华师大版九年级下《第27章圆》单元检测试卷（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级下《第27章圆》单元检测试卷（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 221.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-17 09:55:50 | ||
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文档简介
华师大版九年级数学下册 第27章 圆 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点P在⊙O内??????????????????????/B.?点P在⊙O上??????????????????????/C.?点P在⊙O外??????????????????????/D.?无法判断
2.下列说法正确的是
A.?相等的圆心角所对的弧相等 B.?无限小数是无理数 C.?阴天会下雨是必然事件 D.?在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k
3.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（???） /
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?80°??????????????????????????????????????/C.?90°??????????????????????????????????????/D.?100°
4.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD ＝ 6，则BE的长是（ ??） /
A.?4???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?2???????????????????????????????????????????/D.?1
5.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（?? ）
/
A.50° B.60° C.80° D.100°
6.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为
????
的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（?? ） /
A.?
1
2
???????????????????????????????????????/B.?5???????????????????????????????????????/C.?
5
3
2
???????????????????????????????????????/D.?5
3
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则
????
的长为（??? ）
/
A.
1
6
?? B.
1
3
?? C.
2
3
?? D.
2
3
3
??
8.如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ??）
/
A.?4 /???????????????????????????????????/B.?3 /???????????????????????????????????/C.?2 /???????????????????????????????????/D.?/
9.如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（ ）
A.?4个?????????????????????????????????????/B.?8个??????????????????????????????????????/C.?12个????????????????????????????????????/D.?24个
10.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则CD的值是（ ） /
A.?5?????????????????????????????????????????/B.?4?????????????????????????????????????????/C.?4.8?????????????????????????????????????????/D.?9.6
二、填空题（共10题；共30分）
11.点A(O，3)，点B(4，0)，则点O(0，0)在以AB为直径的圆________（填内、上或外）.
12.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为________．
13.圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为________（结果保留π）．
14.三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x2-14x＋48= 0的两个根，则这个三角形内切圆半径是________?.
15.如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为________． /
16.（2011?扬州）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=________ /
17.如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°，则弧AD的度数是________度
/
18.如图，⊙O中，∠AOB=110°，点C、D是/上任两点，则∠C+∠D的度数是?________°． /
19.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是________． /
20.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=________．
/
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB。 /
22.如图，在⊙O中，AB=CD.求证：AD=BC. /
23.如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME． /
24.在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线与点D，求CD的长． /
25.如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． /
（1）求证：AB+CD=AD+BC
（2）求∠AOD的度数．
26.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E． （1）求证：∠DAC=∠DCE； （2）若AB=2，sin∠D=
1
3
， 求AE的长． /
27.（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为/的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明； （2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧/的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明． /
28.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． / （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC＝6，tan∠F＝
1
2
，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定:点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）。 ∵PO=4<5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内。 故选A．
2.【答案】D
【考点】实数，圆心角、弧、弦的关系，位似变换，随机事件
【解析】【分析】根据圆周角定理以及无理数的定义和随机事件的定义和位似图形的性质分别判断得出答案即可： A、根据必须是同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故此选项错误； B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C、阴天会下雨是随机事件，故此选项错误； D、根据位似图形的性质得出：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，故此选项正确。 故选D。
3.【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 【解答】∵∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.【答案】D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OC，先求出半径和CE的长度，再利用勾股定理求出弦心距OE的长，即得结果。 如图，连接OC， / ∵AB=10， ∴半径OC=10÷2=5， ∵CD=6，AB⊥CD， CE=6÷2=3， 则????=
??
??
2
???
??
2
=4， ∴BE=OB-OE=4-3=1， 故选D． 【点评】解答本题的关键是熟练掌握半径、弦心距、半弦所构成的直角三角形的勾股定理的运用。
5.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
/
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，故答案为：D．
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，利用圆内接四边形的性质，求出∠BAD的度数，再利用圆周角定理即可解答。
6.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OA， / ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AB为弦，点C为
????
