第三章函数 第15节 二次函数应用
■知识点一： 二次函数的应用
(1)利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■知识点二：二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2018年甘肃省兰州）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．
解：（1）由题意可知y=2x+40；
（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a=﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x=20时，w有最大值为3200元，
∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．
◆变式训练
（2018年河南省）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2018年浙江省舟山）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1，
∴点M在直线y=4x+1上；
（2）如图1，
直线y=mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2，
二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，
当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y=﹣x+5，
联立EF，AB得
方程组，
解得，
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴b=，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，
②当b=时，y1=y2，
③当＜b＜时，y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
◆变式训练
（2018年浙江省丽水）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
选择题
1.（2018年北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
填空题
（2018年广西贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
（2018年湖北省武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
（2018年辽宁省沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大．
解答题
（2018年四川省甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
（2018年湖北省荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
（2018年湖北省黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
（2018年湖北省襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m= ，n= ；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
（2018年湖南省衡阳）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2018年浙江省温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．
（1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．
一、 选择题
（2018年四川省巴中卷）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
（2018年江苏省连云港卷）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
二、 、填空题
（2018年四川省绵阳卷）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
三、 、解答题
（2018年浙江省绍兴卷）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；
（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．
（2018年江苏省淮安卷）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
（2018年江苏省扬州卷）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
（2018年山东省青岛卷）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
（2018年山东省滨州卷）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
（2018年辽宁省抚顺卷）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（2018年湖北省江汉油田中考数学试卷）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
（2018年四川省眉山卷）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（2018年浙江省衢州卷 ）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
（2018年浙江省温州卷）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
15
乙
x
x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
（2018年浙江省台州卷）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．
（2018年浙江省嘉兴卷）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
第三章函数 第15节 二次函数应用
■知识点一： 二次函数的应用
(1)利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■知识点二：二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2018年甘肃省兰州）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．
解：（1）由题意可知y=2x+40；
（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a=﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x=20时，w有最大值为3200元，
∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．
◆变式训练
（2018年河南省）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．
解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，
当x=115时，y=﹣5×115+600=25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，
w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，
当x=90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．
■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2018年浙江省舟山）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1，
∴点M在直线y=4x+1上；
（2）如图1，
直线y=mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2，
二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，
当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y=﹣x+5，
联立EF，AB得
方程组，
解得，
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴b=，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，
②当b=时，y1=y2，
③当＜b＜时，y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
◆变式训练
（2018年浙江省丽水）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10﹣2t，再由x=t时AD=﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．
解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），
∵当t=2时，AD=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣，
抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，
∴AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣t2+t，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）
=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]
=﹣t2+t+20
=﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，
当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，
当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，
∵AB∥CD，
∴线段OD平移后得到的线段GH，
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，
在△OBD中，PQ是中位线，
∴PQ=OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
选择题
1.（2018年北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【考点】二次函数的应用
【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x=﹣==15（m）．
故选：B．
【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
填空题
2.（2018年广西贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
【考点】二次函数的应用
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解：设利润为w元，
则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
3.（2018年湖北省武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
【考点】二次函数的应用
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t=16时，y=576，
所以600﹣576=24（米）
故答案是：24．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
4.（2018年辽宁省沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．
解：（1）设AB=xm，则BC=（900﹣3x），
由题意可得，S=AB×BC=x×（900﹣3x）=﹣（x2﹣300x）=﹣（x﹣150）2+33750
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，
∴AB=150m，
故答案为：150．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．
解答题
5.（2018年四川省甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y=（128+8x）（100﹣x﹣80）=﹣8x2+32x+2560，
即y与x之间的函数解析式是y=﹣8x2+32x+2560；
（2）∵y=﹣8x2+32x+2560=﹣8（x﹣2）2+2592，
∴当x=2时，y取得最大值，此时y=2592，
∴销售单价为：100﹣2=98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
6.（2018年湖北省荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
解：（1）依题意得，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
7.（2018年湖北省黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10
（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；
（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；
（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式，本题得以解决；
（2）根据题目中的解析式和（1）中的解析式可以解答本题；
（3）根据（2）中的解析式可以求得各段的最大值，从而可以解答本题．
解；（1）当1≤x≤9时，设每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z=kx+b，
，得，
即当1≤x≤9时，每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z=﹣x+20，
当10≤x≤12时，z=10，
由上可得，z=；
（2）当1≤x≤8时，
w=（x+4）（﹣x+20）=﹣x2+16x+80，
当x=9时，
w=（﹣9+20）×（﹣9+20）=121，
当10≤x≤12时，
w=（﹣x+20）×10=﹣10x+200，
