an}的递推公式是an=，故答案为：an=．由题意可得an+2-an+1=an+1-an=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{an}为首项为8的等差数列，运用等差数列的通项公式可得公差，即可得到所求递推式．本题考查数列的递推式，注意运用等差数列的性质，考查化简整理能力，属于基础题．
10.【答案】-1【解析】
解：矩阵为，对应的方程组为：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，∴?∴则二阶行列式=-2-mn=-1故答案为：-1．先由矩阵为，对应的方程为：，再由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，从而求得m，n的值，最后利用行列式的计算法则求解即可．本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，解答的关键是对增广矩阵的理解，利用方程组同解解决问题．
11.【答案】5【解析】
解：由题意知又cos∠BAC===，∴sin∠BAC=又S△ABC=sin∠BAC=×2×5×=5故答案为5由题意，是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且，可得由三角形面积公式知，可先由公式cos∠BAC=?求出两向量夹角余弦，再求出sin∠BAC，代入面积公式S△ABC=sin∠BAC，即可求出三角形的面积本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式S△ABC=sin∠BAC，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角．由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．
12.【答案】2【解析】
解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…+++．∴左边增加的项数为2．故答案为：2．分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．
13.【答案】4【解析】
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=2，a3+a4=1，∴，解得a1=4-2，q=，或a1=4+2，q=-当a1=4-2，q=，∴=4-．∵=0，∴=4．a1=4+2，q=-∴=4-．∵=0，∴=4．故答案为：4．利用当等比数列{an}的公比q满足0＜|q|＜1时，则=0，即可得出．熟练掌握：满足0＜|q|＜1时，=0是解题的关键．
14.【答案】-2或7【解析】
解：∵；∴AB⊥BC；；∴；解得m=-2，或7．故答案为：-2或7．根据即可得出，而，从而得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．
15.【答案】
3
2
【解析】
解：（）===（-）=-=-0=．故答案为：．运用等差数列的求和公式和=0，结合极限的运算性质可得所求值．本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】arccos
10
10
【解析】
解：设P（x，0），则=（x-2，-2），=（x-4，-1），∴=（x-2）（x-4）+2=x2-6x+10=（x-3）2+1．∴当x=3时，取得最小值．此时，=（-1，2），=（1，1），∴cos∠APB===．∴∠APB=arccos．故答案为：．设P（x，0），得出关于x的二次函数，从而可求出最小时的P点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出∠APB．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：（1）n＞2，
??→∞
??????
??
??
=
??→∞
??????
1
3
??
=0．（2）n＞2时，Sn=
1
2
+0+
1
27
[1?(
1
3
)
???3
]
1?
1
3
=
1
2
+
1
18
[1?(
1
3
)
???3
]．
??→∞
??????
Sn=
1
2
+
1
18
=
5
9
．【解析】
（1）利用通项公式与极限的定义即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得n＞2时，Sn=+0+．化简利用极限的定义即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵线性方程组
2??+5??=8
5??+2??=10
．∴方程组的系数矩阵为
5
2
2
5
，增广矩阵为
5
2
10
2
5
8
．--------4分（2）∵
2??+5??=8
5??+2??=10
，∴
5
2
10
2
5
8
→
5
2
10
?10
?25
?40
→
5
2
10
0
?21
?20
→
5
2
10
0
1
20
21
→
5
0
170
21
0
1
20
21
→
1
0
34
21
0
1
20
21
，∴
??=
34
21
??=
20
21
．【解析】
（1）由线性方程组，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．（2）由→→→，能求出方程组的解．本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：|3
??
-2
??
|2=9
??
2
+4
??
2
?12
??
?
??
=36+36-12×2×3×??????
??
3
=36；|3
??
-2
??
|=6．【解析】
首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．本题考查了平面向量的模的计算；一般的，利用向量的平方与模的平方相等解答．
20.【答案】解：（1）
????
=
????
+
????
=（2
??
1
+
??
2
）+（-
??
1
+λ
??
2
）=
??
1
+（1+λ）
??
2
．∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得
????
=k
????
，即
??
1
+（1+λ）
??
2
=k（-2
??
1
+
??
2
），得（1+2k）
??
1
=（k-1-λ）
??
2
．∵
??
1
，
??
2
是平面内两个不共线的非零向量，∴
??=???1
1+2??=0
，解得k=-
1
2
，λ=-
3
2
．（2）
????
=
????
+
????
=-3
??
1
-
1
2
??
2
=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴
????
=
????
．设A（x，y），则
????
=（3-x，5-y），∵
????
=（-7，-2），∴
5???=?2
3???=?7
，解得
??=7
??=10
，即点A的坐标为（10，7）．【解析】
（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出λ的值，得到本题结论， （2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题．
21.【答案】解：（I）当n=1时，
??
1
=
??
1
=
1
2
+
11
2
=6．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(
1
2
??
2
+
11
2
??)-[
1
2
(???1
)
2
+
11
2
(???1)]=n+5．此式对于n=1时也成立．因此
??
??
=??+5(??∈
??
?
)．（II）∵
??
??
=
1
(2
??
??
?11)(2
??
??
?9)
=
1
(2???1)(2??+1)
=
1
2
(
1
2???1
?
1
2??+1
)，∴Tn=
1
2
[(1?
1
3
)+(
1
3
?
1
5
)+…+(
1
2???1
?
1
2??+1
)]=
1
2
(1?
1
2??+1
)=
??
2??+1
．∵Tn+1-Tn=
??+1
2??+3
?
??
2??+1
=
1
(2??+3)(2??+1)
＞0，∴数列{
??
2??+1
}单调递增，∴（Tn）min=T1=
1
3
．令
1
3
＞
??
2013
，解得k＜671，∴kmax=670．（III）f（n）=
3
??
??
?13,(??=2??,??∈
??
?
)
??
??
,(??=2???1,??∈
??
?
)
=
3??+2,(??=2??,??∈
??
?
)
??+5,(??=2???1,??∈
??
?
)
，（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得??=
5
7
?
??
?
（舍去）．综上可知：存在唯一的正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．【解析】
（I）利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得出； （II）利用“裂项求和”即可得出Tn，再利用其单调性即可得出k的最大值； （III）利用（I）求出f（n），再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．熟练掌握“利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得出an”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．