的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△OAE中，AE=
5
3
2
， ∴AB= 5
3
， 故答案为：D． 【分析】连接OC、OA，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，根据垂径定理得出OC⊥AB，在Rt△OAE中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AE的长，从而得出AB的长。
7.【答案】C
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠A=30°，AB=4，
∴∠B=60°，BC=2，
又∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴BD=BC=2，
∴弧CD长为：
60
180
·π·2=
2
3
π.
故答案为：C.
【分析】Rt△ABC中，根据三角形内角和和含30度角的直角三角形的性质可得∠B=60°，BC=2，结合题意可得BD=BC=2，根据弧长公式即可得答案.
8.【答案】C
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，作OD⊥BC交BC于点D，
/
设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，
由题意得：∠A+∠BOC=180°，
∴x+2x=180，
解得：x=60，
∴∠BOC=120°，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，
∵sin60°=
????
????
=
3
2
=
????
2
，
∴BD=
3
，
∴BC=2
3
.
故答案为：C.
【分析】如图，作OD⊥BC交BC于点D，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，又 ∠BAC与∠BOC互补 ，从而列出方程，求解得出x的值，根据等腰三角形的三线合一得出∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由∵sin60°=
????
????
即可列出方程，求解得出BD的长，进而根据垂径定理得出BC的长。
9.【答案】C
【考点】多边形的对角线，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】设正k边形满足条件，则除去k个顶点外的20﹣k个点均匀地分布在正k边形各边所对的劣弧上，于是
20???
??
=
20
??
﹣1是整数，故
20
??
是整数，但k≥3，∴k=4或5或10或20．∴正多边形的个数有
20
4
+
20
5
+
20
10
+
20
20
=12．故选C． 【分析】正多边形，每边都相等，因为有20个等分点，所以边数是20的约数．分解20=2×2×5，约数有1，2，4，5，10，20共6个，排除1和2，符合条件的正多边形共有四种：正四边形、正五边形、正十边形和正二十边形．
10.【答案】D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】设AB与CD相交点E，由题意可得：CE=DE，AC⊥BC，由此可知，AB的长，再由Rt△的面积公式即可求出CE的长，即可得DE的长，进而求出CD． ∵AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E， ∴CE=DE，AC⊥BC， ∵BC=6，AC=8， ∴AB=10， ∵S△ABC=
1
2
×AC×BC=
1
2
×CE×AB， ∴AC×BC=CE×AB， ∴CE=
????×????
????
=
24
5
， ∴DE=CE=
24
5
， ∴DC=2×
24
5
=9.6， 故选D． /
二、填空题
11.【答案】上
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A(O，3)，点B(4，0)，∴AB=
4
2
+
3
2
=5，圆心坐标为（2，1.5），∴半径=2.5，点O到圆心的距离=
2
2
+
1.5
2
=2.5=半径．故点O在圆上．故答案为：上．【分析】点A(O，3)，点B(4，0)，计算出AB，然后计算点O到圆心的距离，最后根据点与圆的位置关系进行判断。
12.【答案】2
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6， ∴BC=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
6
2
=8 ， 设这个三角形的内切圆半径为r， 由三角形的面积可得
1
2
×????×????=
1
2
×??×(????+????+????), 即 6×8=(10+8+6)?? ， 解得 ??=2 ． 故答案为:2． 【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得
??
????????
=
1
2
×????×????=
1
2
×??×(????+????+????), 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
13.【答案】3π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积=
120??
3
2
360
=3π． 故答案是：3π． 【分析】由已知条件根据由扇形的面积公式进行计算，即可得到这个扇形的面积．
14.【答案】2
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】 设三角形的另外两边分别为a、b， ∵另两边是一元二次方程的x2-14x+48=0的两个根， ∴解方程得到a=6，b=8， ∵62+82=102 ， ∴此三角形是直角三角形． ∴这个三角形内切圆半径是：
6+8?10
2
故答案为：2． 【分析】根据三角形的内切圆与内心的相关知识作答。
15.【答案】6cm
【考点】垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】解：∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AB=2BC， 在Rt△OBC中，OB=5，OC=4，∴BC=
??
