2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
无穷等比数列9、-3、1，-
1
3
、……，各项的和为（　　）
A. ?
27
4
B.
27
4
C. 27 D. ?
1
9
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为△ABC的重心，则
????
=（　　）
A.
1
3
????
+
1
3
????
B.
2
3
????
+
2
3
????
C.
1
2
????
+
1
2
????
D.
1
4
????
+
1
4
????
已知直角坐标系xOy平面上的直线
??
??
+
??
??
=1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足（　　）
A. ??>0，??>0 B. ??>0，??<0 C. ??<0，??>0 D. ??<0，??<0
已知
??
，
??
，
??
是平面向量，
??
是单位向量．若非零向量
??
与
??
的夹角为
??
3
，向量
??
满足
??
2
-4
??
?
??
+3=0，则|
??
-
??
|的最小值是（　　）
A.
3
?1 B.
3
+1 C. 2 D. 2?
3
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
求值：
??→∞
??????
5??+2
3??+2
=______．
已知向量
??
=（k，1）与
??
=（2，k+1）平行，则实数k=______．
已知点M（0．b）与点N（-
3
，1）连成直线的倾斜角为120°，则b=______．
已知|
??
|=1，|
??
|=2，向量
??
与
??
的夹角为60°，则|
??
+
??
|=______．
直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离是______．
已知
??
=（2，-1），
??
=（3，4），则
??
在
??
的方向上的投影为______．
过点A（1，6）且与直线
??+1
7
=
??+2
5
垂直的直线的点法向式方程为______．
已知A（-1，4）、B（3，2），如果点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点，则点H的坐标是______．
直线y=k（x+3）-2与直线y=-
1
4
x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是______．
如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，当
????
?
????
取到最小值时，DE的长为______．
三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）
设{an}是首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列，前n项和为Sn，求
??→∞
??????
??
??
??
??+1
值．
已知向量
??
=（
3
，1），
??
=（0，1）．（1）（
??
+k
??
）⊥（
??
-k
??
），求实数k的值；（2）向量2k
??
+7
??
与向量
??
+k
??
的夹角大于90°，求实数k的取值范围．
已知直线l的方程为3x+4y-12=0，分别求满足下列条件的直线l′的一般式方程．（1）过点（1，2）且与l的夹角为45°；（2）l'为l绕原点逆时针旋转90°后得到的直线．
设P1P2…P2018是半径为l的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．（1）求|
??
1
??
2
+
??
2
??
3
+
??
3
??
4
+…+
??
2017
??
2018
-
??
1
??
|的取值范围；（2）求证：
??
??
1
2+
??
??
2
2+…+
??
??
2018
2为定值，并求出该定值．

已知射线OA：y=kx（k＞0，x＞0），OB：y=-kx（x＞0），动点P（x，y）在∠AOx的内部，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，四边形OMPN的面积恰为k．（1）求点M的坐标（用点P的横坐标x、点P的纵坐标y及k表示）；（2）当k为定值时，求动点P的纵坐标y关于横坐标x的函数y=f（x）的解析式．

答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：等比数列9、-3、1，-、……，可得公比为，前n项和为：．无穷等比数列9、-3、1，-、……，各项的和为：==．故选：B．求出等比数列的前n项和，然后求解极限即可．本题考查数列求和以及数列的极限的运算．是基本知识的考查．
2.【答案】A【解析】
解：因为E为△ABC的重心，所以==?（+）=+，故选：A．根据重心的性质以及平行四边形法则可得．本题考查了重心的性质以及向量的平行四边形法则．属基础题．
3.【答案】A【解析】
解：坐标系xOy平面上的直线+=1经过第一、第二和第四象限，如图所示；则a＞0，b＞0．故选：A．根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．
4.【答案】A【解析】
解：由-4?+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|-|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．把等式-4?+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．
5.【答案】
5
3
【解析】
解：===．故答案为：．直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．
