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29.1投影（2）
学习目标：
1、了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
2、培养动手实践能力及空间想象能力．
3、学会观察，理解原理，增强自信心．
学习重点：
理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
学习难点：
归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
学习过程：
一、新知引入
1.什么叫投影?
一般地,用__________照射物体,在________________上得到的影子叫做物体的投影.
2.投影的分类:
由______________形成的投影是平行投影(例如太阳光,探照灯光),由______________形成的投影是中心投影(例如灯泡)
二、新知讲解
问题1. 图中的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
●归纳：在平行投影中，如果投射线______投影面，那么这种投影就称为____；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为_____．
问题2. 通过学习，我们对投影应如何分类？
物体投影
探究1.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是_______.
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是________.
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个_____
探究2.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面；
(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面．
结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影是_______.
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影是_______.
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影是一条_______.
例题讲解：
例、 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
巩固练习：
1．三角形的正投影是（ ）
A．三角形 B．线段
C．直线或三角线 D．线段或三角形
2．一个几何体在一个投影面上的正投影是一个矩形，这个几何体一定是长方体吗？
3.如图所示的三幅投影中，哪幅投影是正投影？
4.如图所示的两个图形都是画出一个圆柱体的正投影，试判断正误，并说明原因.
5.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（ ）
6.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影
解：
7.画出如图摆放的物体（正六棱柱）的正投影：
（1）投影线由物体前方射入到后方；
（2）投影线由物体左方射入到右方；
（3）投影线由物体上方射入到下方.
探究3.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面； (2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影大小有什么变化？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，线段与它的投影的大小关系为AB_______A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，线段与它的投影的大小关系为AB_______A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.
探究4.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：（它们的正投影大小有什么变化？）
(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾斜于投影面；(3)纸板垂直于投影面．
结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的______________；
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的______________；
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为______________．
●归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的_____、____完全相同．(人们经常根据上述规律绘制图形)
例题讲解
例、 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P，如图(1)；
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P，如图(2)．
巩固练习：
1.球的正投影是( )
A．圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环.
2.木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A.大于1.2m B.小于1.2m
C.等于1.2m D.小于或等于1.2m
3.如图，一条线段AB在平面β中的正投影为A′B′，AB＝4 m，A′B′＝2 m，则线段AB与平面β的夹角为( )
A.45° B.30° C.60° D.以上均不对
3题 5题 6题
4.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）
A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定
5.如图所示，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是_________，正投影的面积为_______．
6.如图，是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，请你设法计算出玻璃杯的内径．
7.如图，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
三、课堂小结
1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3．投影的分类：
物体投影
四、布置作业
教材93页，习题4、5
当堂测评
1.球的正投影是( )
A.圆 B.椭圆 C.点 D.圆环
2.下列投影中,正投影有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A.三角形 B.线段 C.矩形 D.正方形
4.几何体在平面P的正投影,取决于( )
①几何体形状;②几何体与投影面的位置关系;③投影面P的大小.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
5.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为( )
A.20 cm2 B.300 cm2 C.400 cm2 D.600 cm2
6.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
7.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.
(1)求此时的影子A1B1的长度;
(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A2B2
.
8.操作与研究:
如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢?
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.
通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
9.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响?
(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米?
结果保留整数,参考数据:sin 32°≈,cos 32°≈,tan 32°≈
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29.1投影（2）
教学目标：
1、了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
2、培养动手实践能力及空间想象能力．
3、学会观察，理解原理，增强自信心．
教学重点：
理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
教学难点：
归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
教学过程：
一、新知引入
1.什么叫投影?
一般地,用__________照射物体,在________________上得到的影子叫做物体的投影.
2.投影的分类:
由______________形成的投影是平行投影(例如太阳光,探照灯光),由______________形成的投影是中心投影(例如灯泡)
二、新知讲解
问题1. 图中的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
教师出示图片，引导学生观察图片的特征．
图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）图（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面
●归纳：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
问题2. 通过学习，我们对投影应如何分类？
物体投影
探究1.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是_______.
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是________.
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个_____
探究2.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面；
(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面．
结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影是_______.
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影是_______.
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影是一条_______.
