华师大九年级下《第26章二次函数》单元检测试卷（含答案解析）

华师大版九年级数学下册 第26章 二次函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.将二次函数??=
??
2
?4???1化为??=
????
2
+??的形式，结果为(????? )
A.???=
??+2
2
+5????????????/B.???=
??+2
2
?5????????????/C.???=
???2
2
+5????????????/D.???=
???2
2
?5
2.把抛物线 ??=
??
2
向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（?? ）
A.???=
(???1)
2
+3??????????????/B.???=
(??+1)
2
?3??????????????/C.???=
(???1)
2
?3??????????????/D.???=
(??+1)
2
+3
3.函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ??）
A.?1　 　????????????????????????????????????/B.?－1　????????????????????????????????????/C.?2　????????????????????????????????????/D.?－2
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P=a-b+c，则P的取值范围是（ ??）
/
A.?-1＜P＜0??????????????????????????/B.?-2＜P＜0??????????????????????????/C.?-4＜P＜-2??????????????????????????/D.?-4＜P＜0
5.
抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是?? （? ?? ）
A.?（－2，3）??????????????????????/B.?（2，3）??????????????????????/C.?（－2，－3）??????????????????????/D.?（2，－3）
6.把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（????）
A.?9?????????????????????????????????????????/B.?12?????????????????????????????????????????/C.?-14?????????????????????????????????????????/D.?10
7.在下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（　　）
A.?
??
??
=6?????????????????????????????B.?????=?6?????????????????????????????C.???+
??
2
=6?????????????????????????????D.???=?6??
8.下列关系中，是二次函数关系的是（ ? ?）
A.?当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。B.?在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。C.?圆的面积S与圆的半径r之间的关系。D.?正方形的周长C与边长a之间的关系。
9.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>
1
2
?；④b<1.其中正确的结论是（　　）/
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论的个数是（?? ）/
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（共10题；共30分）
11.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．
12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=（x-h）2 +k的形式，则y=________．
13.已知抛物线 ??=2
??
2
?????+3 的对称轴是直线 ??=1 ，则 ?? 的值为________．
14.将函数 ??=?
??
2
所在的坐标系先向左平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，则函数在新坐标系中的函数关系式是________．
15.把抛物线y=x2 向右平移3个单位，再向下平移1个单位，则得到抛物线________．
16.如图．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），根据图象能使y1＞y2成立的x取值范围是________． /
17.张力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h（m）与水平距离x（m）的关系式为h=﹣
1
48
x2+
46
48
x+2，则大力同学投掷标枪的成绩是________m．
18.已知点 ?? ? (?3,??) 和点 ?? ? (1,??) 是抛物线 ??=2
??
2
+????+3 图象上的两点，则 ?? =________.
19.二次函数y=ax/+bx+c的图像如图所示,则不等式ax/+bx+c＞0的解集是________?．/
20.二次函数 ??=??
??
2
+????+??(??≠0) 的部分图像如图所示，图像过点 (?1,0) ，对称轴为直线 ??=2 ，下列结论：（1） 4??+??=0 ；（2） 9??+??>3?? ；（3）若点 ??(?3,
??
1
) 、点 ??(?
1
2
,
??
2
) 、点 ??(
7
2
,
??
3
) 在该函数图像上，则
??
1
<
??
3
<
??
2
；（4）若方程 ??(??+1)(???5)=?3 的两根为
??
1
和
??
2
，且
??
1
<
??
2
，则
??
1
??
2
．其中正确结论的序号是________./
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，2），（3，2），（2，3）．（1）请在图中画出△ABC向下平移3个单位的像△A′B′C′；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．/
22.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． /
23.已知抛物线y=x2+(m+4)x-2(m+6)（m是常数，m≠-8）与x轴有两个不同的交点A、B，点A、点B关于直线x=1对称，抛物线的顶点为C.（1）此抛物线的解析式；（2）求点A、B、C的坐标.