6.【答案】-2或1【解析】
解：∵与平行；∴k?（k+1）-2=0；解得k=-2或1．故答案为：-2或1．根据即可得出k?（k+1）-2=0，解出k即可．考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．
7.【答案】-2【解析】
解：k==tan120°，解得b=-2，故答案为：-2．由题意可得k==tan120°，解得即可本题考查了斜率公式，以及倾斜角和斜率的关系，属于基础题
8.【答案】
7
【解析】
解：由题意可得=||?||?cos60°=1×2×=1，∴|+|====，故答案为：．由题意可得=1，再根据|+|=，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
9.【答案】2
2
【解析】
解：直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离==2．故答案为：2．利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
2
5
【解析】
解：由题意得：在的方向上的投影为：==，故答案为：．根据投影的几何意义求出即可．本题考查了向量的投影，考查向量的坐标运算，是一道基础题．
11.【答案】7（x-1）+5（y-6）=0【解析】
解：与直线=垂直的直线的法向量为（7，5），则点法向式直线方程为7（x-1）+5（y-6）=0．故答案为：7（x-1）+5（y-6）=0．根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．本题考查了直线点法向式方程，属于基础题
12.【答案】(
1
3
，
10
3
)【解析】
解：设H（x，y）；∵点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点；∴根据定比分点公式得：；∴；∴H（）．故答案为：．可设H（x，y），根据条件及定比分点公式可得出，这样即可得出点H的坐标．考查三等分点的定义，以及线段的定比分点公式．
13.【答案】（
2
7
，1）【解析】
解：联立，解之可得交点（，），由题意可得，，解之可得＜k＜1，故k的取值范围是（，1）故答案为：（，1）联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定k的取值范围即可．本题考查两直线的交点问题，涉及二元一次方程组和不等式的解法，属中档题．
14.【答案】
3
4
【解析】
解：设DE=x，∵∠BAD=120°，AB=AD=1，△ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2AB?ADcos120°=1+1=3，∴，△ABD中，∠ABD=∠BDA=30°，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∴=（）?（）==1×1×cos60°+1+0+1×x×cos150°+0+x2==，此时DE=x=，故答案为：．设DE=x，由已知结合余弦定理可求∠ABD=∠BDA=30°，而=（）?（），展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质可求．本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．
15.【答案】解：当公比q满足0＜q＜1时，Sn=1+q+q2+…+qn-1=
1?
??
??
1???
，于是
??
??
??
??+1
=
1?
??
??
1?
??
??+1
，
??→∞
??????
??
??
??
??+1
=1．当公比q=1时，Sn=1+1+…+1=n，于是
??
??
??
??+1
=
??
??+1
．因此
??→∞
??????
??
??
??
??+1
=
??→∞
??????
??
??+1
═1当公比q＞1时，Sn=1+q+q2+…+qn-1=
??
??
?1
???1
于是
??
??
??
??+1
=
??
??
?1
??
??+1
?1
．因此?
??→∞
??????
??
??
??
??+1
=
??→∞
??????
??
??
?1
??
??+1
?1
=
??→∞
??????
1?
1
??
??
???
1
??
??
=
1
??
．综合以上讨论得到
??→∞
??????
??
??
??
??+1
=
1，0＜??≤1
1
??
，??＞1
．【解析】
当公比q满足0＜q＜1时，Sn=，求出的值，然后求解极限，当公比q=1时，Sn=n，求出的值．当公比q＞1时，求出的值．综合然后求解极限的值即可．本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．
16.【答案】解：（1）
??
2
=4，
??
2
=1；∵(
??
+??
??
)⊥(
??
???
??
)；∴(
??
+??
??
)?(
??
???
??
)=
??
2
?
??
2
??
2
=4-k2=0；∴k=±2；（2）∵向量2k
??
+7
??
与向量
??
+k
??
的夹角大于90°；∴(2??
??
+7
??
)?(
??
+??
??
)=2??
??
2
+(2
??
2
+7)
??
?
??
+7??
??
2
=2k2+15k+7＜0；解得?7＜??＜?
1
2
；∴实数k的取值范围为(?7，?
1
2
)．【解析】
（1）可求出，根据即可得出，从而求出k的值；（2）根据向量2k+7与向量+k的夹角大于90°即可得出，进行数量积的运算即可求出k的取值范围．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式．
17.【答案】解：（1）直线l的方程为3x+4y-12=0，则l的斜率为-
3
4
，设所求直线的斜率为k，则
???(?
3
4
)
1+(?
3
4
)??
=±tn45°=±1，∴
??+
3
4
1?
3
4
??
