2018-2019学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）
下列命题为真命题的是（　　）
A. 经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y?y0=k(x?x0)表示B. 不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示C. 经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x1?x2)(y?y2)=(y1?y2)(x?x2)表示D. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
对于任意实数m，直线mx-y+1-3m=0必经过的定点坐标是（　　）
A. (3,1) B. (1,3) C. (1m,?3m) D. 无法确定
已知无穷数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的（　　）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要 D. 既不充分也不必要
在直角坐标系xOy中，点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足yQ=yP?xPxQ=yP+xP，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若|OQ||OP|=m及∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（　　）
A. θ=π4，m不确定 B. θ不确定，m=2C. m=2，θ=π4 D. 以上答案都不对
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
已知向量a=(1，k)，b=(9，k?6)．若a∥b，则实数k=______．
系数矩阵为1223，且解为yx=11的一个线性方程组是______
等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6=9，则log3a3+log3a7=______．
若向量a，b满足a?b=-10，且|b|=5，则a在b的方向上的投影为______
用行列式解线性方程组x?y+1=02x+y=7，则Dy的值为______．
执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为______．
若直线3x-y-1=0与x-ay=0的夹角是π6，则实数a的值为______．
直线l经过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到l的距离为1，则直线l的方程为______．
已知向量a、b满足|a|=|b|=1且a与b夹角为120°，则当|a?tb|的值取到最小时，实数t的值为______
已如等差数列{an}的前n项和Sn，且n→∞limSnn2+1=?a18(a1＞0)，则当Sn达到最大值时n的值为______
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，向量OP=（n，Snn），OP1=（m，Smm），OP2=（k，Skk）（n，m，k∈N*），且OP=λ?OP1+μ?OP2，则用n，m，k表示μ=______．
已知等差数列{an}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有an2kn?1≤am2km?1（m∈N*），则m=______．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
已知向量OA=（2，-3），OB=（-5，4），OC=（1-λ，3λ+2）．（1）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值．（2）若点A，B，C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．
平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个点（n∈N*，k、b均为非零常数）．（1）若数列{xn}成等差数列，求证：数列{yn}也成等差数列；（2）若点P是直线l上的一点，且OP=a1OA1+a2OA2，求a1+a2的值；（3）若点P满足OP=a1OA1+a2OA2+…+anOAn，我们称OP是向量OA1，OA2，…，OAn的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．证明：OP是向量OA1，OA2，…，OAn的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+an=1是点P在直线l上的充要条件．
已知直线l1：y=2x，l2：y=-2x，过点M（-2，0）的直线l分别与直线l1，l2交于A，B，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N（1，0）；（1）若△NAB的面积为16，求直线l的方程；（2）直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l、PQ的斜率均存在，分别设为k1，k2，判断k1k2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5-a3=13，S4=16．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设Tn=i=1n（-1）iai，若对一切正整数n，不等式λTn＜[an+1+（-1）n+1an]?2n-1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，Sm-S2，Sn-Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C【解析】
解：带有斜率的直线方程，可能斜率不存在，剔除A，D； 与x，y轴平行或重合的直线不能运用截距式方程表示，剔除B； 故C正确． 故选：C．考虑直线的斜率不存在，可判断A，D；由直线与与x，y轴平行或重合，可判断B；由两点式方程可判断C．本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，考查判断能力，属于基础题．
2.【答案】A【解析】
解：直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解得x=3，y=1．∴直线恒过定点（3，1）．故选：A．直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解出即可得出定点坐标．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A【解析】
解：∵{an}是公比为q的等比数列，当0＜|q|＜1时，Sn=，|Sn|=||，即“存在M＞||，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|Sn|=即取M=2|a1|即可，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件，综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．因为{an}是公比为q的等比数列，当0＜|q|＜1时，Sn=，|Sn|=||，即“存在M＞||，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|Sn|=即取M=2|a1|可得“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|Sn|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件，本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及等比数列求和，属中档题．