由上可得，w=；
（3）当1≤x≤8时，w=﹣x2+16x+80=﹣（x﹣8）2+144，
∴当x=8时，w取得最大值，此时w=144；
当x=9时，w=121，
当10≤x≤12时，w=﹣10x+200，
则当x=10时，w取得最大值，此时w=100，
由上可得，当x为8时，月利润w有最大值，最大值144万元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
（2018年湖北省襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m= ，n= ；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．
解：（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得
32=12m﹣76m
解得m=﹣
当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n
则n=25
故答案为：m=﹣，n=25
（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16
当1≤x＜20时
W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968
∴当x=18时，W最大=968
当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112
∵28＞0
∴W随x的增大而增大
∴当x=30时，W最大=952
∵968＞952
∴当x=18时，W最大=968
（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870
解得x1=25，x2=11
∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下
∴11≤x≤25时，W≥870
∴11≤x＜20
∵x为正整数
∴有9天利润不低于870元
当20≤x≤30时，令28x+112≥870
解得x≥27
∴27≤x≤30
∵x为正整数
∴有3天利润不低于870元
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．
（2018年湖南省衡阳）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣x+40）
=﹣x2+50x﹣400
=﹣（x﹣25）2+225，
∵a=﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
（2018年浙江省温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．
（1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点
【分析】（1）根据直线y=2x求得点M（2，4），由抛物线的对称轴及抛物线上的点M的坐标列出关于a、b的方程组，解之可得；
（2）作PH⊥x轴，根据三角形的面积公式求得S=﹣m2+4m，根据公式可得K的解析式，再结合点P的位置得出m的范围，利用一次函数的性质可得答案．
解：（1）将x=2代入y=2x，得：y=4，
∴点M（2，4），
由题意，得：，
∴；
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
∴PH=﹣m2+4m，
∵B（2，0），
∴OB=2，
∴S=OB?PH
=×2×（﹣m2+4m）
=﹣m2+4m，
∴K==﹣m+4，
由题意得A（4，0），
∵M（2，4），
∴2＜m＜4，
∵K随着m的增大而减小，
∴0＜K＜2．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点．
一、 选择题
（2018年四川省巴中卷）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【考点】二次函数的应用
【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
B、根据函数图象判断；
C、根据函数图象判断；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求得结论．
解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣，
∴y=﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
（2018年江苏省连云港卷）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【考点】二次函数的应用
【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．
解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t=10时h=141m，此选项错误；
D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
二、 、填空题
（2018年四川省绵阳卷）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2=﹣0.5x2+2，
解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
三、 、解答题
（2018年浙江省绍兴卷）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；
（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据图2判断出绘制直线，根据两点间的距离公式可得答案；
（2）根据图2判断出绘制抛物线，利用待定系数法求解可得．
解：（1）∵P1（4，0），P2（0，0），4﹣0=4＞0，
∴绘制线段P1P2，P1P2=4；
（2）∵P1（0，0），0﹣0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x﹣4），
把（6，6）代入得：6=12a，
解得：a=，
∴y=x（x﹣4）=x2﹣2x．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是看图2的判断条件及待定系数法求函数解析式．
（2018年江苏省淮安卷）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
（2018年江苏省扬州卷）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）?y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
（2018年山东省青岛卷）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用
【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；
解：（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．
（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
（2018年山东省滨州卷）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（2018年辽宁省抚顺卷）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
解：（1）y=300﹣10（x﹣44），
即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，
解得x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．
（2018年湖北省江汉油田中考数学试卷）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴，解得：，
∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；
（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；
当130≤x≤180时，y2=54；
当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，
∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），
∴，解得，
∴当50＜x＜130时，y2=﹣x+80．
综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；
（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50＜x＜130时，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，
∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
（2018年四川省眉山卷）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，，
解得，
∴p=0.1x+1，
①0≤x≤6时，w=（4﹣2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；
②6＜x≤10时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
③10＜x≤20时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240，
∵a=﹣2＜0，
∴当x=﹣=13时，w最大=578（元）；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
（2018年浙江省衢州卷 ）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，
解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，
解得：x1=﹣1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
（2018年浙江省温州卷）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
15
乙
x
x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；
（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．
解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）130﹣2x件．在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）=130﹣2x．
故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x
（2）由题意
15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550
∴x2﹣80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130﹣2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元．
（3）设生产甲产品m人
W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m）
=﹣2（x﹣25）2+3200
∵2m=65﹣x﹣m
∴m=
∵x、m都是非负数
∴取x=26时，m=13，65﹣x﹣m=26
即当x=26时，W最大值=3198
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．
【点评】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．
（2018年浙江省台州卷）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；
②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．
解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，
将A（8，10）、B（24，26）代入，得：
，
解得：，
∴P=t+2；
（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240；
当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；
当12＜t≤24时，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88；
②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2，
∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当2（t+3）2﹣2=336时，解题t=10或t=﹣16（舍），
当t=12时，w取得最大值，最大值为448，
此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；
当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529，
当t=12时，w取得最小值448，
由﹣（t﹣21）2+529=513得t=17或t=25，
∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；
综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题的关键．
（2018年浙江省嘉兴卷）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1，
∴点M在直线y=4x+1上；
（2）如图1，
直线y=mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2，
二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，
当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y=﹣x+5，
联立EF，AB得
方程组，
解得，
∴点E（，），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜
∴0＜b＜．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴b=，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，
②当b=时，y1=y2，
③当＜b＜时，y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