??
2
???
??
2
=3, ∴AB=6， 故答案为：6cm. 【分析】根据切线的性质得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AB=2BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC的长，从而得出AB的长。
16.【答案】40°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAD=50°， ∴∠DBA=40°， ∴∠ACD=40°． 故答案为：40°． 【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
17.【答案】140
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD、OD， / ∵AB为直径， ∴∠ADB=90° ， 即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴∠BAD=∠CAD=
1
2
∠BAC=20° ， ∴∠ABD=70° ， ∴∠AOD=140° ∴弧AD的度数为140°； 故答案为：140°
【分析】连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90° ， 即AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD=
1
2
∠BAC=20°，格努三角形的内角和得出∠ABD=70° ， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOD=140°，再根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数即可得出答案。
18.【答案】110
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=110°，∴∠C=∠D=
1
2
∠AOB=55°，∴∠C+∠D=110°．故答案为110． 【分析】根据圆周角定理得到∠C=∠D=
1
2
?∠AOB=55°，然后求它们的和即可．
19.【答案】
13
﹣2≤BE＜3
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图， / 由题意知，∠AEC=90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的
????
上（不含点C、可含点N）， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点）， ∵AB=5，AC=4， ∴BC=3， 作MF⊥AB于F， ∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB， ∴△AMF∽△ABC， ∴
????
????
=
????
????
，即
????
3
=
2
5
，得MF=
6
5
， ∴AF=
??
??
2
???
??
2
=
8
5
， 则BF=AB﹣AF=
17
5
， ∴BM=
??
??
2
+??
??
2
=
13
， ∴BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′=
13
﹣2， BE最长时，即E与C重合， ∵BC=3，且点E与点C不重合， ∴BE＜3， 综上，
13
﹣2≤BE＜3， 故答案为：
13
﹣2≤BE＜3． 【分析】由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的
????
上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），作MF⊥AB于F，证△AMF∽△ABC得
????
????
=
????
????
，即可知MF=
6
5
、AF=
??
??
2
???
??
2
=
8
5
、BF=
17
5
、BM=
13
，从而得BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′=
13
﹣2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案．
20.【答案】21
【考点】正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG的面积为100，
∴正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
/
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED2=AD?BD，即102=x?y②．
解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．
故答案为：21．
【分析】连接EB、AE，OI、OJ，根据切线长定理得出CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，进而判断出四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；然后判断出△ADE∽△BDE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出ED2=AD?BD，即102=x?y②，解联立①、②组成的方程组，即可得出答案。
三、解答题
21.【答案】因为半径为25cm，CD为15cm，所以OD为10cm，连接OA，根据勾股定理可以求的AD=
25
2
?
10
2
=5
21
????cm，那么AB=10
21
????.
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.
22.【答案】证明：∵AB=CD，∴
????
=
????
， ∴
????
?
????
=
????
?
????
，即
????
=
????
? ∴ AD=BC?
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧弦的关系进行证明，同圆中等弧所对的弦相等，等弦所对的弧相等。
23.【答案】证明：连接MO ∵/ ∴∠MOD=∠MOE 又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E ∴MD=ME /
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME．
24.【答案】解：延长AB、BA分别交圆A于点E，F，如图， ∵AB=3，AC=4． ∴BC=
3
2
+
4
2
=5， ∴BE=AE﹣AB=1，BF=AF+AB=7， ∵BC?BD=BE?BF， ∴5BD=7， ∴BD=
7
5
， ∴CD=BD+BC=
7
5
+5=6
2
5
． /
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】延长AB、BA分别交圆A于点E，F，根据相交弦定理得BC?BD=BE?BF，从而求出BD，即可得出CD．
25.【答案】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）解：连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=
1
2
×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． /?