24.向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为y(m)，运行时间为x(s)，y与x之间存在的关系为y＝－
1
2
x2＋3x＋2.问：小球能达到的最大高度是多少？
25.（1）已知y=（m2+m）
??
??
2
?2???1
+（m﹣3）x+m2是x的二次函数，求出它的解析式．（2）用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值．
26.永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价） （1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？
27.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？/
28.如图，直线 ??=???4 与 ?? 轴、 ?? 轴分别交于 ?? 、 ?? 两点，抛物线 ??=
1
3
??
2
+????+?? 经过 ?? 、 ?? 两点，与 ?? 轴的另一个交点为 ?? ，连接 ???? ．
/
（1）求抛物线的解析式及点 ?? 的坐标；
（2）点 ?? 在抛物线上，连接 ???? ，当 ∠??????+∠??????=
45
°
时，求点 ?? 的坐标；
（3）点 ?? 从点 ?? 出发，沿线段 ???? 由 ?? 向 ?? 运动，同时点 ?? 从点 ?? 出发，沿线段 ???? 由 ?? 向 ?? 运动， ?? 、 ?? 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 ?? 点到达 ?? 点时， ?? 、 ?? 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ?? ，使 ?? 、 ?? 运动过程中的某一时刻，以 ?? 、 ?? 、 ?? 、 ?? 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 ?? 的坐标；若不存在，说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】??=
??
2
?4???1=
???2
2
?5．故选D．
2.【答案】D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线 ??=
??
2
先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为 ??=
(???1)
2
，抛物线 ??=
(???1)
2
再向上平移3个单位所得抛物线的解析式为 ??=
(???1)
2
+3 ，故答案为：D.【分析】根据函数图象平移的法则即可得到结果.
3.【答案】D
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】此函数的最小值，在x=-1时，y=-2，此时取最小值。故选D.【点评】二次函数的解析式有三种形式：（1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数)；（2)顶点式：y=a（x-h)2+k；（3)交点式（与x轴)：y=a（x-x1)（x-x2)．
4.【答案】D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0
∵对称轴在y轴的左边，∴ ?
??
2??
＜0。∴b＞0
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0
∴a=2﹣b，b=2﹣a；
∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0
∴a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∴0＜2a＜4
∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0.
故答案为：D.
【分析】将（0，﹣2），（1，0）代入二次函数可得c=-2，a+b﹣2=0，可将b=2﹣a代入（或将a=2-b代入）P=a-b+c=2a-4，则可得P是关于a的一次函数，要求P的取值范围，则需要求a取值范围；观察二次函数的图象可得a＞0,且?
??
2??
<0，则b<0，即2-a<0，求出a的取值范围后再求P的范围。
5.【答案】A
【考点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】y=-（x+2)2-3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2，-3)．故答案为C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h)2+k，顶点坐标是（h，k)，对称轴是x=h．
6.【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】先化解析式y=x2-2x+3为顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可.y=x2-2x+3=(x-1)2+2则把抛物线y=(x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的解析式为y=(x+2)2+4=x2+4x+8所以b=4,c=8,b+c=12故选B.
7.【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、
??
??
=6，可化为y=
1
6
x的形式，不符合二次函数的一般形式，故本选项错误；B、xy=﹣6符合反比例函数的一般形式，不符合二次函数的一般形式，故本选项错误；C、y+x2=6可化为y=-x2+6，符合二次函数的一般形式，故本选项正确；D、y=﹣6x符合正比例函数的一般形式，不符合二次函数的一般形式，故本选项错误．故选C．【分析】根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
8.【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意，A的解析式为 /，B的解析式为 /，C的解析式为 /，D的解析式为 /，唯有B是二次函数关系，故选C．【分析】能够运用实际问题的意义列出正确的解析式，并进行分析判断是否是二次函数，要根据二次函数的定义的基本要求．
9.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】由图象可知a＞0，b＞0，c＜0；再由特殊点可以判定对错．
【解答】由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0；故①错误；由（1，2)代入抛物线方程可得a+b+c=2；故②正确；当x=-1时y＜0，即a-b+c＜0（1)，由②a+b+c=2可得：c=2-a-b（2)，把（2)式代入（1)式中得：b＞1；故④错误；∵对称轴公式-
??
