2018-2019学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知|a|=3，|b|=4，（a-b）（a-3b）=81，则a与b的夹角为（　　）
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
二元一次方程组a2x+b2y=c2a1x+b1y=c1存在唯一解的必要非充分条件是（　　）
A. 系数行列式D≠0B. 比例式a1a2≠b1b2C. 向量a2a1,b2b1不平行D. 直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行
如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则A1A2?AjAi，(i，j∈[1，2，3，…6])的值组成的集合为（　　）
A. {?2,?1,0，1，2}B. {?2,?1,?12,0,12,1,2}C. {?32,?1,?12,0,12,1,32}D. {?2,?32,?1,?12,0,12,1,32,2}
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
方程组3x?y=8x+2y?5=0的增广矩阵为______．
直线x+3y-1=0的倾斜角的大小为______．
过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程______．
已知AB=3AP，设BP=λPA，则实数λ=______．
三阶行列式42k?354?11?2第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k=______．
已知e1、e2是夹角为π2的两个单位向量，向量a=e1-2e2，b=ke1+2e2，若a∥b，则实数k的值为______．
以行列式101x21y11的形式表示的直线方程的一个法向量n=______
直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0在x轴上的截距等于y轴上的截距的2倍，则m的值为______
已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是______．
已知点（-3，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是______
已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是______．
定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（n∈N*）个不同的点Pi，使得PiM?PiN=m(i=1，2，…，n)，称该图形满足“n度契合”．若边长为4的正方形ABCD中，BC=2BM，DN=3NA，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）
已知直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，问m为何值时，l1，l2相交，平行，重合？
已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为120°，当k为何值时．（1）ka+b与a-b垂直；（2）|ka-2b|取得最小值？并求出最小值．
设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足AD=λ+1λ2+2AB，AP=AD+λλ+1BC，λ＞0．求：（1）记f（λ）=S△APDSABC，求f（λ）关于λ的表达式；（2）求出f（λ）的最大值并求出相应的λ值．
在直角坐标系Oy中，过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于两点之间．（1）若AP=3PB，求直线l的方程；（2）求当AP?PB取得最小值时直线l的方程；（3）当SOAB面积最小值时的直线方程．
已知直线：（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0，且与坐标轴形成的三角形面积为S．求：（1）求证：不论m为何实数，直线L过定点P；（2）分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；（3）针对S的不同取值，讨论集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素个数．
答案和解析
1.【答案】A【解析】
解：∵当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=-2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．
2.【答案】C【解析】
解：∵||=3，||=4，（-）（-3）=81，∴（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，∴cos＜＞=-，∴与的夹角为．故选：C．由（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，由此能求出与的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3.【答案】D【解析】
解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．
4.【答案】D【解析】
解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，-1，}．故选：D．通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．
5.【答案】1253?18【解析】
解：方程组的增广矩阵为，故答案为：，根据增广矩阵的定义即可求出．本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题
6.【答案】56π【解析】
解：因为直线的斜率为：-，所以tanα=-，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．
7.【答案】x-2y-1=0【解析】
解：设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0， 把（1，0）代入，得：1-2×0+c=0， 解得c=-1， ∴过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y-1=0． 故答案为：x-2y-1=0．设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0，把（1，0）代入能求出结果．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】2【解析】
解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．可知，这样带入便可得到，从而便可得出λ的值．考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量相等的概念．
9.【答案】-14【解析】
解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．
10.【答案】-1【解析】
解：∵；∴存在实数λ，使；∴；又不共线；∴；∴k=-1．故答案为：-1．根据即可得出，存在实数λ，使得，从而得出，并且不共线，从而得出，这样即可求出k的值．考查单位向量的概念，共线向量和平面向量基本定理，向量的数乘运算．
11.【答案】（1，-2）【解析】
解：∵=2+x-2y-1=x-2y+1=0．∴以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量=（1，-2）．故答案为：（1，-2）．=2+x-2y-1=x-2y+1=0．由此能求出结果．本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12.【答案】-23或0【解析】
解：直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0，当m=0时，直线化为x+y=0，在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0，满足题意；当m≠0时，直线化为x+y=1，在x轴上的截距是，在y轴上的截距是，=2?，解得m=-；综上，m的值为-或0．故答案为：-或0．讨论m=0时直线化为x+y=0，满足题意；m≠0时，直线化为x+y=1，求出在x轴和y轴上的截距，列方程求出m的值．本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是基础题．
13.【答案】[2，+∞）【解析】
解：若a-2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a-2≠0，直线方程可化为y=x-，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0解得a＞2综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）故答案为：[2，+∞）由已知中直线（a-2）y=（3a-1）x-1不经过第二象限，我们分别讨论a-2=0（斜率不存在），a-2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a-2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）
14.【答案】（3π4，5π6）【解析】