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．
26.【答案】解：（1）∵AD是圆O的切线， ∴∠DAB=90°． ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠DAC=∠B． ∵OC=OB， ∴∠B=∠OCB． 又∵∠DCE=∠OCB． ∴∠DAC=∠DCE． （2）∵AB=2， ∴AO=1． ∵sin∠D=
1
3
， ∴OD=3，DC=2． 在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=
??
??
2
???
??
2
=2
2
． ∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D， ∴△DEC∽△DCA． ∴
????
????
=
????
????
，即
2
2
2
=
????
2
． 解得：DE=
2
． ∴AE=AD﹣DE=
2
．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE； （2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2
2
， 由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE=
2
， 于是可求得AE=
2
．
27.【答案】解：（1）AB=
2
AC．理由如下： ∵AB为直径，C为/的中点， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=
2
AC； （2）AE=PB+PE．理由如下： 在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2， ∵C为劣弧/的中点，即/=/， ∴AC=BC， 在△CAF和△CBP中：
????=????
∠??????=∠??????
????=????
， ∴△CAF≌△CBP， ∴CF=CP， ∵弦CD⊥PA于E， ∴EF=EP， ∴AE=AF+EF=PB+PE． /
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和勾股定理得到AB=
2
AC； （2）在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，由/=/?得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE．
28.【答案】（1）证明：如图，连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°. ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB. 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）. ∴∠PAO="∠PBO=90°." ∴直线PA为⊙O的切线. / （2）解：EF2=4OD?OP，证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°. ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴
????
????
=
????
????
，即OA2=OD?OP. 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP. （3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=
1
2
BC=3（三角形中位线定理）. 设AD=x， ∵tan∠F=
????
????
=
1
2
，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32 ， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°. 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=
????
????
=
6
10
=
3
5
. ∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=
10
3
.
【考点】切线的判定与性质
【解析】【分析】 （1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论； （2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可； （3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD?OP，代入数据即可得出PE的长.
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点P在⊙O内??????????????????????/B.?点P在⊙O上??????????????????????/C.?点P在⊙O外??????????????????????/D.?无法判断
2.下列说法正确的是
A.?相等的圆心角所对的弧相等 B.?无限小数是无理数 C.?阴天会下雨是必然事件 D.?在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k
3.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（???） /
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?80°??????????????????????????????????????/C.?90°??????????????????????????????????????/D.?100°
4.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD ＝ 6，则BE的长是（ ??） /
A.?4???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?2???????????????????????????????????????????/D.?1
5.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（?? ）
/
A.50° B.60° C.80° D.100°
6.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为
????
的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（?? ） /
A.?
1
2
???????????????????????????????????????/B.?5???????????????????????????????????????/C.?
5
3
2
???????????????????????????????????????/D.?5
3
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则
????
的长为（??? ）
/
A.
1
6
?? B.
1
3
?? C.
2
3
?? D.
2
3
3
??
8.如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ??）
/
A.?4 /???????????????????????????????????/B.?3 /???????????????????????????????????/C.?2 /???????????????????????????????????/D.?/
9.如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（ ）
A.?4个?????????????????????????????????????/B.?8个??????????????????????????????????????/C.?12个????????????????????????????????????/D.?24个
10.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则CD的值是（ ） /
A.?5?????????????????????????????????????????/B.?4?????????????????????????????????????????/C.?4.8?????????????????????????????????????????/D.?9.6
二、填空题（共10题；共30分）
11.点A(O，3)，点B(4，0)，则点O(0，0)在以AB为直径的圆________（填内、上或外）.
12.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为________．
13.圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为________（结果保留π）．
14.三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x2-14x＋48= 0的两个根，则这个三角形内切圆半径是________?.
