上海市闵行区2019届高三上学期期末质量调研数学试题（WORD版）

闵行区2019届高三期末质量调研
数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知全集，集合，则
2.
3. 若复数满足（是虚数单位），则
4. 方程的解为
5. 等比数列中，，，则
6. 的展开式中项的系数为 （用数字作答）
7. 已知两条直线和，则与的距离为
8. 已知函数，的值域为，
则的取值范围是
9. 如图，在过正方体的任意两个顶点的
所有直线中，与直线异面的直线的条数为
10. 在△中，角、、的对边分别为、、，
面积为，且，则
11. 已知向量，，且，若向量满足
，则的最大值为
12. 若无穷数列满足：，当，时，（其中表示中的最大项），有以下结论：
① 若数列是常数列，则（）；
② 若数列是公差的等差数列，则；
③ 若数列是公比为的等比数列，则；
④ 若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项.
则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若、为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，，∥，则下
列结论不可能成立的是（ ）
A. ，且∥ B. ，且∥
C. ∥，且∥ D. 与、都相交
15. 已知函数（，，）与其反函数有交点，则下列结论
正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的大小关系不确定
16. 在平面直角坐标系中，已知向量，是坐标原点，是曲线上
的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点.
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.


18. 已知抛物线（）.
（1）若上一点到其焦点的距离为3，求的方程；
（2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原
点，，求点M的坐标.



19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、.
（1）请你帮老张确定、、的值，并写出ABC段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，
那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？




20. 对于函数，若函数是增函数，则称函数具有
性质A.
（1）若，求的解析式，并判断是否具有性质A；
（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；
（3）若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数.










21. 对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为
“拟等比数列”.
（1）已知，，且，若数列和满足：，，且
，；
① 若，求的取值范围；
② 求证：数列是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，
，且是“拟等比数列”，求的取值范围. （请用，d表示）


























数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．；8．；9．； 10．； 11．；12．①②③④.
二. 选择题 13．B； 14．D； 15．B； 16．A．
三. 解答题
17．[解] （1） ………6分
（2）取的中点，联结，则，
所以（或其补角）是异面直线与所成的角．…8分
在中，，，
所以．………12分
所以与所成的角的大小为． …………14分
18．[解] （1）由条件知, ………………4分
所以的方程为. ………………………6分
（2）设点的坐标分别为、，，
则直线的方程为； ………………………8分
， ………………………10分
………………………12分
，
所以点的坐标为. ………………………14分
19．[解] （1）因为两点关于直线对称，所以点的坐标为，……2分
又点恰在平衡位置，为最低点，得…4分
将代入解析式可得：
，∴， …………………………6分
再结合点是最低点，可得.
∴段的解析式为 ……………………8分
（2）由对称性得，段的解析式为：
，…10分
若股价至少是买入价的两倍，则
………………………………12分
解得
所以买入16天后，股价至少是买入价的两倍. …………………………14分
20．[解] (1) ……2分
而在上是增函数，
所以是否具有性质. ………………………………4分
(2)假命题. ………………………………6分
如函数是减函数， ………………………………8分

函数在上单调递增，∴具有性质．
∴命题是假命题. ………………………………10分
(3) ，
因为函数具有性质，
所以 ． ………………………………12分
，由得
或
或或． …………………14分
设，则
由函数的图像可知
当时，，无解；
当时，， ；
当时，，在上有两个解；
综上所述：当时，在区间上零点的个数为2；
当时，在区间上零点的个数为3；
当时，在区间上零点的个数为4．………………16分
21．[解] （1）①∵，且，，∴，
∴， ……………………………………4分
②依题意得：
所以，当时，，……………6分
所以对任意，都有
， ………………8分
即存在，使得，
∴数列是“拟等比数列”．……………………………………10分
（2） …………………12分

由可知，从而解得， …………………14分
又是“拟等比数列”，故存在，使得
当时，，

由，
由图像可知在时递减，
故； ………………………16分
当时，，

由，
由图像可知在时递减，故；
由可得，此时的取值范围是 ………………………18分



y

t



1

y=k

t1



x

O

t=t1

t

1

x1

x2

O