解：∵点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，∴（--3+2）（2a+2）＞0，解得-1＜a＜-，设直线的倾斜角为θ∈[0，π），∴-1＜tanθ＜-，∴．∴直线l倾斜角的取值范围是（，）．故答案为：（，）．点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，推导出（--3+2）（2a+2）＞0，由此能求出直线的倾斜角的范围．要求直线l倾斜角的取值范围的范围，关键是要根据题意建立关于a?的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】(1?22，12)【解析】
解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=?AB?OC=1， 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为（，），①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则=-1，且=，解得a=b=，②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即?MB?yN=，即?（1+）?=，解得，故b，③若点M在点A的左侧，则＜-1，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====，此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即??=，化简可得2（1-b）2=|a2-1|．由于此时0＜b＜a＜1，∴2（1-b）2=|a2-1|=1-a2 ．两边开方可得（1-b）=，则1-b，即b＞，综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞，即b的取值范围是，故答案为：．先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得b＜；③若点M在点A的左侧，求得b＞1-，综合起来可得结论．本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
16.【答案】m=-14或2＜m＜6【解析】
解，如图建立平面直角坐标系，可得N（0，1），M（4，2），设Pi（x，y），由，可得（x-2）2+（y-）2=，即点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．如图：当r=2，即m=-时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：=，∴2＜m＜6．∴答案为：m=-或2＜m＜6．利用数量积的定义和M，N两点的位置可得点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．即可求得m的取值范围．本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义．动点轨迹问题，属于中档题．
17.【答案】解：∵直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，∴l1，l2相交时，m1≠1m，即m≠±1，∴m≠±1时，l1，l2相交；l1，l2平行时，m1=1m≠m+12m，解得m=-1，∴m=-1时，l1，l2平行；l1，l2重合时，m1=1m=m+12m，解得m=1，∴m=1时，l1，l2重合．【解析】
l1，l2相交时，；l1，l2平行时，；l1，l2重合时，．本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：（1）a?b=?1；∵ka+b与a?b垂直；∴(ka+b)?(a?b)=ka2+(1?k)a?b?b2=k?(1?k)?4=0；∴k=52；（2）(ka?2b)2=k2+4k+16=(k+2)2+12；∴k=-2时，|ka?2b|取得最小值23．【解析】
（1）根据条件先求出，与垂直时，，进行数量积的运算即可求出k；（2）先得出，配方即可求出k2+4k+16的最小值，进而得出的最小值．考查向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，配方求二次函数最值的方法．
19.【答案】解：（1）∵AP=AD+DP=AD+λλ+1BC，∴DP∥BC，∴f（λ）=S△APDS△ABC=ADAB?DPBC=λ+1λ2+2?λλ+1=λλ2+2，λ＞0；（2）f（λ）=1λ+2λ≤12λ?2λ=24，当且仅当λ=2时，f（λ）取得最大值24．【解析】
（1）先推出：=，DP∥BC，再根据面积公式可求得f（λ）；（2）利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量基本定理、基本不等式．属中档题．
20.【答案】解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-2k，所以A（4-2k，0），再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k），∵点P（4，2）位于A、B两点之间，∴4-2k且2-4k＞2，解得k＜0．∴AP=（2k，2），PB=（-4，-4k）…2分（1）∵AP=3PB，∴2k=3×(?4)，解得k=-16．∴直线l的方程为y=-16（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．（2）∵k＜0，∴AP?PB=8[（-k）+（-1k）]≥16，当-k=-1k，即k=-1时，等号成立．∴当AP?PB取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．（3）∵A（4-2k，0），B（0，2-4k），k＜0，∴S△OAB=12×(4?2k)×(2?4k)=8-（2k+8k）≥8+2(?2k)?(?8k)=8+8=16，当-2k=-8k时，即k=-12时，取等号，∴当SOAB面积最小值时的直线方程为y=-12（x-4）+2，即x+2y-8=0．【解析】
设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．（1）由A、B、P的坐标，得出向量和坐标，从而将=3化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出?关于k的表达式，再用基本不等式得到?取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．（3）S△OAB==8-（）≥8+2=8+8=16，当-=-8k时，即k=-时，取等号，由此能求出当SOAB面积最小值时的直线方程．本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程，着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21.【答案】解：（1）直线（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0可化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令x?y?1=02x+y?5=0，解得y=1x=2，∴不论m为何实数，直线L过定点P（2，1）；（2）由题意知，直线的斜率k存在，且k≠0，设直线方程为y-1=k（x-2），则直线与x轴的交点为A（2-1k，0），与y轴的交点为B（0，1-2k）；∴△AOB的面积为S=12?|OA|?|OB|=12×|2-1k|×|1-2k|=(2k?1)22|k|；令S=3，得（2k-1）2=6|k|，k＞0时，方程化为4k2-10k+1=0，解得k=10±848，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+2k+1=0，△=-12＜0，方程无实数根，即无直线；综上知，S=3时有两条直线；令S=5，得（2k-1）2=10|k|，k＞0时，方程化为4k2-14k+1=0，解得k=14±1808，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+6k+1=0，解得k=?6±208，有两个负根，即有两条直线；综上知，S=5时有四条直线；（3）由题意得，（2k-1）2=2S|k|，k＞0时，方程化为4k2-（2S+4）k+1=0，解得k=(S+2)±S2+4S4，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2-（4-2S）k+1=0，△=4S（S-4），0＜S＜4 时，△＜0，方程无实数根，此时无直线；S=4时，△=0，方程有一负根k=-12，此时有一条直线；S＞4时，△＞0，解得k=(2?S)±S2?4S4，方程有两负根，即有两条直线；综上知，0＜S＜$时有两条直线；S=4时有三条直线，S＞4时有4条直线；即0＜S＜4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有2个；S=4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有3个；S＞4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有4个．【解析】
（1）直线方程化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令求得直线L所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与x、y轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得（2k-1）2=2S|k|，讨论k＞0和k＜0时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中元素的个数．本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题．