15.如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为________． /
16.（2011?扬州）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=________ /
17.如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°，则弧AD的度数是________度
/
18.如图，⊙O中，∠AOB=110°，点C、D是/上任两点，则∠C+∠D的度数是?________°． /
19.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是________． /
20.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=________．
/
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB。 /
22.如图，在⊙O中，AB=CD.求证：AD=BC. /
23.如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME． /
24.在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线与点D，求CD的长． /
25.如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． /
（1）求证：AB+CD=AD+BC
（2）求∠AOD的度数．
26.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E． （1）求证：∠DAC=∠DCE； （2）若AB=2，sin∠D=
1
3
， 求AE的长． /
27.（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为/的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明； （2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧/的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明． /
28.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． / （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC＝6，tan∠F＝
1
2
，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定:点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）。 ∵PO=4<5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内。 故选A．
2.【答案】D
【考点】实数，圆心角、弧、弦的关系，位似变换，随机事件
【解析】【分析】根据圆周角定理以及无理数的定义和随机事件的定义和位似图形的性质分别判断得出答案即可： A、根据必须是同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故此选项错误； B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C、阴天会下雨是随机事件，故此选项错误； D、根据位似图形的性质得出：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，故此选项正确。 故选D。
3.【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 【解答】∵∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.【答案】D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OC，先求出半径和CE的长度，再利用勾股定理求出弦心距OE的长，即得结果。 如图，连接OC， / ∵AB=10， ∴半径OC=10÷2=5， ∵CD=6，AB⊥CD， CE=6÷2=3， 则????=
??
??
2
???
??
2
=4， ∴BE=OB-OE=4-3=1， 故选D． 【点评】解答本题的关键是熟练掌握半径、弦心距、半弦所构成的直角三角形的勾股定理的运用。
5.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
/
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，故答案为：D．
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，利用圆内接四边形的性质，求出∠BAD的度数，再利用圆周角定理即可解答。
6.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OA， / ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵AB为弦，点C为
????
的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△OAE中，AE=
5
3
2
， ∴AB= 5
3
， 故答案为：D． 【分析】连接OC、OA，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，根据垂径定理得出OC⊥AB，在Rt△OAE中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AE的长，从而得出AB的长。
7.【答案】C
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠A=30°，AB=4，
∴∠B=60°，BC=2，
又∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴BD=BC=2，
∴弧CD长为：
60
180
·π·2=
2
3
π.
故答案为：C.
【分析】Rt△ABC中，根据三角形内角和和含30度角的直角三角形的性质可得∠B=60°，BC=2，结合题意可得BD=BC=2，根据弧长公式即可得答案.
8.【答案】C
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，作OD⊥BC交BC于点D，
/
设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，
由题意得：∠A+∠BOC=180°，
∴x+2x=180，
解得：x=60，
∴∠BOC=120°，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，
∵sin60°=
????
????
=
3
2
=
????
2
，
∴BD=
3
，
∴BC=2
3
.
故答案为：C.
【分析】如图，作OD⊥BC交BC于点D，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，又 ∠BAC与∠BOC互补 ，从而列出方程，求解得出x的值，根据等腰三角形的三线合一得出∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由∵sin60°=
????
????
即可列出方程，求解得出BD的长，进而根据垂径定理得出BC的长。
9.【答案】C
【考点】多边形的对角线，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】设正k边形满足条件，则除去k个顶点外的20﹣k个点均匀地分布在正k边形各边所对的劣弧上，于是
20???
??
=
20
??
﹣1是整数，故
20
??
是整数，但k≥3，∴k=4或5或10或20．∴正多边形的个数有
20
4
+
20
5
+
20
10
+
20
20
=12．故选C． 【分析】正多边形，每边都相等，因为有20个等分点，所以边数是20的约数．分解20=2×2×5，约数有1，2，4，5，10，20共6个，排除1和2，符合条件的正多边形共有四种：正四边形、正五边形、正十边形和正二十边形．
10.【答案】D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】设AB与CD相交点E，由题意可得：CE=DE，AC⊥BC，由此可知，AB的长，再由Rt△的面积公式即可求出CE的长，即可得DE的长，进而求出CD． ∵AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E， ∴CE=DE，AC⊥BC， ∵BC=6，AC=8， ∴AB=10， ∵S△ABC=
1
2
×AC×BC=
1
2
×CE×AB， ∴AC×BC=CE×AB， ∴CE=
????×????