=±1，解得k=-7或k=
1
7
，∴k=-7时，直线方程为y-2=-7（x-1），化为一般式方程是7x+y-9=0；∴k=
1
7
时，直线方程为y-2=
1
7
（x-1），化为一般式方程是x-7y+13=0；综上知，所求的直线方程为7x+y-9=0或x-7y+13=0；（2）直线3x+4y-12=0与坐标轴的交点坐标为（4，0）和（0，3），则旋转后的直线与坐标轴的交点坐标为（-3，0）和（0，4），∴所求的直线方程为
??
?3
+
??
4
=1，即为4x-3y+12=0．【解析】
（1）求出直线l的斜率，设所求直线的斜率为k，利用两条直线所成的角求出k的值，再写出所求的直线方程； （2）根据直线3x+4y-12=0与坐标轴的交点求出旋转后的直线与坐标轴的交点坐标，即可写出所求的直线方程．本题考查了直线方程与应用问题，也考查了两条直线所成的角以及直线旋转问题，是中档题．
18.【答案】解：（1）∵P1P2…P2018是半径为l的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．∴|
??
1
??
2
+
??
2
??
3
+
??
3
??
4
+…+
??
2017
??
2018
-
??
1
??
|=|
??
1
??
2018
-
??
1
??
|=|
??
??
2018
|，∴|
??
1
??
2
+
??
2
??
3
+
??
3
??
4
+…+
??
2017
??
2018
-
??
1
??
|的取值范围是[0，2]．证明：（2）把
??
??
1
，
??
??
2
，…，
??
??
2018
这2018个向量都旋转
2??
2018
后，
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
??
2018
不变，∴和向量旋转
2??
2018
弧度后也不变，∴
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
??
2018
=
0
，∴
??
??
1
2+
??
??
2
2+…+
??
??
2018
2=（
??
??
1
?
????
）2+（
??
??
2
-
????
）2+…+（
??
??
2018
-
????
）2=（
??
??
1
2
+
??
??
2
2
+…+
??
??
218
2
）-2
????
?（
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
??
2018
）+2018
????
2=2018-2
????
?（
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
??
2018
）+2018=2018-2
????
?
0
+2018=4036．【解析】
（1）推导出|+++…+-|=|-|=||，由此能求出|+++…+-|的取值范围．（2）推导出+…+=，从而2+2+…+2=（）2+（-）2+…+（-）2=（+…+）-2?（）+20182，由此能证明2+2+…+2为定值，并能求出该定值．本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.【答案】解：（1）设M（xM，yM），则
??
??
=??
??
??
??
??
???=?
1
??
(
??
??
???)
，解得xM=
??+????
1+
??
2
，yM=
??(??+????)
1+
??
2
，故M的坐标为（
??+????
1+
??
2
，
??(??+????)
1+
??
2
），（2）OM=
1+
??
2
?（
??+????
1+
??
2
），点P到直线OA的距离为
|???????|
1+
??
2
，根据点P的位置可知PM=
???????
1+
??
2
，因此S△OMP=
1
2
OM?PM=
1
2
?
(??+????)(???????)
1+
??
2
，同理，把k替换为-k可知N（
???????
1+
??
2
，-
??(???????)
1+
??
2
），ON=
1+
??
2
?（
???????
1+
??
2
），PN=
????+??
1+
??
2
，因此S△ONP=
1
2
ON?PN=
1
2
?
(???????)(????+??)
1+
??
2
，∴四边形OMPN的面积S=S△OMP+S△ONP=
1
2
?
(??+????)(???????)
1+
??
2
+
1
2
?
(???????)(????+??)
1+
??
2
=
??
1+
??
2
（x2-y2），因此
??
1+
??
2
（x2-y2）=k，解得y=
??
2
?1?
??
2
，注定义域这里不作要求，由x＞0，0＜y＜kx，0＜y＜
1
??
x可得：当0＜k＜1时，x∈（
??
2
+1
，
??
2
+1
1?
??
2
），当k=1时，x∈（
2
，+∞），当k＞1时，x∈（
??
2
+1
，k
??
2
+1
??
2
?1
）【解析】
（1）设M（xM，yM），则，解的即可（2）先要仔细分析题目所给的条件，设出点M、N的坐标，将四边形分解成两个三角形：三角形OMP、三角形ONP分别表示出面积，然后求和即可找到x、y之间的关系式，进而即可获得问题的解答本题考查的是函数解析式的求解问题．在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．