2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题：?x∈R，x2-x+1=0的否定是______．
某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件，已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3，现要用分层抽样的方法从中抽取60件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为______
若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为______．
为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的500辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车有______辆．
如图是一个算法流程图，则输出的x的值是______．
某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是______．
若“?x∈R，x2+2x+a＜0“为真命题，则实数a的取值范围是______．
已知命题“若a=0，则ab=0”，则在该命题的逆命题、否命题和逆否命题这3个命题中，真命题的个数为______．
甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为______．
“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y-2=0平行”的______条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）
已知圆x2+y2=9与圆x2+y2-4x+2y-3=0相交于A，B两点，则线段AB的长为______．
有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为______．
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-3），B（0，1），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使
????
?
????
=0，则圆心C的横坐标a的取值范围为______．
已知函数f（x）=(
1
2
)
??
???，??(??)=
??
2
．若对?x1∈[-1，3]，?x2∈[-3，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数m的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知命题p：?x∈R，x2+ax+1≥0；命题q：函数f（x）=x2-2ax+1在区间（-∞，1]上单调递减．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
某校举行“我对祖国知多少”的知识竞赛网上答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛．为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．其中成绩分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求m的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）．

将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，分别记为x，y．（1）若记“x+y=5”为事件A，求事件A发生的概率；（2）若记“x2+y2≤10”为事件B，求事件B发生的概率．
某市共有600个农村淘宝服务站，随机抽取6个服务站统计其“双十一”期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本数据的平均数；（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站，根据茎叶图推断这600个农村淘宝服务站中有几个优秀服务站？（3）从随机抽取的6个服务站中再任取2个作网购商品的调查，求至少有1个是优秀服务站的概率．
已知圆M经过A（0，3），B（4，1），C（1，0）三点．（1）求圆M的方程；（2）已知经过点N（-3，2），且斜率为k的直线l与圆M相交于不同两点P、Q，（ⅰ）求斜率k的取值范围；（ⅱ）
????
?
????
是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD=
2
时，求直线CD的方程；（3）若E、F为圆M上两点且EF=
3
，求
????
?
????
的取值范围．
答案和解析
1.【答案】?x∈R，x2-x+1≠0【解析】
解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以?x∈R，x2-x+1=0的否定是：?x∈R，x2-x+1≠0． 故答案为：?x∈R，x2-x+1≠0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．
2.【答案】10【解析】
解：某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件，甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3，现要用分层抽样的方法从中抽取60件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为：60×=10（件）．故答案为：10．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查甲类产品抽取的件数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】2【解析】
解：∵一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，∴（9+8+x+10+11）=10，解得x=12，∴该组样本数据的方差S2=[（9-10）2+（8-10）2+（12-10）2+（10-10）2+（11-10）2]=2．故答案为：2．由已知条件先求出x，再利用方差公式求出该组样本数据的方差．本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数公式和方差计算公式的合理运用．
4.【答案】200【解析】
解：由频率分布直方图得： 时速在区间[40，60]内的频率为：（0.01+0.03）×10=0.4， ∴在抽测的500辆汽车中， 时速在区间[40，60]内的汽车有：0.4×500=200． 故答案为：200．由频率分布直方图得时速在区间[40，60]内的频率为0.4，由此能求出在抽测的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车数量．本题考查在抽测的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车的数量，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】59【解析】
解：模拟程序框图的运行的过程，如下； x=1，y=1，y＜50，Y； x=2×1+1=3，y=2×3+1=7，y＜50，Y； x=2×3+7=13，y=2×13+7=33，y＜50，Y； x=2×13+33=59，y=2×59+33=151，y＜50，N； 输出x=59． 故答案为：59．根据题意，模拟程序框图的运行的过程，即可得出程序运行后输出的结果．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行的过程，属于基础题．
6.【答案】10【解析】
解：根据题中的程序框图，可得： S=1．I=1 满足条件I≤5，执行循环体，S=2，I=3 满足条件I≤5，执行循环体，S=5，I=5 满足条件I≤5，执行循环体，S=10，I=7 此时，不满足条件I≤5，退出循环，输出S的值为10． 故答案为：10．由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到本题答案．本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
7.【答案】（-∞，1）【解析】
解：若“?x∈R，x2+2x+a＜0”为真命题．即是说不等式x2+2x+a＜0有解． 则△=4-4a＞0，解得a＜1，a的取值范围是（-∞，1）． 故答案为：（-∞，1）．若“?x∈R，x2+2x+a＜0”为真命题．即是说不等式x2+2x+a＜0有解，通过△=4-4a＞0求解．本题考查特称命题的真假的应用．考查逻辑思维，转化计算能力．
8.【答案】1【解析】
解：∵命题“若a=0，则ab=0”， ∴它的逆命题是“若ab=0，则a=0”，它是假命题； 否命题是“若a≠0，则ab≠0”，它是假命题； 逆否命题是“若ab≠0，则a≠0”，它是真命题； ∴这3个命题中，真命题的个数为1． 故答案为：1．分别写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题，再判断它们的真假即可．本题考查了四种命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．
9.【答案】0.3【解析】
解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件． 且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件． ∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5， ∴乙获胜的概率P=1-（0.2+0.5）=0.3． 故答案为：0.3利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式，是解题的关键．
10.【答案】充分不必要【解析】
解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y-2=0，显然平行； 若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y-2=0平行， 则a（a-1）-2×3=0，且3×1-a（-2）≠0，解之可得a=3或a=-2， 故直线平行推不出a=3， 故前者是后者的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要当a=3时可推得直线平行，但直线平行可得a=3或a=-2，不能推得a=3，由充要条件的定义可得答案．本题考查充要条件的判断，涉及直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
11.【答案】
12
5
5
【解析】
解：由题意，两圆的公共弦为2x-y-3=0，圆x2+y2=9的圆心坐标为（0，0），半径为3，圆心到直线的距离d=，∴线段AB的长为2=．故答案为．求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论．本题考查圆与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12.【答案】
2
??
