2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合
已知向量
??
、
??
、
??
，若
??
?
??
=1且
??
与
??
不平行，则下列结论不正确的是（　　）
A.
??
?
??
=1 B. (
??
?
??
)
??
=
??
(
??
?
??
)C.
??
(
??
+
??
)=
??
?
??
+
??
?
??
D. (??
??
)
??
=
??
?(??
??
)
如图已知A（4，0）、B（0，4）、O（0，0），若光线L从点P（2，0）射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（　　）
A. ??=???2B. ??=2???4C. ??=
1
3
???
2
3
D. ??=3???6
若数列{an}满足
??
1
=
1
2
且
??
??+1
=
??
??
+(2?
3
)
1?(2?
3
)
??
??
，则a2018为（　　）
A.
5
3
?6
3
B.
1+3
2
5
C. 0 D. 1
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
写出直线2x+y+1=0的一个法向量
??
=______．
二元一次方程
2??+??=0
??+??=1
的增广矩阵为______．
若
??
=(1，?1)，
??
=(2，?1)，则
??
?
??
=______．
行列式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
中，6的代数余子式的值是______．
若向量
??
=(??，1)，
??
=(?2??，??+1)，??∈??，且
??
∥
??
，则x=______．
若直线l的一个方向向量
??
=(1，
3
)，则l与直线x-y+1=0的夹角为______．
已知数列{an}是以1首项的等比数列，其各项和S=2，则{an}的公比q=______．
已知P1=（-1，1）、P2=（2，3），若P在P1P2的长线上，且|
??
1
??
2
|=2|
??
2
??
|，则点P的坐标为______．
已知向量|
??
|=3，|
??
|=2，且(
??
?2
??
)(
??
+
??
)=5，则
??
在
??
+
??
投影为______．
若直线l经过点M（-2，1），且以A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，则直线l倾斜角的取值范围是______．
如图，在△OAB中
????
=
??
，
????
=
??
，若点M分
????
所成的比为2：1，若点N分
????
所成的比为3：1，OM和BN交于点P，则
????
可用
??
、
??
表示为______．
平面向量
??
，
??
，
??
满足|
??
|=1，
??
?
??
=1，
??
?
??
=2，|
??
?
??
|=2，则
??
?
??
的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）
设常数m∈R，利用行列式解关于x、y的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：
????+??=2
2??+(??+1)??=??

已知
??
=(3，?4)，
??
是与
??
方向相同的单位向量，
??
是与
??
垂直的单位向量．（1）求
??
；（2）求
??
与(
??
?
??
)的夹角大小．
已知直线l上两个点A（0，3）、C（3，0），其中O为坐标原点．（1）若
????
=
1
3
????
+
4
3
????
，求点D的坐标，并确定点D与直线l的位置关系；（2）已知点B是直线l上的一点，求证：若存在实数m、n，使向量
????
=??
????
+??
????
，则m+n=1．
已知
??
??
??
??+1
+
??
??
??
??+1
=(?2
)
??
+1，
??
??
=
3+(?1
)
???1
2
，??∈
??
?
且a1=2．（1）求a2：a3；（2）求{an}的通项公式；（3）设{an}的前n项和为Sn，求{Sn+1-Sn}的前n项和．
如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=1，AB⊥BO，点P(
1
2
，
1
4
)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成△AMN，设直线MN的斜率为k，问：（1）求直线MN的方程；（2）若△OMP的面积为S△OMP，求f（k）=S△OMP的表达式；（3）若S为△AMN的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式S2≥m（1-2S）有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中， ∵1×2+2×（-1）=0， ∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直． 故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．
2.【答案】B【解析】
解：∵?=?=1，∴A正确；∵?（+）=?+?，∴C正确；∵（）?=λ（?）=?（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．
3.【答案】D【解析】
解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
4.【答案】A【解析】
解：设an=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=an．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设an=tanθn，而==，可得，得到an+12=an，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．
5.【答案】（2，1）【解析】
解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1， ∴直线的斜率为-2， ∴直线的一个方向向量为（1，-2）， ∴直线的一个法向量为（2，1）． 故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．
6.【答案】
1
1
1
2
1
0
【解析】
解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．
7.【答案】3【解析】
解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．
8.【答案】6【解析】
解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．
9.【答案】0或-3【解析】
解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．
10.【答案】15°【解析】
解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
11.【答案】
1
2
【解析】
解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{an}的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．
12.【答案】（
7
2
，4）【解析】
解：由于P在P1P2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P1=（-1，1）、P2=（2，3），则：设P（x，y），则：x=，y=，故：P（）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
13.【答案】
5
【解析】
解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．
14.【答案】[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）【解析】
解：kMA=，kMB=，∵直线l与A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，∴直线l的斜率k满足-2≤k≤3．∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】
3
10
??
+
3
5
??
【解析】
解：根据题意得，O，P，M三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．
16.【答案】
5
4
【解析】
解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴?=2+y1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：D=
2
??+1
??
1
=2×1-m（m+1）=（m+2）（1-m），Dx=
??
??+1
2
1
=-m-2，Dy=
2
??
??