2??
＞-1，∴2a＞b，∵b＞1，∴2a＞1，即a＞
1
2
；故③正确．故选B．
10.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
??
2??
?=1， ∴b=﹣2a，即2a+b=0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故选B．【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=﹣
??
2??
?=1，则可对①进行判断；利用x=﹣1时，函数值为负数可对②进行判断；通过求出点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点为（4，0）可对③进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b=﹣2a＜0，再由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对④进行判断．
二、填空题
11.【答案】﹣2
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+4x+5可化为y=（x+2）2+1， ∴当x=﹣2时，二次函数y=x2+4x+5有最小值．故答案为：﹣2．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
12.【答案】??=
(???1)
2
+2
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】y=
??
2
?2??+3 ?=（
??
2
?2??+1 ）+2= （???1
）
2
+2．故答案为 ??=
(???1)
2
+2 ．
【分析】将二次函数的一般式配方成顶点式。
13.【答案】b=4
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由抛物线的对称轴x=-
??
2??
和已知条件抛物线y=2
??
2
-bx+3的对称轴是直线x=1，得到的等式，即可求出b的值．
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式建立方程，求解即可求出b的值。
14.【答案】??=?
(???2)
2
+3
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】坐标系移动，等同于函数向相反的方向移动，则可得移动后函数为： ??=?
(???2)
2
+3 ，故答案为： ??=?
(???2)
2
+3 .【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
15.【答案】y=（x﹣3）2﹣1
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2向右平移3个单位，得：y=（x﹣3）2； 再向下平移1个单位，得：y=（x﹣3）2﹣1．故答案是：y=（x﹣3）2﹣1．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
16.【答案】x＜﹣2或x＞8
【考点】二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】解：∵A（﹣2，4）、B（8，2）， ∴不等式ax2+bx+c＞kx+m成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．故答案为x＜﹣2或x＞8．【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可
17.【答案】48
【考点】因式分解法解一元二次方程，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵h=﹣
1
48
x2+
46
48
x+2，∴当h=0时，0=﹣
1
48
x2+
46
48
x+2，解得，x1=﹣2，x2=48，即大力同学投掷标枪的成绩是48m，故答案为：48．【分析】先根据h=0时，建立关于x的方程求解，即可得出答案。
18.【答案】b＝4
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】把A(-3,m)和点B(1,m)代入y=2x2+bx+3得： {
??=2×9?3??+3
??=2+??+3
，解得：b=6
【分析】把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，求出b的值.
19.【答案】﹣3＜x＜1
【考点】二次函数的图象，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】由图可知,一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣3＜x＜1．故答案是﹣3＜x＜1．【分析】考查二次函数与不等式（组）．
20.【答案】（1）（4）
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】：∵抛物线的对称轴为直线x=-
??
2??
=2，∴b=-4a＞0，即4a+b=0，所以（1）正确；∵x=-3时，y＜0，∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以（2）错误；∵抛物线的对称轴为直线x=-
??
2??
=2，图象与x轴交于（-1，0），∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），∵点A（-3，y1）、点B（-
1
2
，y2）、点C（
7
2
，y3），∵
7
2
-2=
3
2
，2-（-
1
2
）=
5
2
，∴
3
2
＜
5
2
∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2 ， ∵a＜0，-3＜-
1
2
＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3 ， 故（3）错误．如图，/∵a＜0，∴（x+1）（x-5）=-3/a＞0，即（x+1）（x-5）＞0，故x＜-1或x＞5，故（4）正确．【分析】由抛物线的对称轴直线，得到4a+b=0，图象与x轴交于（-1，0），得到抛物线x轴的另一个交点，由已知得到点C离对称轴的距离近，得到y3＞y2 ， 由a＜0，得到y1＜y2＜y3.