例题讲解：
例、 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
解析：根据正投影的定义及正投影形状分析．根据题意：圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形．故选C．
巩固练习：
1．三角形的正投影是（ ）D
A．三角形 B．线段
C．直线或三角线 D．线段或三角形
2．一个几何体在一个投影面上的正投影是一个矩形，这个几何体一定是长方体吗？
解：不一定是长方体，也可能是圆柱体．
3.如图所示的三幅投影中，哪幅投影是正投影？
由图③可知，投影线AA3垂直于投影面P，故图③是正投影.
4.如图所示的两个图形都是画出一个圆柱体的正投影，试判断正误，并说明原因.
解析 立体图形的正投影是平面图形.
答案 图①是错误的，图②是正确的. 因为圆柱体的正投影是平行光线的投影，投影线与投影面是垂直的. 所以投影后不可能是圆柱，而是一个平面图形——矩形或正方形.
5.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（ ）D
6.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影
解：
7.画出如图摆放的物体（正六棱柱）的正投影：
（1）投影线由物体前方射入到后方；
（2）投影线由物体左方射入到右方；
（3）投影线由物体上方射入到下方.
探究3.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面； (2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影大小有什么变化？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，线段与它的投影的大小关系为AB_______A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，线段与它的投影的大小关系为AB_______A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.
探究4.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：（它们的正投影大小有什么变化？）
(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾斜于投影面；(3)纸板垂直于投影面．
结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的______________；
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的______________；
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为______________．
●归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．(人们经常根据上述规律绘制图形)
例题讲解
例、 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P，如图(1)；
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P，如图(2)．
解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系；
(2)如图，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线的长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点的连线A′B′是正方体侧棱即它所对的另一条侧棱AB的投影．
巩固练习：
1.球的正投影是( ) A
A．圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环.
2.木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）D
A.大于1.2m B.小于1.2m
C.等于1.2m D.小于或等于1.2m
3.如图，一条线段AB在平面β中的正投影为A′B′，AB＝4 m，A′B′＝2 m，则线段AB与平面β的夹角为( )B
A.45° B.30° C.60° D.以上均不对
3题 5题 6题
4.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）B
A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定
5.如图所示，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是_________，正投影的面积为_______．（答案：矩形、12）
6.如图，是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，请你设法计算出玻璃杯的内径．
7.如图，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
三、课堂小结
1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3．投影的分类：
物体投影
四、布置作业
教材93页，习题4、5
当堂测评
1.球的正投影是( )
A.圆 B.椭圆 C.点 D.圆环
2.下列投影中,正投影有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A.三角形 B.线段 C.矩形 D.正方形
4.几何体在平面P的正投影,取决于( )
①几何体形状;②几何体与投影面的位置关系;③投影面P的大小.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
5.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为( )
A.20 cm2 B.300 cm2 C.400 cm2 D.600 cm2
6.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
7.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.
(1)求此时的影子A1B1的长度;
(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A2B2
.
8.操作与研究:
如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢?
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠ACB=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.
通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
9.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响?
(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米?
结果保留整数,参考数据:sin 32°≈,cos 32°≈,tan 32°≈
当堂测评答案
1.A 2.B 3.A 4.A 5.C
6.π
7.分析:(1)当木棒平行于投影面时,其正投影的长度与木棒的长度一致;(2)当木棒倾斜于投影面时,可转化为解直角三角形来求解.
解:(1)因为木棒平行于投影面,
所以A1B1=AB=8 cm,
即此时的影子A1B1的长度为8 cm.
(2)如图,过点A作AH⊥BB2于点H.
∵AA2⊥A2B2,BB2⊥A2B2,
∴四边形AA2B2H为矩形,∴AH=A2B2.
在Rt△ABH中,∠BAH=30°,AB=8 cm,
所以A2B2=AH=AB·cos 30°=8×=4(cm).
即旋转后木棒的影长A2B2为4cm.
8.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD.
(2)证明:易证得△BCD∽△BAC,可得BC2=BD·AB;易证得△ACD∽△CBD,可得CD2=AD·BD.
9.解:(1)如图,设CE=x m,则AF=(20-x)m.
∵tan 32°=,即20-x=15·tan 32°,
∴x≈11.
∵11>6,∴超市以上的居民住房的采光有影响.
(2)当tan 32°=时,BC≈20×=32(m),
∴若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距32 m.
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