????
=
24
5
， ∴DE=CE=
24
5
， ∴DC=2×
24
5
=9.6， 故选D． /
二、填空题
11.【答案】上
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A(O，3)，点B(4，0)，∴AB=
4
2
+
3
2
=5，圆心坐标为（2，1.5），∴半径=2.5，点O到圆心的距离=
2
2
+
1.5
2
=2.5=半径．故点O在圆上．故答案为：上．【分析】点A(O，3)，点B(4，0)，计算出AB，然后计算点O到圆心的距离，最后根据点与圆的位置关系进行判断。
12.【答案】2
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6， ∴BC=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
6
2
=8 ， 设这个三角形的内切圆半径为r， 由三角形的面积可得
1
2
×????×????=
1
2
×??×(????+????+????), 即 6×8=(10+8+6)?? ， 解得 ??=2 ． 故答案为:2． 【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得
??
????????
=
1
2
×????×????=
1
2
×??×(????+????+????), 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
13.【答案】3π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积=
120??
3
2
360
=3π． 故答案是：3π． 【分析】由已知条件根据由扇形的面积公式进行计算，即可得到这个扇形的面积．
14.【答案】2
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】 设三角形的另外两边分别为a、b， ∵另两边是一元二次方程的x2-14x+48=0的两个根， ∴解方程得到a=6，b=8， ∵62+82=102 ， ∴此三角形是直角三角形． ∴这个三角形内切圆半径是：
6+8?10
2
故答案为：2． 【分析】根据三角形的内切圆与内心的相关知识作答。
15.【答案】6cm
【考点】垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】解：∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AB=2BC， 在Rt△OBC中，OB=5，OC=4，∴BC=
??
??
2
???
??
2
=3, ∴AB=6， 故答案为：6cm. 【分析】根据切线的性质得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AB=2BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC的长，从而得出AB的长。
16.【答案】40°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAD=50°， ∴∠DBA=40°， ∴∠ACD=40°． 故答案为：40°． 【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
17.【答案】140
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD、OD， / ∵AB为直径， ∴∠ADB=90° ， 即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴∠BAD=∠CAD=
1
2
∠BAC=20° ， ∴∠ABD=70° ， ∴∠AOD=140° ∴弧AD的度数为140°； 故答案为：140°
【分析】连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90° ， 即AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD=
1
2
∠BAC=20°，格努三角形的内角和得出∠ABD=70° ， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOD=140°，再根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数即可得出答案。
18.【答案】110
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=110°，∴∠C=∠D=
1
2
∠AOB=55°，∴∠C+∠D=110°．故答案为110． 【分析】根据圆周角定理得到∠C=∠D=
1
2
?∠AOB=55°，然后求它们的和即可．
19.【答案】
13
﹣2≤BE＜3
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图， / 由题意知，∠AEC=90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的
????
上（不含点C、可含点N）， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点）， ∵AB=5，AC=4， ∴BC=3， 作MF⊥AB于F， ∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB， ∴△AMF∽△ABC， ∴
????
????
=
????
????
，即
????
3
=
2
5
，得MF=
6
5
， ∴AF=
??
??
2
???
??
2
=
8
5
， 则BF=AB﹣AF=
17
5
， ∴BM=
??
??
2
+??
??
2
=
13
， ∴BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′=
13
﹣2， BE最长时，即E与C重合， ∵BC=3，且点E与点C不重合， ∴BE＜3， 综上，
13
﹣2≤BE＜3， 故答案为：
13
﹣2≤BE＜3． 【分析】由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的
????