三、解答题
21.【答案】（1）如图：/（2）由题意得A′，B′，C′的坐标分别是（0，﹣1），（3，﹣1），（2，0），设过点A′、B′、C′的二次函数的关系式为y=ax2+bx+c，则有
??=?1
9??+3??+??=?1
4??+2??+??=0
，解得??=?
1
2
,??=
3
2
,??=?1，∴二次函数的关系式为??=?
1
2
??
2
+
3
2
???1．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接作出图形即可，（2）根据题意写出A′，B′，C′的坐标，设过点A′，B′，C′的二次函数的关系式为y=ax2+bx+c，解方程组求出a、b、c的之即可．
22.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： /?=（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
23.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+(m+4)x-2(m+6)（m为常数，m≠-8））的对称轴为x=?
??+4
2
，而抛物线与x轴有两个不同的交点A、B，点A、点B关于直线x=1对称，∴x=?
??+4
2
=1，解得m=-6.∴所求抛物经的解析式为y=x2-2x.（2）当y=0时，x2-2x=0，解得x1=0，x2=2.又y=x2-2x=（x-1）2-1，∴点A、B、C的坐标．分别为（0，0），（2，0），（1，-1）．
【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】（1）根据已知条件知，该抛物线的对称轴是x=1，然后利用抛物线对称轴方程列出关于m的方程/， 则易求m的值；（2）根据（1）中的函数解析式知，分别求当x=0，y的值；当y=0时，x的值．
24.【答案】解：∵a＝－
1
2
<0，∴y有最大值．当x＝－
3
2×(?
1
2
)
＝3时，y最大＝
4×(?
1
2
)×2?
3
2
4×(?
1
2
)
＝
13
2
，即小球能达到的最大高度是
13
2
m.
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据a的值可得出y有最大值，将函数解析式配方成顶点式（或代入顶点公式），就可求出答案。
25.【答案】解：（1）由题意可得：/， 解①得：m1=3，m2=﹣1，由②得：m≠0且m≠﹣1，∴m=3，∴y=12x2+9；（2）y=﹣x2+5x﹣7=﹣（x2﹣5x+
25
4
﹣
25
4
）﹣7=﹣（x﹣
5
2
）2+
25
4
﹣7=﹣（x﹣
5
2
）2﹣
3
4
． ，顶点坐标为：（
5
2
， ﹣
3
4
），有最大值为：﹣
3
4
．
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出方程与不等式求出即可；（2）利用配方法求出其顶点坐标即可．
26.【答案】（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）
（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元．
答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元．
（3）解：周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，
由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，
解得：x1=25，x2=43，
∵销售单价不得高于30元，
∴x取25，
答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每只节能灯的利润为：（x﹣18）元，根据总利润等于单只的利润乘以销售数量y，而y=﹣2x+100，再整体替换即可列出W与x之间的函数关系式；（2）根据（1）列函数解析式的性质即可得出答案；（3）将W=350代入（1）列函数解析式，解方程，求出对应的x的值，再根据销售单价不得高于30元检验，即可得出答案。
27.【答案】解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，∴∠HDQ=∠A，∴△DHQ∽△ABC．（2）①如图1，当03
4
x，此时y=
1
2
(10-4x)×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
4
x.．当x=
5
4
时，最大值y=
75
32
．②如图2，当2.53
4
x，此时y=
1
2
(4x-10)×
3
4
x=
3
2
x2-
15
4
x.．当x=5时，最大值y=
75
4
．∴y与x之间的函数解析式为y=
?
3
2
??
2
+
15
4
??
03
2
??
2
?
15
4
??
2.5y的最大值是
75
4
．//（3）①如图1，当0????
cos∠??