4.【答案】C【解析】
解：==，=；∴，；又0≤θ≤π；∴．故选：C．可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出cos，进而得出θ．考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，以及数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．
5.【答案】?34【解析】
解：由，得1×（k-6）-9k=0，解得k=-，故答案为：．根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．本题考查向量共线的充要条件，若，则?x1y2-x2y1=0．
6.【答案】2x+3=5x+2y=3【解析】
解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是=，∴=，∴所求的方程组为．故答案为：．先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解求出待定系数，从而可得所求的线性方程组．本题考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及待定系数法求线性方程组问题，是基础题．
7.【答案】2【解析】
解：由题意可得log3a3+log3a7 =log3a3a7=log3a4a6 =log39=2 故答案为：2由等比数列的性质和对数的运算性质，化简可得．本题考查等比数列的性质和对数的运算，属基础题．
8.【答案】-2【解析】
解：∵=-10，且||=5，由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为==-2，故答案为：-2．由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为，代入可求．本题主要考查了平面向量投影的定义的简单应用，属于基础试题．
9.【答案】-9【解析】
解：行列式解线性方程组，则Dy==2×（-1）-7×1=-9，故答案为：-9根据行列式解二元一次方程组的方法可得Dy=，即可求出答案．本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数行列式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.【答案】21【解析】
解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2； 第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3； 第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4； … 直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21． 故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
11.【答案】3或0【解析】
解：直线x-y-1=0的斜率为，直线x-ay=0的斜率不存在或是．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式可得tan==，解得a=．故答案为：或0．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式求出a的值．本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
12.【答案】x=-2或4x+3y+5=0【解析】
解：设直线l的方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0∵点A（-1，-2）到l的距离为1，∴=1，解之得k=-，得l的方程为4x+3y+10=0．当直线与x轴垂直时，方程为x=-2，点A（-1，-2）到l的距离为1，∴直线l的方程的方程为x=-2或4x+3y+5=0．故答案为：x=-2或4x+3y+5=0．当直线l斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为4x+3y+10=0；当直线与x轴垂直时，l方程为x=-2也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．本题求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．
13.【答案】?12【解析】
解：∵||=||=1且与夹角为120°，∴=，当||2==t2+t+1=，结合二次函数的性质可知，当t=-时，||有最小值．故答案为：-．由已知可求，而||2==t2+t+1，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了平面向量数量积的定义及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题
14.【答案】4或5【解析】
解：∵Sn=na1+n（n-1）d，∴==-，∴=-，∴a1=-4d，∴Sn=dn2-dn=（n-）2-d，故n=4或5时，Sn达到最大值，故答案为：4或5利用等差数列的求和公式和极限的定义可得a1=-4d，即可得到Sn=（n-）2-d，问题得以解决．本题考查了等差数列的求和公式和极限的定义，属于中档题．
15.【答案】n?mk?m【解析】
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：；∴数列为等差数列；∴P，P1，P2都在直线y=上；即P，P1，P2三点共线；∴存在实数k，使；∴=；∴μ=k；又，；∴n-m=μ（k-m）；∴．故答案为：．可设数列{an}的首项为a1，公差为d，从而可以得出，从而得出{}为等差数列，从而便有三点P，P1，P2共线，从而有，可以用表示出向量，进而可得到μ=k，可求出向量的坐标，带入便可求出μ．考查等差数列的通项公式和前n项和公式，对于等差数列an=a1+（n-1）d，知道点（n，an）在直线y=a1+（x-1）d上，共线向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量坐标的减法运算和数乘运算．
16.【答案】1或2【解析】
解：根据题意，等差数列{an}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n-1）=2n-1．∵a1，a2，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由an=2n-1，得，∴2kn-1=3n+1．∴kn=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，得=3n+1．由an=2n-1，得，可得2kn-1=3n+1．即kn=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．
17.【答案】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠B=90°；∴AB?BC=0；∵AB=OB?OA=(?7，7)，BC=OC?OB=(6?λ，3λ?2)；即-7（6-λ）+7（3λ-2）=0；∴λ=2；（2）∵点A，B，C能能构成三角形，则A，B，C不共线，即AB与BC不共线；∴-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0；∴实数λ应满足的条件是λ≠-2．【解析】