【解析】
解：设正方形的边长为1，由已知易得：S正方形=1S外接圆=故豆子落入正方形内的概率P=．故答案为．本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形内对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．本题给出丢豆子的事件，求豆子落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识，属于基础题．
13.【答案】[0，
12
5
]【解析】
【分析】?设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据=0，|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．【解答】解：因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．∵=0，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2-1|≤≤|2+1|．由5a2-12a+8≥0，得a∈R．由5a2-12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．故答案为[0，]．
14.【答案】[-7，+∞）【解析】
解：f（x）=（）x-m，?x1∈[-1，3]，∴f（x）∈[-m，2-m]，g（x）=x2，x2∈[-3，2]，∴g（x）∈[0，9]，函数f（x）=．若对?x1∈[-1，3]，?x2∈[-3，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，∴2-m≤9，∴-7≤m，实数m的取值范围为：[-7，+∞）．故答案为：[-7，+∞）．根据自变量的范围，分别求出函数的值域；f（x）∈[-m，2-m]，g（x）∈[0，9]，由题意可得2-m≤9，进而求出m的范围．考查了指数函数和二次函数值域的求法和利用值域解决实际问题．
15.【答案】解：（1）∵命题p：?x∈R，x2+ax+1≥0，命题p为真命题，∴△=a2-4≤0，解得-2≤a≤2，∴实数a的取值范围是[-2，2]．（2）命题q：函数f（x）=x2-2ax+1在区间（-∞，1]上单调递减，当命题q是真命题时，a≥1．∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p真q假或p假q真，当p真q假时，
??<1
?2≤??≤2
，∴-2≤a＜1．当p假q真时，
??≥1
??2
，∴a＞2．综上，实数a的取值范围是[-2，1）∪（2，+∞）．【解析】
（1）由命题p：?x∈R，x2+ax+1≥0为真命题，得到△=a2-4≤0，由此能求出实数a的取值范围． （2）由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，得到p真q假或p假q真，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查一元二次不等式、一元二次函数的性质、复合命题等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.02+0.04+m+0.005）×10=1，解得m=0.03．（2）由频率分布直方图的性质得：成绩不低于90分的频率为：0.005×10=0.05，∵成绩不低于90分的学生就能获奖，∴所有参赛学生中获奖的学生约为1200×0.05=60人．（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分为：
??
=55×0.005×10+65×0.02×10+75×0.04×10+85×0.03×10+95×0.005×10=75．【解析】
（1）由频率分布直方图的性质得（0.005+0.02+0.04+m+0.005）×10=1，由此能求出m． （2）由频率分布直方图的性质得成绩不低于90分的频率为0.05，由此能求出所有参赛学生中获奖的学生人数． （3）根据频率分布直方图，能估计这次平均分．本题考查实数值、获奖人数、平均分的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：（1）将骰子抛掷一次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这六种结果．先后抛掷2次骰子，第一次骰子向上的点数有6种可能的结果，对于每一种，第二次又有6种可能出现的结果，于是基本事件一共有n=6×6=36（种），…………………（4分）记“x+y=5”为事件A，则A事件发生的基本事件有4个，所以所求的概率为p（A）=
4
36
=
1
9
．…………………（8分）（2）记“x2+y2≤10”为事件B，则B事件发生的基本事件有6个，∴事件B发生的概率P（B）=
6
36
=
1
6
．??????????…………………（14分）【解析】
（1）先后抛掷2次骰子，基本事件一共有n=6×6=36种，记“x+y=5”为事件A，则A事件发生的基本事件有4个，由此能求出事件A的概率p（A）． （2）记“x2+y2≤10”为事件B，则B事件发生的基本事件有6个，由此能求出事件B发生的概率P（B）．本题考查概率的求法，考查等古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：（1）样本数据的平均数
??