=
5
4
x， DE=10-4x，∴10-4x=
5
4
x，x=
40
21
．显然ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当2.55
4
x，x=
40
11
；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴
????
????
=
????
????
，
4???10
5
4
??
=
5
4
??
2??
，x=
320
103
．?∴当x的值为
40
21
,
40
11
,5,
320
103
,时，△HDE是等腰三角形
【考点】二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两个对应角相等，满足了两个三角形相似的条件。（2）根据函数解析式可以求得函数最大值。
28.【答案】（1）解：直线解析式 ??=???4 ，令 ??=0 ，得 ??=?4 ；令 ??=0 ，得 ??=4 ．∴ ??(4,?0) 、 ??(0,??4) ．∵点 ?? 、 ?? 在抛物线 ??=
1
3
??
2
+????+?? 上，∴ {
16
3
+4??+??=0
??=?4
，解得 {
??=?
1
3
??=?4
，∴抛物线解析式为： ??=
1
3
??
2
?
1
3
???4 ．令 ??=
1
3
??
2
?
1
3
???4=0 ，解得： ??=?3 或 ??=4 ，∴ ??(?3,?0) ．（2）解： ∠??????+∠??????=
45
°
，设 ??(??,???) ，①当 ????⊥???? 时，如答图 2?1 所示．/∵ ∠??????=
45
°
，∴ ∠??????+∠??????=
45
°
，故点 ?? 满足条件．过点
??
1
作
??
1
??⊥?? 轴于点 ?? ，则
??
1
??=?? ， ????=??? ，∴ ????=4+?? ．∵ tan∠
??
1
????=tan∠??????=
4
3
，∴
??
4+??
=
4
3
，∴直线 ??
??
1
的解析式为： ??=
3
4
???4 ．联立 ??=
3
4
???4 与 ??=
1
3
??
2
?
1
3
???4 ，得：
3
4
???4=
1
3
??
2
?
1
3
???4 ，解得：
??
1
=0 ，
??
2
=
13
4
，∴
??
1
=?4 ，
??
2
=?
25
16
，∴
??
1
(
13
4
,??
25
16
) ；②当 ???? 与 ???? 关于 ?? 轴对称时，如答图 2?2 所示．/∵ ∠??????=∠??????+∠??????=
45
°
， ∠??????=∠?????? ，∴ ∠??????+∠??????=
45
°
，故点 ?? 满足条件．过点
??
2
作
??
2
??⊥?? 轴于点 ?? ，则
??
2
??=?? ， ????=?? ，∴ ????=4+?? ．∵ tan∠
??
2
????=tan∠??????=
3
4
，∴
??
4+??
=
3
4
，∴直线 ??
??
2
的解析式为： ??=
4
3
???4 ．联立 ??=
4
3
???4 与 ??=
1
3
??
2
?
1
3
???4 得：
4
3
???4=
1
3
??
2
?
1
3
???4 ，解得：
??
1
=0 ，
??
2
=5 ，∴
??
1
=?4 ，
??
2
=
8
3
，∴
??
2
(5,?
8
3
) ．综上所述，满足条件的点 ?? 的坐标为： (
13
4
,??
25
16
) 或 (5,?
8
3
)（3）解：设 ∠??????=?? ，则 tan??=
4
3
， sin??=
4
5
， cos??=
3
5
．假设存在满足条件的点 ?? ，设菱形的对角线交于点 ?? ，设运动时间为 ?? ．①若以 ???? 为菱形对角线，如答图 3?1 ．此时 ????=?? ，菱形边长 =?? ．/∴ ????=
1
2
????=
1
2
(5???) ．在 ????△?????? 中， cos??=
????
????
=
1
2
(5???)
??
=
3
5
，解得 ??=
25
11
．∴ ????=5???=
30
11
．过点 ?? 作 ????⊥?? 轴于点 ?? ，则 ????=?????sin??=
24
11
， ????=?????cos??=
18
11
，∴ ????=3?????=
15
11
．∴ ??(?