上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），作MF⊥AB于F，证△AMF∽△ABC得
????
????
=
????
????
，即可知MF=
6
5
、AF=
??
??
2
???
??
2
=
8
5
、BF=
17
5
、BM=
13
，从而得BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′=
13
﹣2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案．
20.【答案】21
【考点】正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG的面积为100，
∴正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
/
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED2=AD?BD，即102=x?y②．
解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．
故答案为：21．
【分析】连接EB、AE，OI、OJ，根据切线长定理得出CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，进而判断出四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；然后判断出△ADE∽△BDE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出ED2=AD?BD，即102=x?y②，解联立①、②组成的方程组，即可得出答案。
三、解答题
21.【答案】因为半径为25cm，CD为15cm，所以OD为10cm，连接OA，根据勾股定理可以求的AD=
25
2
?
10
2
=5
21
????cm，那么AB=10
21
????.
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.
22.【答案】证明：∵AB=CD，∴
????
=
????
， ∴
????
?
????
=
????
?
????
，即
????
=
????
? ∴ AD=BC?
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧弦的关系进行证明，同圆中等弧所对的弦相等，等弦所对的弧相等。
23.【答案】证明：连接MO ∵/ ∴∠MOD=∠MOE 又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E ∴MD=ME /
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME．
24.【答案】解：延长AB、BA分别交圆A于点E，F，如图， ∵AB=3，AC=4． ∴BC=
3
2
+
4
2
=5， ∴BE=AE﹣AB=1，BF=AF+AB=7， ∵BC?BD=BE?BF， ∴5BD=7， ∴BD=
7
5
， ∴CD=BD+BC=
7
5
+5=6
2
5
． /
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】延长AB、BA分别交圆A于点E，F，根据相交弦定理得BC?BD=BE?BF，从而求出BD，即可得出CD．
25.【答案】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）解：连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=
1
2
×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． /?
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．
26.【答案】解：（1）∵AD是圆O的切线， ∴∠DAB=90°． ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠DAC=∠B． ∵OC=OB， ∴∠B=∠OCB． 又∵∠DCE=∠OCB． ∴∠DAC=∠DCE． （2）∵AB=2， ∴AO=1． ∵sin∠D=
1
3
， ∴OD=3，DC=2． 在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=
??
??
2
???
??
2
=2
2
． ∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D， ∴△DEC∽△DCA． ∴
????
????
=
????
????
，即
2
2
2
=
????
2
． 解得：DE=
2
． ∴AE=AD﹣DE=
2
．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE； （2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2
2
， 由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE=
2
， 于是可求得AE=
2
．
27.【答案】解：（1）AB=
2
AC．理由如下： ∵AB为直径，C为/的中点， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=
2
AC； （2）AE=PB+PE．理由如下： 在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2， ∵C为劣弧/的中点，即/=/， ∴AC=BC， 在△CAF和△CBP中：
????=????
∠??????=∠??????
????=????
， ∴△CAF≌△CBP， ∴CF=CP， ∵弦CD⊥PA于E， ∴EF=EP， ∴AE=AF+EF=PB+PE． /
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和勾股定理得到AB=
2
AC； （2）在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，由/=/?得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE．
28.【答案】（1）证明：如图，连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°. ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB. 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）. ∴∠PAO="∠PBO=90°." ∴直线PA为⊙O的切线. / （2）解：EF2=4OD?OP，证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°. ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴
????
????
=
????
????
，即OA2=OD?OP. 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP. （3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=
1
2
BC=3（三角形中位线定理）. 设AD=x， ∵tan∠F=
????
????
=
1
2
，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32 ， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°. 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=
????
????
=
6
10
=
3
5
. ∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=
10
3
.
【考点】切线的判定与性质
【解析】【分析】 （1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论； （2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可； （3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD?OP，代入数据即可得出PE的长.