（1）先求得，根据△ABC为直角三角形，且∠B为直角即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值；（2）根据点A，B，C可构成三角形，即可得出A，B，C三点不共线，即得到不共线，从而得出-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0，这样即可求出实数λ满足的条件．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量的坐标关系．
18.【答案】解：（1）证：设等差数列{xn}的公差为d，∵yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd，∴yn+1-yn为定值，即数列{yn}是等差数列；（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有A1P=λPA2，（λ≠-1），于是，OP=OA1+A1P=OA1+λPA1=OA1+λ（OA2-OP），∴（1+λ）OP=OA1+λOA2，∴OP=11+λOA1+λ1+λOA2，令a1=11+λ，a2=λ1+λ，则有a1+a2=1；（3）假设存在点P（x，y），满足OP=a1OA1+a2OA2+…+anOAn，则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，又当i+j=n+1时，恒有ai=aj，则又有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，∴2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+a3（x3+xn-2）+…+an（xn+x1），又∵数列{xn}为等差数列；于是x1+xn=x2+xn-1=x3+xn-2=…=xn+x1∴2x=（a1+a2+a3+…+an）（x1+xn）=x1+xn故x=x1+xn2，同理y=y1+yn2，且点P（x1+xn2，y1+yn2）在直线上（是A1、An的中点），即存在点P（x1+xn2，y1+yn2）满足要求，故OP是向量OA1，OA2，…，OAn的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+an=1是点P在直线l上的充要条件．【解析】
（1）将yn+1和yn分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{yn}为等差数列；（2）由题中条件可知P，A1，A2共线，令=λ，即可证明a1+a2=1；（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+an=1和ai=aj及数列{xn}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．
19.【答案】解：（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标分别为4k2?k，4kk+2，∵△NAB的面积为16，∴12|MN|?（yB-yA）=16，即12×3×（4kk+2-4k2?k）=16，解得k=±4，∴直线l的方程为4x±y+8=0；（2）由（1）可得A（2k12?k1，4k12?k1），B（-2k12+k1，4k12+k1），又N（1，0），设P（a，-2a），Q（b，2b），由A，N，P共线，可得2a1?a=4k13k1?2，解得a=2k15k1?2，即有P（2k15k1?2，-4k15k1?2），由B，N，Q共线，可得2bb?1=4k1?3k1?2，解得b=2k15k1+2，即有Q（2k15k1+2，4k15k1+2），则k2=4k15k1+2??4k15k1?22k15k1+2?2k15k1?2=-5k1，即有k1k2为定值-15．【解析】
（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标，再由△NAB的面积为|MN|?（yB-yA）=16，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（2）求得A，B的坐标，设P（a，-2a），Q（b，2b），运用三点共线的条件：斜率相等，求得a，b，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值．本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题．
20.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d．∵2a5-a3=13，S4=16，∴4a1+6d=162(a1+4d)?(a1+2d)=13，解得a1=1，d=2，…（2分）∴an=2n-1，Sn=n2．…（4分）（2）①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，则T2k=（a2-a1）+（a4-a3）+…+（a2k-a2k-1）=2k．?…（5分）代入不等式λTn＜[an+1+（-1）n+1an]?2n-1，得λ?2k＜4k，从而λ＜4k2k．设f（k）=4k2k，则f（k+1）-f（k）=4k+12(k+1)-4k2k=4k(3k?1)2k(k+1)．∵k∈N*，∴f（k+1）-f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）min=2，∴λ＜2．…（7分）②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，则T2k-1=T2k-（-1）2ka2k=2k-（4k-1）=1-2k．…（8分）代入不等式λTn＜[an+1+（-1）n+1an]?2n-1，得λ?（1-2k）＜（2k-1）4k，从而λ＞-4k．∵k∈N*，∴-4k的最大值为-4，所以λ＞-4．综上，λ的取值范围为-4＜λ＜2．…（10分）（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，Sm-S2，Sn-Sm成等比数列，则（Sm-S2）2=S2?（Sn-Sm），即（m2-4）2=4（n2-m2），∴4n2=（m2-2）2+12，即4n2-（m2-2）2=12，…（12分）即（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12．…（14分）∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m2-2≥15．∵2n-m2+2是整数，∴等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，Sm-S2，Sn-Sm成等比数列．?…（16分）【解析】
（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的前n项和． （2）当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，求出T2k=2k，进而求出λ＜2；当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，求出T2k-1=1-2k，进而求出λ＞-4．由此能求出λ的取值范围． （3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，Sm-S2，Sn-Sm成等比数列，由此利用已知条件推导出等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，从而得到不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，Sm-S2，Sn-Sm成等比数列．本题考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断，综合性强，难度大，解题时要注意不等式、函数单调性、反证法的合理运用．