15
11
,??
24
11
) ．∵点
??
1
与点 ?? 横坐标相差 ?? 个单位，∴
??
1
(?
40
11
,??
24
11
) ；②若以 ???? 为菱形对角线，如答图 3?2 ．此时 ????=?? ，菱形边长 =?? ．?? /∵ ????=????=?? ，∴ ??=
5
2
，点 ?? 为 ???? 中点，∴ ??(?
3
2
,??2) ．∵点
??
2
与点 ?? 横坐标相差 ?? 个单位，∴
??
2
(1,??2) ；③若以 ???? 为菱形对角线，如答图 3?3 ．此时 ????=?? ，菱形边长 =5??? ．/在 ????△?????? 中， cos??=
????
????
=
1
2
??
5???
=
3
5
，解得 ??=
30
11
．∴ ????=3?????=3?
1
2
??=
18
11
，
??
3
??=????=?????sin??=(5?
30
11
)×
4
5
=
20
11
．∴
??
3
(?
18
11
,?
20
11
) ．综上所述，存在满足条件的点 ?? ，点 ?? 坐标为： (?
40
11
,??
24
11
) 或 (1,??2) 或 (?
18
11
,?
20
11
) ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B两点的坐标，将A,B两点的坐标分别代入抛物线 y=
1
3
x2+bx+c得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴交点的纵坐标是0，将y=0代入抛物线的解析式，楸树对应的自变量的值，从而求出C点的坐标；（2）设 M ( x , ? y )①当BM⊥BC 时，如答图 2 ? 1 所示．根据等腰直角三角形的性质及垂直的定义得出∠MBA+∠CBO=45° ，故点 M 满足条件，过点 M1 作M1E⊥y轴于点E ，则M1E=x ， OE=?y 进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出 tan∠M1BE=tan∠BCO=
4
3
， 根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM1 的解析式，解联立直线BM 1 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M1的坐标；②当 BM与BC关于y轴对称时，如答图 2 ? 2 所示．根据根据角的和差及对称的性质得出∠ABO=∠MBA+∠MBO=45° ， ∠MBO=∠CBO ，故∠MBA+∠CBO=45° ，故点 M 满足条件过点 M2 作 M2E⊥y 轴于点 E ，则M2E=x ， OE=?y 进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出 tan∠M2BE=tan∠CBO=
3
4
， 根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM2 的解析式，解联立直线BM2 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M2的坐标，综上所述即可得出M点的坐标；（3）设 ∠BCO=θ ，则 tanθ=?
4
3
， sinθ=?
4
5
， cosθ=
3
5
． 假设存在满足条件的点 D ，设菱形的对角线交于点 E ，设运动时间为 t ．①若以 CQ为菱形对角线，如答图 3 ? 1 ．此时 BQ=t ，菱形边长=t ，根据菱形的对角线互相平分得出 CE=
1
2
CQ=
1
2
(5?t) ，根据余弦函数的定义，由cosθ=
????
????
,即可列出方程，求解得出t的值，进而得出CQ的值，过点Q作QF⊥x 轴于点 F，则 QF=CQ ? sinθ， CF=CQ ? cosθ，分别计算出QF,CF的长，进而得出OF的长，从而得出Q点的坐标，根据点 D1与点Q横坐标相差 t 个单位即可得出D1的坐标；②若以PQ为菱形对角线，如答图 3 ? 2 ．此时 BQ=t ，菱形边长=t，根据线段中点坐标公式，由点 Q为BC中点得出Q点的坐标，根据点 D2与点Q横坐标相差 t 个单位即可得出D1的坐标；③若以CP为菱形对角线，如答图 3 ? 3 ．此时BQ=t ，菱形边长=5?t．根据cosθ =
????
????
列出方程，求解得出t的值，进而求出OE, 由 D3E=QE=CQ ? sinθ，从而得出D3的坐标，综上所述即可得出答案。