=
1
6
（8+9+15+16+18+24）=15．………………（4分）（2）样本中优秀服务站有2个，概率为
2
6
=
1
3
，由此估计这600个村级服务站中有600×
1
3
=200个优秀服务站．?………………（8分）（3）样本中优秀服务站有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务站有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个村级服务站中再任取2个的可能情况有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b3），（b3，b4）共15种，且它们是等可能的．……………………（12分）记“至少有1个是优秀服务站”为事件A，则事件A包含的可能情况有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共9种情况，……………………（14分）所以P（A）=
9
15
=
3
5
，答：至少有1个是优秀服务站的概率为
3
5
．……………………（16分）【解析】
（1）结合茎叶图求出数据的平均数即可； （2）根据概率值，求出优秀服务站的个数即可； （3）分别列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，作商求出概率即可．本题考查了求平均数，茎叶图问题，考查概率求值，是一道常规题．
19.【答案】解：（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
9+3??+??=0
16+1+4??+??+??=0
1+??+??=0
，解得D=-4，E=-4，F=3．∴所求圆的方程为x2+y2-4x-4y+3=0；（2）（ⅰ）化圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=5，依题意设直线l的方程为：y-2=k（x+3），即kx-y+3k+2=0．由圆心M到直线l的距离d=
|2???2+3??+2|
??
2
+1
=
|5??|
??
2
+1
＜
5
，即有：k2＜
1
4
，解得-
1
2
＜k＜
1
2
．（ⅱ）
????
?
????
是定值20．证明如下：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
????
=(
??
1
+3，
??
1
?2)，
????
=(
??
2
+3，
??
2
?2)，联立
???????+3??+2=0
(???2
)
2
+(???2
)
2
=5
，得（1+k2）x2+（6k2-4）x+9k2-1=0．则：
??
1
+
??
2
=
?(6
??
2
?4)
1+
??
2
，
??
1
??
2
=
9
??
2
?1
1+
??
2
．∴
????
?
????
=（x1+3）（x2+3）+（y1-2）（y2-2）=(
??
1
+3)(
??
2
+3)+
??
2
(
??
1
+3)(
??
2
+3)=（1+k2）[x1x2+3（x1+x2）+9]=(1+
??
2
)(
9
??
2
?1
1+
??
2
?
3(6
??
2
?4)
1+
??
2
+9)=9k2-1-3（6k2-4）+9（1+k2）=20．∴
????
?
????
=20为定值．【解析】
（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由已知得关于D，E，F的方程组求解可得D，E，F的值，则圆的方程可求；（2）（ⅰ）化圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=5，依题意设直线l的方程为：y-2=k（x+3），由圆心M到直线l的距离d小于半径列式求得k的范围；（ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立直线方程与圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系可得=20为定值．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量的数量积运算，是中档题．
20.【答案】解：（1）设P（2m，m），由∠APB=60°，圆的半径为1，可知MP=2，则（2m）2+（m-2）2=4，解之得：m=0，m=
4
5
，故所求点P的坐标为P（0，0）或P（
8
5
，
4
5
）；（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为
2
2
，∴
2
2
=
|?2???1|
1+
??
2
，解得，k=-1或k=-
1
7
，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0；（3）取EF中点N，由垂径定理得：MN⊥EF，∴MN=
??
??
2
???
??
2
=
1?
3
4
=
1
2
，∴点N在以M为圆心，半径为
1
2
的圆上．连结PN，
????
?
????
=(
????
+
????
)?(
????
+
????
)=(
????
+
????
)?(
????
?
????
)=
????
2
?
????
2
=??
??
2
???
??
2
=??
??
2
?
3
4
．∵点M到直线l的距离d=
|0?4|
5
=
4
5
5
．∴PN≥
4
5
5
?
1
2
，∴
????
?
????
的取值范围是[
27
10
?
4
5
5
，+∞）．【解析】
（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，代入两点间的距离公式可得（2m）2+（m-2）2=4，求解m可得点P的坐标；（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），可知k存在，由圆心M到直线CD的距离为列式求得k值，则直线CD的方程可求；（3）取EF中点N，由垂径定理得：MN⊥EF，求出MN=，则点N在以M为圆心，半径为的圆上．连结PN，则化为，由点M到直线l的距离d=，可得PN，由此求得的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，是中档题．