2
=（2+m）（2-m），（1）当m≠-2，m≠1时，D≠0，原方程组有唯一组解，即
??=
1
???1
??=
???2
???1
，（2）当m=1时，D=0，Dx=-3≠0，原方程组无解；（3）当m=-2时，D=0，Dx=0，Dy=0，原方程组有无穷组解．【解析】
先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，Dx，Dy，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
18.【答案】解：（1）已知
??
=(3，?4)，则：|
??
|=5，
??
是与
??
方向相同的单位向量，则：
??
=
??
|
??
|
=（
3
5
，?
4
5
），（2）
??
是与
??
垂直的单位向量．故：
??
=(
4
5
，
3
5
)或(?
4
5
，?
3
5
)，所以：当
??
=(
4
5
，
3
5
)时，????????=
??
?(
??
?
??
)
|
??
||
??
?
??
|
=
2
2
，解得：??=
??
4
当
??
=(?
4
5
，?
3
5
)时，????????=
??
?(
??
?
??
)
|
??
||
??
?
??
|
=
2
2
，解得：??=
??
4
，故：??=
??
4
．【解析】
（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果． （2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19.【答案】解：根据题意得，（1）
????
=
1
3
（0，3）+
4
3
（3，0）=（0，1）+（4，0）=（4，1）∴点D的坐标为（4，1）又∵
1
3
+
4
3
≠1∴点D不在直线l上；（2）∵点B是直线l上的一点
????
=λ
????
=λ（
????
-
????
）∴
????
-
????
=λ
????
-λ
????
∴
????
=??
????
+（1-λ）
????
∴由
????
=m
????
+n
????
得m=1-λ；n=λ∴m+n=1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】
（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果．本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．
20.【答案】解：（1）由于
??
??
=
3+(?1
)
???1
2
，可得
??
??
=
2
(??为奇数)
1
(??为偶数)
，由于
??
??
??
??+1
+
??
??
??
??+1
=(?2
)
??
+1，所以当n=1时，a1+2a2=-1，由于a1=2，解得
??
2
=?
3
2
，当n=2时，2a2+a3=5，解得a3=8；（2）当n为奇数时，
??
??
+2
??
??+1
=?
2
??
+1，当n为偶数时，2
??
??
+
??
??+1
=
2
??
+1，可得n为奇数时，an+1+2n+1-an+2=1-2n，即有an+2-an=3?2n，由a3-a1=3?2，a5-a3=3?23，…，an-an-2=3?2n-2，累加可得an-a1=3（2+23+…+2n-2）=3?
2(1?
4
???1
2
)
1?4
=2n-2，即有an=2n（n为奇数），当n为偶数时，an=
1
2
（1+2n）-2n=
1
2
-2n-1，综上可得an=
2
??
，??为奇数
1
2
?
2
???1
，??为偶数
；（3）{an}的前n项和为Sn，当n为偶数时Sn=（2+23+…+2n-1）+
1
2
?
??
2
-（2+23++…+2n-1）=
??
4
，当n为奇数时，Sn=Sn-1+an=
???1
4
+2n，当n为偶数时，Sn+1-Sn=an+1=2n+1，{Sn+1-Sn}的前n项和=a2+a3+…+an+1=
??
4
-（2+23++…+2n-1）+（23+25+…+2n+1）=
??
4
-2+2n+1；当n为奇数时，{Sn+1-Sn}的前n项和=
???1
4
-2+2n+2n=
???1
4
-2+2n+1．综上可得，当n为奇数时，所求和为
???1
4
-2+2n+1，当n为偶数时，所求和为
??
4
-2+2n+1．【解析】
（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值； （2）讨论n为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式； （3）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
21.【答案】解：（1）依题意有直线MN的方程为：y-
1
4
=??(???
1
2
)（2）∵AB⊥OB，AB=OB=1∴直线OA方程为：y=x∴直线AB方程为：x=1由
???
1
4
=??(???
1
2
}
??=??
得M（
2???1
4???4
，
2???1
4???4
）∵
2???1
4???4
≥0∴k≤
1
2
或k＞1又由
???
1
4
=??(???
1
2
)
??=1
得N（1，
2??+1
4
）∵
2??+1
4
≥0∴??≥?
1
2
即-
1
2
≤??≤
1
2
由弦长公式可得OM=
1+
??
2
2???1
4???4
点P到直线OM的距离为d=
1
4
1+
??
2

∴
??
△??????
=
1
2
???????=
2???1
32(???1)
??（-
1
2
≤??≤
1
2
）（3）易得S△AMN=
1
32
[4(1???)+
1
1???
+4]设t=4（1-k）+
1
1???
??（-
1
2
≤??≤
1
2
）由“对勾”函数性质可得4≤??≤
20
3
∴
1
4
≤
??
△??????
≤
1
3
又S2≥m（1-2S）且
1
3
≤1?2??≤
1
2
m∴≤
??
2
1?2??
=
1
(
1
??
?1
)
2
?1
，S∈[
1
4
，
1
3
]∵
1
(
1
??
?1
)
2
?1
的最小值为
1
8
∴m≤
1
8
【解析】
（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M点坐标，再用S△OPM=，（3）有解问题最值法，先分离变量m，S，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．